（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第07讲 空间向量及其运算的坐标表示+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.
知识点1 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
注意点：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标、向量的坐标
（1）空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点
（2）空间点的对称问题
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
（3）空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．
知识点2 空间向量的坐标运算
1．空间向量的坐标运算法则
设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
注意点：
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．
2．空间向量相关结论的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
(2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(3)|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)).
(4)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
注意点：
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2)成立的条件是x2y2z2≠0.
3．空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)eq \(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2＋z2).注：空间两点间的距离公式推导过程
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，eq \(P1P2,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(→))－eq \(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq \r(\(P1P2,\s\up6(—→))·\(P1P2,\s\up6(—→)))＝
所以P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝，
因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝.
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．
2.求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
3.空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．
已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq \(AB,\s\up7(―→))的坐标等于终点坐标减起点坐标．即eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
4.解决空间向量垂直、平行问题的有关思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
5．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
考点一：空间中点的坐标表示
例1．已知点 ，，点 满足，则点 的坐标是______．
变式1．若△顶点，且，，则点C坐标是___________.
变式2．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.
考点二：空间点的对称问题
例2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知点关于平面的对称点为，而点关于轴的对称点为，则（ ）
A． B． C． D．8
变式2．在空间直角坐标系Oxyz中，P是坐标平面xOy内一动点，，，当最小时P的坐标为___________.
考点三：空间向量的坐标表示
例3．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
考点四：空间向量的坐标运算
例4．向量，，，中，共面的三个向量是（ ）
A． B． C． D．
变式1．在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
考点五：空间向量的平行问题
例5．已知向量，，且，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则________.
考点六：利用坐标运算解决数量积问题
例6．若向量，，则______．
考点七：空间向量的垂直问题
例7．已知向量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知空间有三点，，，若直线上存在一点M，满足，则点M的坐标为______.
变式2．在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（ ）．
A． B．1 C． D．
考点八：利用坐标运算解决夹角问题
例8．已知向量，若，则_________．
变式1．若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A． B． C．或 D．2
例9．若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
变式1．已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______.
变式2．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
考点九：利用坐标运算解决距离问题
例10．设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则______.
变式1．在空间直角坐标系中，，，则的最小值是________.
变式2．已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.
考点十：利用坐标运算求投影或投影向量
例11．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
变式2．已知点，则在上的投影向量的长度为________.
1．已知向量，则下列向量中与成的是
A． B． C． D．
2．已知向量，且，则____________．
3．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．
4．如图，在正四棱柱中， ，点是 的中点，点在 上，设二面角的大小为 ．
（1）当时，求 的长；
（2）当时，求 的长．
一、单选题
1．已知点，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．三个顶点的坐标分别为，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．正三角形 D．直角三角形
3．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知，，，若，则点B的坐标为（ ）．
A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）
C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）
5．已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．，若，则_____________．
11．设空间向量，，若，则＝______．
12．在空间直角坐标系中，，，O为坐标原点，直线AB上有一点M，且，则点M的坐标为______．
13．已知向量，且与互相垂直，则实数__________.
三、解答题
14．已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
15．已知空间三点，，，设，．
(1)设，，求；
(2)求与的夹角；
(3)若与互相垂直，求k．
空间向量及其运算的坐标表示 随堂检测
1.平行六面体中，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2.已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
3.在中，若，，则是（ ）
A．顶角为锐角的等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．顶角为钝角的等腰三角形
4.已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
6.已知，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7.若，，则（ ）
A． B． C．5 D．10
8.若A，B，当取最小值时，x的值等于（ ）
A． B． C． D．
9.已知点，，，则点的坐标为______．
10.已知，(2，1，1)，则________．
11.已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.
12.已知空间直角坐标系中，点，，若，且与反向共线，则_____．
13.已知向量，，若与垂直，则＝_____.
14.点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为___________.
15.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
点的位置
x轴上
y轴上
z轴上
坐标的形式
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
点的位置
Oxy平面内
Oyz平面内
Ozx平面内
坐标的形式
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3