（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第06讲 空间向量基本定理+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.
2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.
知识点1 空间向量基本定理
1．定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.
注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点：
①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
（2）空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→)).
推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．
2．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．
易错辨析：
（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．
（2）在四棱锥O­ABCD中，eq \(OA,\s\up7(―→))可表示为eq \(OA,\s\up7(―→))＝xeq \(OB,\s\up7(―→))＋yeq \(OC,\s\up7(―→))＋zeq \(OD,\s\up7(―→))且唯一，这种说法对吗？对．
知识点2 证明平行、共面问题
1. 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．
1、判断基底的方法
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2、用基底表示向量的策略
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
3、证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
考点一：空间向量基本定理基底的判断
例1．【多选】设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）
A．，，两两不共线，但两两共面
B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得
C．，，能构成空间另一个基底
D．若，则实数，，全为零
变式1．【多选】若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
变式2．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．
考点二：用基底表示空间向量
例2．如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）

A． B．
C． D．
变式1．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）

A． B．
C． D．
考点三：利用空间向量基本定理求参数
例3．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______．
变式2．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
例4．已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A． B． C． D．
变式1．正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______.
考点四：用向量法证明平行、共面问题
例5．已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则________．若，且 平面ABC，则实数________．
考点五：用基底法求空间向量的数量积
例6．如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.
(1)用，，表示；
(2)计算.
变式1．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题
例7．在平行六面体中，，且，则的余弦值是________.
变式1．点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______．
例8．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是.
(1)求证：；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
考点七：用向量法解决立体几何的距离问题
例9．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
变式1．如图，四面体中，分别为上的点，且设
（1）以为基底表示，则＝________；
（2）若且则________.
一、单选题
1．已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
2．已知三棱柱，点在线段上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
5．如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线AB，BC， 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．在平行六面体中，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.向量表示向量__________.
9．已知空间向量，，不共面，且，，若，则__________．
三、解答题
10．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
空间向量基本定理 随堂检测
1.已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（ ）
A． B． C． D．
2.在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
3.已知为三条不共面的线段，若，那么（ ）
A．1 B． C． D．
4.如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5.在平行六面体中，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________．
7.如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.
8.已知在平行六面体中，，，且.
(1)求的长；
(2)求向量与夹角的余弦值.