（复习课）2024年高中数学高二暑假讲义02 正余弦定理（2份打包，原卷版+教师版）

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【例题讲解】
【例1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acs B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝eq \f(a2,4)，求角A的大小．
解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.
【例2】 在△ABC中，若(a－c·cs B)·sin B＝(b－c·cs A)·sin A，判断△ABC的形状.
【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝－sin 2C.
(1)求C的大小；
(2)若c＝2eq \r(3)，A＝eq \f(π,6)，求△ABC的面积.
【例4】 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)
【例5】 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【例6】已知 SKIPIF 1 < 0 的三边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 边上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 （ ）
A．2B．3C．4D．5
课堂跟踪训练
1.如图，在△ABC中，∠B＝eq \f(π,3)，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cs∠ADC＝eq \f(1,7).
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
2.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
3.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12eq \r(6)海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8eq \r(3)海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
4.已知 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 三个内角 SKIPIF 1 < 0 的对边， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为____________.
正余弦定理 检测卷
1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝( )
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C．eq \r(2)∶1∶1 D．eq \r(3)∶1∶1
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(15)，b＝2，A＝60°，则tanB等于( )
A．1 B．eq \f(1,2) C．eq \f(5,2) D．eq \f(\r(3),2)
3．在△ABC中，已知a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，则c等于( )
A．2eq \r(5) B．eq \r(5)
C．2eq \r(5)或eq \r(5) D．以上都不对
4．在△ABC中，sin2eq \f(A,2)＝eq \f(c－b,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
5．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．75°
6．在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )
A．[3eq \r(3)，6] B．(2,4eq \r(3))
C．(3eq \r(3)，4eq \r(3)] D．(3,6]
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csA＝eq \f(3,5)，csB＝eq \f(5,13)，b＝3，则c＝________.
8．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________ km(精确到0.1 km)．
9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且eq \f(2a－c,c)＝eq \f(tanB,tanC)，则角B的大小为________．
10．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq \r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq \f(2\r(3),5)，则CD的长度等于________．
11．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，csA＝eq \f(12,13).
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))；
(2)若c－b＝1，求a的值．
12．在△ABC中，acsA＋bcsB＝ccsC，试判断三角形的形状．
13．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝eq \f(π,3)，求△ABC的面积．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(a＋c，b)与向量n＝(a－c，b－a)互相垂直．
(1)求角C；
(2)求sinA＋sinB的取值范围．