（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第04讲 空间向量及其线性运算+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
知识点1 空间向量的有关概念
1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2. 表示法：
（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模
（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
3．几类特殊的空间向量
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．
易错辨析：
（1）空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．
（2）单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定
（3）共线的单位向量都相等? 答：共线的单位向量是相等向量或相反向量
（4）若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球
（5）任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．
（6）若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反？答：|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定
（7）若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|>|eq \(CD,\s\up6(→))|，则eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→))？答：向量不能比较大小
（8）空间中，a∥b，b∥c，则a∥c？答：平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行
（9）若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p？答：向量的相等满足传递性
（10）若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同
知识点2 空间向量的线性运算
（一）空间向量的加减运算
注意点：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
（二）空间向量的数乘运算
注意点：
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(3)向量λa与向量a一定是共线向量．非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．
(4)由于向量a，b可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．
(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立．
(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无法运算．
知识点3 共线向量与共面向量
1．共线向量与共面向量的区别
2.直线l的方向向量
如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得eq \(OP,\s\up7(―→))＝λa.
定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
3.与空间向量的线性运算相关的结论
(1)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)).
(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，有eq \(AC1,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→)).
(3)若O为空间中任意一点，则
①点P是线段AB中点的充要条件是eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))；
②若G为△ABC的重心，则eq \(OG,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))．
易错辨析：
（1）若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量?
答：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面
在平面内共线的向量在空间不一定共线？
答：在平面内共线的向量在空间一定共线
在空间共线的向量在平面内不一定共线？
答：在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线
1、空间向量有关概念问题的解题策略
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
2、解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．
3、空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
4、利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
5、空间向量线性运算中的三个关键点
6、判定空间图形中的两向量共线技巧
要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．
7、证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)eq \(PA,\s\up7(―→))＝λeq \(PB,\s\up7(―→)) (λ∈R)．
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋teq \(AB,\s\up7(―→)) (t∈R)．
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→)) (x＋y＝1)．
8、解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq \(AP,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))或eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→)) (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
9、证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1) eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OM,\s\up7(―→)) (x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up7(―→))∥eq \(AB,\s\up7(―→)) (或eq \(PA,\s\up7(―→))∥eq \(MB,\s\up7(―→))或eq \(PB,\s\up7(―→))∥eq \(AM,\s\up7(―→)))．
10、证明三点共线和空间四点共面的方法比较
考点一：空间向量的概念辨析
例1．下列命题中，正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.
【详解】对于A;比如,不相等，但，故A错误；
对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；
对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；
对于D；若，，但不相等，故D错误；故选：C
变式1．【多选】下列说法正确的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
【答案】AB
【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.
【详解】对于A，向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度相等，故A正确；
对于B，平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，故B正确；
对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；
对于D，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误.故选：AB.
变式2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则､的长度相等且方向相同
C．若向量､满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
【答案】D
【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.
【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；
若，则､的长度相等但方向不确定，B错误；向量不能比较大小，C错误；
由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.故选：D.
考点二：空间向量的线性运算
例2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】.故选：C
变式1．已知是三个不共面向量，已知向量则_________.
【答案】
【分析】根据空间向量的线性运算求解.
【详解】，，
故答案为：
例3．在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的是（ ）.
①；②；③；④.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理逐项分析运算.
【详解】对①：，①正确；
对②：，②正确；
对③：以为基底向量，则，，根据空间向量基本定理可知：，③错误；
对④：，④错误.故选：A.
例4．在斜三棱柱中，的中点为，，则 可用表示为_______________．
【答案】
【分析】利用空间向量的线性运算可求.
【详解】
.
故答案为：.
变式1．四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解即可.
【详解】因为，所以，
因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，
所以，故选：C.
变式2．如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】因为P是的中点，所以，
又因为点Q在上，且，所以
，所以，
故选：C.
例5．在四面体中，是棱的中点，且，则的值为__________.
【答案】0
【分析】利用空间向量加减法法则，把用表示出来，即可求出结果.
【详解】
如图所示，因为是棱的中点，所以，
则，所以，故答案为：0.
考点三：空间向量共线问题
空间向量共线的判断
例6．如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线．
【答案】证明见解析.
【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答.
【详解】在正方体中，令，
，BD与AC交于点M，即点M是的中点，
于是
，
，
因此，即，而直线与直线有公共点，所以三点共线.
例7．已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理分别判断，，，四组向量是否共线，即可得解.
【详解】若，则存在唯一实数使得，即，
所以，无解，所以不共线，则三点不共线，若，则存在唯一实数使得，即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，，若，则存在唯一实数使得，
即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，
，所以，又点为两向量的公共端点，所以三点共线.
故选：D.
由空间向量共线求参数值
例8.对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分和必要条件的定义法，再结合共线向量的定义即可求解．
【详解】显然能推出，但包括向量，同向共线和反向共线两种情况，即当时，得或，因此推不出，故“”是“”的必要不充分条件．故选：B．
变式1．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______.
【答案】
【分析】由向量加法得，由A，C，D三点共线得，即可求
【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∴，∴.故答案为：.
空间共线向量定理的推论及其应用
例9．在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．
【答案】
【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得.
【详解】因为正方体中，，设，又，所以，即，因为A、E、F三点共线，所以，解得，即.故答案为：.
考点四：空间向量共面问题
空间向量共面的判断
例11．当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
【答案】A
【分析】利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.
【详解】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为，所以与共面.故选：A.
变式1．如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．
【答案】共面
【分析】根据空间向量的运算法则化简得到，即可得到是共面向量.
【详解】由空间向量的运算法则，可得，又由，可得，
所以是共面向量.故答案为：共面.
例12．已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；
对于B，，，，
又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；
对于C、D，若，，，四点共面，则有，
，即，故，故，，，四点共面，C错误，D正确.故选：D.
空间向量共面求参数
例13．已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为__________．
【答案】
【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.
【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对，使得,
即，所以 ，故答案为：
变式1．已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.
【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得，由，则，解得，故选：A.
变式2．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】因为，点在确定的平面内，所以，即，所以，所以当时，的有最小值2．故选：D
变式3．在正方体中，E为中点，，使得，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】正方体中存在三条互相垂直的直线，故我们可以建立空间直角坐标系进行计算.
【详解】
如图建系，设棱长为6，则
，解之：故选：C
空间共面向量定理的推论及其应用
例14．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
【答案】B
【分析】根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案.
【详解】由，得，即，故共面.又因为三个向量有同一公共点P，所以共面.故选：B
变式1．【多选】以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.
【详解】对A：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点P、M、A、B共面，A正确；
对B：若，且，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B正确；
对C：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不一定共面，C错误；
对D：若，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确；
故选：ABD.
1．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.故选：A.
2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【详解】解：，
又与过同一点B，∴ A、B、D三点共线．故选：C．
3．如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，所以平面.
（2）过作垂直的延长线交于点，因为是中点，所以，
在中，，所以，
因为，所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，所以平面，
即三棱锥的高为，
因为，所以，所以，
又，所以.
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
【答案】A
【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断．
【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；
空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；
若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；
若，当时，不存在唯一的实数，使，D错．故选：A．
2．如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.
【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以.
故选：C.
4．在平行六面体中，设，，，则以为基底表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加法法则可得，再将已知条件代入即可得答案.
【详解】因为.故选：A.
5．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出，结合条件即可得出答案.
【详解】为的中点，，四边形为平行四边形，，
.，
，，，故选：B.
6．已知为三条不共面的线段，若，那么（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.
【详解】根据向量加法法则可得：，即，
因为，所以，，，
所以，，，所以.故选：B.
7．在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先证明四点共面的条件，再根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；
对于A，因为，所以不能得到，，，四点不共面；
对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于C，由条件可得，则，，为共面向量，所以与,一定共面；
对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：C．
二、解答题
8．如图，已知为空间的个点，且，，，，，，．
(1)求证：四点共面，四点共面；
(2)求证：平面平面；
【分析】（1）由和，分别得到，，共面和，，共面，即可得证；
（2）连接，，化简得到，证得，利用线面平行的判定定理，证得平面，再由，证得，从而证得平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面．
【详解】（1）解：因为，且，所以向量，，共面，即四点共面．
又因为，且，所以，，共面，即，，，四点共面．
（2）解：连接，，如图所示，
可得
，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为与相交，所以平面平面．
空间向量及其线性运算 随堂检测
1.下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误；对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；对于C，如果，则，C正确；对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A.
2.如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到．
【详解】如图，连接，

是的中点，，，，
．故选：．
3.在四面体中，，Q是的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解即可
【详解】因为，所以，
因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：D
4.四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.
【详解】因为，
所以，所以，所以 ，
所以，故选：A.
5.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足，，则x＋3y等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且共面，则其充要条件是；由点A，B，C，D共面得①又由点B，C，D，E共面得②
联立①②，解得 所以故选：B
6.若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为________．
【答案】
【分析】由题存在实数λ使得，解相应方程可得答案.
【详解】由题意知，存在实数λ使得，
即,解得.故答案为：
7.已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则_____________．
【答案】
【分析】根据题意和空间向量的基本定理列方程，解之即可求解.
【详解】由题意得，因为A、B、C、D满足四点共面且任意三点不共线，，
所以，解得.故答案为：-4.
8.如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：.
【答案】证明见解析.
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算，计算判断与共线即可推理作答.
【详解】（方法1）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
则有，又，
两式相加得：，因此与共线，而直线与不重合，所以.
（方法2）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
，
因此与共线，而直线与不重合，所以.
名称
定义
表示法
零向量
规定长度为0的向量叫做零向量
记为0
单位向量
模为1的向量叫做单位向量
|a|＝1或|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量
记为－a
共线向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
a∥b或eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→))
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
a＝b或 eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))
加法运算
三角形
法则
语言叙述
首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则
语言叙述
共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算
三角形
法则
语言叙述
共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法运算
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义
λ>0
λa与向量a的方向相同
λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ