江西省景德镇一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省景德镇一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题
1．已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．过点（1，2）且与双曲线没有交点的直线l斜率的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣2，+∞）
4．圆与圆有三条公切线，则半径
A．5B．4C．3D．2
5．若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（ ）

A．B．2C．D．
8．已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中
①的最大值为；②的内切圆面积最大值为；
③为定值；④若为中点，则的方程为，
正确结论的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．已知动直线：，动直线：，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在，使得的倾斜角为B．动直线恒过定点
C．若与垂直，则或D．若与平行，则或
10．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．存在直线，使得A、B两点关于对称
C．的最小值为6
D．当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
11．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．面积的最大值为B．的最大值为8
C．若，则D．若，垂足为，则
三、填空题
12．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是 .
13．设，则动点P的轨迹方程为 ．
14．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则 ．
四、解答题
15．已知动点与两个定点，的距离的比是2.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
16．已知点为抛物线的焦点，直线与抛物线相切．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线，与抛物线相交于两点，若之间的距离，求．
17．新冠疫情期间，作为街道工作人员的王叔叔和李阿姨需要上门排查外来人员信息，王叔叔和李阿姨分别需走访离家不超过3百米､百米的区域，如图，､分别是经过王叔叔家点）的东西和南北走向的街道，且李阿姨家点）在王叔叔家的北偏东方向，以点为坐标原点，､为轴､轴建立平面直角坐标系，已知李阿姨负责区域中最远的两个检查点和，到南北和东西走向街道的垂直距离分别为5百米和3百米，到南北和东西走向街道的垂直距离分别为7百米和5百米．
(1)求出，并写出王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程；
(2)王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，从家中出发，需在龙山路（直线上碰头见面，你认为在何处最为便捷､省时间（两人所走的路程之和最短）？
18．已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若线段的中点为，求直线的方程；
(3)若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率.
19．已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且.
(1)求的方程；
(2)若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）.
①记，的面积分别为，，且，求点的坐标；
②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
参考答案
1．B
【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2，
又直线经过点，所以直线方程为，即.
故选：B.
2．A
【详解】“方程表示椭圆”可以得出或，所以或；
所以“”不可以推出“方程表示椭圆”；
“方程表示椭圆”可以推出“”；
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：A.
3．B
【详解】解：由题意l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），
与双曲线方程联立，
消去y，并整理得（4﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣8＝0，
若4﹣k2＝0，即k＝±2，
当k＝2时，方程即为﹣4＝0，方程无解，直线l与双曲线无交点，符合题意；
当k＝﹣2是，方程即为16x﹣20＝0，方程有一个解，此时直线l与双曲线有一个交点，不符合题意；
若4﹣k2≠0，∵过点P（1，2）直线l与双曲线没有交点，
∴△＝[2（k2﹣2k）]2﹣4（4﹣k2）（﹣k2+4k﹣8）＝64（﹣k+2）＜0，
解得k＞2．
综上所述，直线l斜率的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
4．C
【详解】两圆公切线有且仅有三条 两圆外切
由圆的方程可知，两圆圆心分别为：，；半径分别为：和
两圆圆心距，解得：
本题正确选项：
5．B
【详解】因为关于的方程恰有两个实数根，
所以函数与函数的图象恰有两个交点，即直线与半圆恰有两个交点，
如图：
直线经过定点，
当直线与半圆切于时，
，解得，
当直线经过点时，，
所以满足函数与函数的图象恰有两个交点的的范围为.
故选：B
6．C
【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
7．C
【详解】∵多边形为正六边形，设边长为，
∴，
，
故选：C．
8．C
【详解】设椭圆的长半轴为。短半轴长为，半焦距为，
根据题意可得，，，，，，
∵，
当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立，
∴的最大值为，∴命题①正确；
设的内切圆的半径为，则根据的等面积算法可得：
，
∴，
当且仅当为短轴顶点时，等号成立，
∴的内切圆面积最大值为，∴命题②错误；
根据的内切圆的性质易得：，
∴，∴，∴命题③正确；
若为中点，设，，
则，两式相减可得：，
∴，∴，∴，
∴的方程为，即，
又，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，
所以直线满足条件，命题④正确.

故选：C.
9．BC
【详解】因为直线的斜率恒存在，直线才会垂直于轴，故选项A错误；
已知，化简得：，
由解得直线经过点，故选项B正确；
由题可得，，若则，解得，
当时，，，此时直线，故选项C正确；
若，则，化简得，或，
当，与的方程均为，两直线重合非平行，故D选项错误.
故选：BC
10．ACD
【详解】,故，,故,A正确；
设,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；
过作垂直于准线于,则，当共线时等号成立，故C正确；
如图所示：为中点，故,故为直径的圆与轴相切，故D正确；
故选：ACD.
11．ACD
【详解】由椭圆方程可知：，，.
对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确；
对于B：因为，则，
可得，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大，
所以的最大值为7，故B错误；
对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线，
则，
设，则，，
可得，，，，
则，
即，
整理可得，解得或，
当时，，与重合，不合题意，
所以，即，故C正确：
对于D：如图，延长，交于点，
则在中，，，
则且为中点，连，
在中，，
则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确.
故选：ACD.
12．或
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
则直线的方程为，
又因为直线过点，所以，
解得：，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，
故答案为：或．
13．
【详解】因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为．
故答案为：.
14．3
【详解】如图，的焦点为，
由拋物线的定义，知，
又，所以是等边三角形，所以，，
直线的方程为，设，，
联立方程得，
所以，．
由，
得，解得．
故答案为：3

15．(1)
(2)或
【详解】（1）设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线的方程为或.
综上，直线的方程是或.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由得：，
直线与抛物线相切，，解得：（舍）或，
抛物线的标准方程为：.
（2），可设，，，
由得：，
，解得：，，，
，又，
由得：，，
解得：或，又，，
由抛物线定义知：.

17．(1)，王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为，
(2)可选择在地点处碰面，此时距离之和最近
【详解】（1）由题意得：王叔叔家点）负责区域边界的曲线方程为，且，，
由题意可设李阿姨家，则，
即，解得，
则百米，
则李阿姨负责区域边界的曲线方程，
故，
王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为，；
（2）设王叔叔家点关于直线对称点，
则，解得，，
此时直线的方程为，即，
联立直线与直线的方程得，解得，
故王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，可选择在地点处碰面，此时距离之和最近．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，
解得，，，
所以的方程为.
（2）设，，
又线段的中点为，所以，即，
又，是上的点，所以，
所以，所以，
即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.
（3）由题意左焦点，直线的斜率不为0，设直线，
由得，所以，
，，.
设的中点为，则，
点在轴上，且，，则垂直平分，且，
所以的中垂线方程为，令，得，
所以，
又，
所以，
解得，所以直线的斜率是.
19．(1)
(2)①或；②是，
【详解】（1）由题意知 解得，，
所以的方程为.
（2）由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点），
所以，又双曲线的渐近线为，故，解得，
所以直线，即，
由，消得，
所以，解得， 所以.
①因为，，
又，所以，
解得或，即点的坐标为或.
②直线，即，
由，消得，，
即，所以，解得，
所以，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，得，解得，
所以直线恒过定点，
又，即，又点是的中点，所以，
所以是定值，且定值为.