2021-2022学年甘肃省兰州第一中学高二下学期4月月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年甘肃省兰州第一中学高二下学期4月月考数学（理）试题

一、单选题

1．若复数满足，则复数的共轭复数的模为

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】首先求出复数，即可得到复数的共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案．

【详解】由于，则，

所以复数的共轭复数，则，

故答案选B

【点睛】本题考查复数四则运算，共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于基础题．

2．已知，则（       ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【解析】对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值.

【详解】函数，则，

令代入上式可得，则，

所以，

则，

故选：A.

【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题.

3．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”正确的假设为（       ）

A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

【答案】A

【分析】根据反证法的性质进行判断即可.

【详解】由题，利用反证法，则需假设“自然数a，b，c都不是偶数”，即“自然数a，b，c都是奇数”，

故选：A

4．（       ）

A．4 B． C． D．8

【答案】B

【解析】由定积分的运算性质，得到，再结合定积分的计算公式和定积分的几何意义，即可求解.

【详解】

因为是奇函数，且在区间关于原点对称，所以

对应的区域是一个半径为2的半圆，面积为

故.

故选：B．

5．由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（       ）

A． B．4 C． D．6

【答案】C

【解析】由题意画出图形，确定积分区间，利用定积分即可得解.

【详解】由题意，曲线，直线及y轴所围成的图形如图阴影部分所示：

联立方程，可得点，

因此曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为：

．

故选：C．

【点睛】本题考查了定积分的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

6．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先利用导数求出函数的单调区间和极值，将函数有三个不同的零点，转化为方程有三个不同的根.再列出不等式组，解不等式组即可得到答案.

【详解】，.

令，解得，.

，，为增函数，

，，为减函数，

，，为增函数.

所以，.

因为函数有三个不同的零点，

等价于方程有三个不同的根.

所以，解得.

故选：D

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，同时考查了利用导数求函数的单调区间和极值，属于简单题.

7．当是函数的极值点，则的值为

A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2

【答案】B

【分析】由f，解得或-2，再检验是否函数的极值点，可得结论.

【详解】由，

得，

∵x＝1是函数f（x）的极值点，

∴（1）＝6﹣+a＝0，解得或2，

当2时，恒成立，即单增，无极值点，舍去；

当3时，时，x＝1或x=9，

满足x＝1为函数f（x）的极值点，

∴．

故选B.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，注意在x=处导数值为0不一定满足x=是极值点，属于易错题．

8．已知在上单调递增，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得在恒成立，转化为最值问题求解

【详解】由可得，

由条件只需，即在上恒成立，

由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，

故的最小值为4，只需．

故选：B

9．函数的大致图像是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得函数的定义域为，设，由导数求得函数的单调性，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，

设，则，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

可得，

所以函数在上单调递增，在单调递减，且.

故选：D

【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数图象与性质，其中解答中根据函数的解析式求得函数的定义域，以及利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.

10．已知且且且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.

【详解】因为，故，同理，

令，则，

当时，，当时，，

故在为减函数，在为增函数，

因为，故，即，而，

故，同理，，，

因为，故，

所以.

故选：D．

【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．

11．已知函数，，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，函数利用导数求最小值，函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.

【详解】由题意可知，

，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

当时，取得最小值，，

，，

①当时，函数单调递增，，

即 ，解得：，不成立；

②当时，，

即，解得：或，不成立；

③当时，函数单调递减，

即 ，解得：，成立.

综上可知：.

故选：B

【点睛】本题考查双变量不等式恒成立，求参数的取值范围，意在考查转化与化归，分类讨论的思想，属于中档题型，一般双变量不等式恒成立的问题转化为函数的最值问题.

12．若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数可求得单调性，进而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得，由此可得关于的不等式，解不等式可求得的取值范围.

【详解】，当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，

又，，，

由“稳定函数”定义可知：，即，

解得：，即实数的取值范围为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数导数中的新定义运算问题，解题关键是能够充分理解稳定函数的定义，将问题转化为函数最大值和最小值之间的关系，由此利用导数求得最值来构造不等关系.

二、填空题

13．设，则______.

【答案】

【分析】根据定积分的运算法则和牛顿莱布尼茨公式求解即可.

【详解】解：根据题意：

故答案为：

14．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为______（写序号）．

【答案】

【详解】根据三段论的模式，大前提为定理、事实或已知的结论，小前提为所举实例，结论则是结果，所以根据题意很容易分析得作为大前提、小前提和结论的依次为

15．观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：_____．

【答案】.

【详解】由题得不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2018，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以

故填.

16．如果，那么______．

【答案】i

【分析】结合复数除法、乘方运算求得正确答案.

【详解】因为，故，

所以，故，，

故.

故答案为：

17．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】构造，利用导数研究单调性，由题设知对称轴为，即可得，进而求，而原不等式等价于，即可求解集.

【详解】设，则，又，

所以，即在R上是减函数，

因为为偶函数，所以图象关于y轴对称，而向右平移3个单位可得，

所以对称轴为，则，

所以，不等式等价于，故，

所以不等式的解集为.

故答案为：

三、解答题

18．已知函数.

(1)求导函数；

(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算即可求解；

（2）求出，利用点斜式写出切线方程.

【详解】(1)由，得.

(2)由（1）知当时，，则.

又，

所以函数的图像在点处的切线方程为，即.

19．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N).

（1）求x2，x3，x4的值；

（2）归纳数列{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明.

【答案】（1）x2＝，x3＝，x4＝；（2）xn＝，证明见解析.

【分析】（1）由f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)可依次求出x2，x3，x4的值；

（2）由x1，x2，x3，x4的值可归纳出xn＝，然后利用数学归纳法证明即可

【详解】（1）x2＝f(x1)＝，x3＝f(x2)＝＝＝，x4＝f(x3)＝＝.

（2）根据计算结果，可以归纳出xn＝.

证明：①当n＝1时，x1＝＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立.

②假设当n＝k(k∈N)时，公式成立，即xk＝，

那么，xk＋1＝＝＝＝，

所以当n＝k＋1时，公式也成立.

由①②知，当n∈N时，xn＝.

20．生产某产品的全部成本c与产品的件数x（单位：件）满足函数（单位：万元）；该产品单价p（单位：万元）的平方与生产的产品件数x（单位：件）成反比，现已知生产该产品100件时，其单价万元．且工厂生产的产品都可以销售完．设工厂生产该产品的利润为（万元）．（注：利润=销售额-成本）

(1)求函数的表达式．

(2)求当生产该产品的件数x（件）为多少时，工厂生产该产品的利润最大？

【答案】(1)

(2)当生产该产品的件数为件时，工厂生产该产品的利润最大

【分析】（1）先求得，然后利用“利润=销售额-成本”求得的表达式．

（2）结合导数求得最大时对应的的值.

【详解】(1)依题意：设，代入，得：，

∴，，

故.

(2)由（1）得，则，

所以函数在上，递增；

在上递减，

所以函数在处有极大值；

因为在上只有唯一极值，所以函数在处有最大值；

故当生产该产品的件数为件时，工厂生产该产品的利润最大.

21．已知函数f(x)=x+－(a-1)lnx-2，其中a∈R.

(1)若f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；

(2)讨论f(x)在区间［1，e]上的零点个数．

【答案】(1)或

(2)答案见解析

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的极值为0，得到关于的方程，解出即可；

（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理判断即可．

【详解】(1)解：，定义域是，

，

①若，则当时，恒成立，

故在单调递增，与存在极值点矛盾，

②若时，则由解得：，

故时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增，

故存在唯一极小值点，

故，

故或；

(2)解：，

①时，在，上恒成立，

故在，上单调递增，

（1），（e），

由零点存在性定理，在，上有1个零点；

②当时，当，时，，，时，，

在，上单调递减，在，上单调递增，

（a），此时在，上无零点；

③当时，在，上恒成立，

在，上单调递减，

（1），（e），

在，上有1个零点；

综上：当时，在，上无零点，

当或时，在，上有1个零点．

【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，函数在上恒成立，求证：.

【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析

【解析】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；

（2）由题意求出，转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值，即可求解.

【详解】（1）

若时，，在上单调递增；

若时，，当或时，，为增函数，

当时，，为减函数，

若时，，当或时，，为增函数，

当时，，为减函数.

综上，时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在和上单调递增，在上单调递减.

（2）由，解得 ，

所以，

由时，，可知在上恒成立

可化为在上恒成立，

设，

则，

设，则 ，

所以在上单调递增，

又，

所以方程有且只有一个实根，且

所以在上，， 单调递减，在上，单调递增，

所以函数的最小值为，

从而

【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在于得到后，不能求出的零点，需要根据的单调性及零点存在定理得到的大致范围，再利用的范围及证明不等式.