（暑假班）（人教A版）高二数学暑假讲义第一章 空间向量与立体几何单元综合测试（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知，则t的值为（ ）
A．B．3C．D．2
2．（2023·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）已知向量是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则（ ）
A．B．4C．D．2
3．（2023·高二单元测试）已知，点在平面ABC内，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
4．（2023·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）

A．B．
C．D．
5．（2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则或，重合
6．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·高二课时练习）已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·四川广元·高二广元中学校考开学考试）正方体的棱长为，、、分别为、、的中点．则其中正确的个数是（ ）
①直线与直线不垂直；②直线与平面平行；
③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等.
A．个B．个C．个D．个
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
11．（2023·江苏南京·高二南京市雨花台中学校联考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A．B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为D．二面角的正弦值为
12．（2023·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·高二课时练习）三个平面两两垂直，它们交于一点O，空间一点P到三个面的距离分别为和，则__________．
14．（2023·高二课时练习）已知向量，则：
①_________；②_________；③_________．
15．（2023·高二校考课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_________.
16．（2023·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则三棱锥的体积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）已知，．
(1)求；
(2)当时，求实数k的值．
18．（12分）
（2023·广西钦州·高二浦北中学统考期末）平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.
(1)求线段的长；
(2)若，，，用空间向量的一组基底表示向量.
19．（12分）
（2023·广东深圳·高二统考期末）如图，在正方体中，M，N，E，F分别为棱的中点，连接．
(1)证明：平面；
(2)证明：E，F，N，M四点共面．
20．（12分）
（2023·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AD＝5，BC＝2AB＝4，M为PC的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；
(2)若AM⊥PC，求直线PB与面PCD所成角的正弦值．
21．（12分）
（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值.
22．（12分）
（2023·福建·高二校联考阶段练习）如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3.
(1)求证：平面平面；
(2)若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.