人教A版高二数学选修第一册 第03讲 1.2 空间向量基本定理讲义（学生版+解析版）

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模块二 基础知识梳理
知识点01：空间向量基本定理
1、空间向量基本定理
如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得
2、基底与基向量
如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量．
对基底正确理解，有以下三个方面：
（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；
（2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是；
（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念．
【即学即练1】（多选）（高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由可判断A；由可判断B；设，由共面定理可判断C；设，由共面定理可判断D.
【详解】对于A，，
∴，，共面，不能构成基底，A错误；
对于B，，
∴，，共面，不能构成基底，B错误；
对于C，设，则，无实数解，
所以，，不共面，构成基底，C正确；
对于D，设，则，无实数解，
所以，，不共面，构成基底，D正确.
故选：CD
知识点02：空间向量的正交分解
1、单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示．
2、正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标．
3、特殊向量的坐标表示
（1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即
（2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即
（3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即
（4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即
（5）当向量平行于平面时，横坐标为，即
（6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即
模块三 核心考点梳理
题型01空间向量基底的概念及辨析
【典例1】（高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底.
【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；
B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；
C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；
D选项，因为，，
设，
即，
，无解，
故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.

故选：A
【典例2】（高二上·四川宜宾·阶段练习）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义判断即得.
【详解】向量是空间的一个基底，显然，即向量分别与向量共面，A、B不是；
假定向量与向量共面，显然不共线，即存在实数，使得，
即有，所以共面，与已知矛盾，因此向量与向量不共面，
所以向量可以与一起构成空间的另一个基底，C对，D错.
故选：C
【典例3】（高二上·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 .
【答案】4
【分析】变形得到，从而得到方程组，求出答案.
【详解】，
又，所以，
故.
故答案为：4
【变式1】（高二上·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断．
【详解】因为，，
又，
显然A，B，C三个选项中的向量都与共面，
而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的．
故选：D．
【变式2】（多选）（高二上·山西晋中·阶段练习）已知是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据空间的基底概念进行判断即可.
【详解】对于A选项，因，故不能构成一个基底，选项A错误；
对于B选项，三个向量中，任何一个都不能用其它两个线性表示，故可以构成一个基底，选项B正确；
对于C选项，三个向量中，任何一个都不能用其它两个线性表示，故可以构成一个基底，选项C正确；
对于D选项，因，故不能构成一个基底，选项D错误.
故选：BC.
【变式3】（高二上·贵州·开学考试）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 .
【答案】3
【分析】
将转化成以为基底的向量，与联立，即可求出的值.
【详解】，且
.
故答案为：3
题型02用空间基底表示向量
【典例1】（高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.
【详解】依题意，
.
故选：D
【典例2】（高二上·云南临沧·阶段练习）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 .
【答案】
【分析】依题意可得，即可得解.
【详解】向量在基底下的坐标是，
，
所以向量在基底下的坐标是.
故答案为：
【典例3】（高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点．
(1)用向量，，表示，；
(2)若，求实数，，的值．
【答案】(1)，
(2)，，．
【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；
（2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可．
【详解】（1）连接，则交于点，
，
．
（2）连接，
，
又，所以，，．
【变式1】（高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可.
【详解】连接，如图，
因为是的中点，所以
.
故选：B
【变式2】（高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出与向量同向的单位向量的有序实数组，设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，根据，可得，从而求出答案.
【详解】因为向量在基底下用有序实数组表示为，
所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为，
设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，
所以，
又因为，
所以，解得，
则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为.
故选：C.
【变式3】（上海市宝山区2023-学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）

【答案】
【分析】根据向量线性运算直接求解即可.
【详解】为中点，；
，；
.
故答案为：.
题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系
【典例1】（高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】选取基底，将已知直线垂直关系转换为数量积为0，得到相应的等量关系，进而证明即可.
【详解】如图所示：

不妨选空间的一组基底向量为，
由题意，，
所以有，即，
同理有，即，
因此，
从而，即.
【典例2】（高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面；
（3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案.
【详解】（1）．
（2）证明：，，
，共面．
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．
【典例3】（高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点．
(1)求的长；
(2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将用表示，再根据向量的模和数量积的运算律即可得解；
（2）先将用表示，根据，可得，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1），
因为，
所以，
则
，
所以的长为；
（2），
因为，所以，
即，即，解得.
【变式1】（高二上·全国·专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 .
【答案】证明见解析
【分析】设，由空间向量的运算证明，.
【详解】证明：设
则
，
，
，
，
，
又
，同理可证，
这个四面体相对的棱两两垂直.
【变式2】（高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点.
(1)用表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，时，.
【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得；
（2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可.
【详解】（1）
（2）假设存在点，使，设，
显然.
因为，所以，
即
.
设，又，
即，
解得，
所以当时，.
【变式3】（高二上·吉林松原·期中）如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，D为的中点．

(1)以为空间的一组基底表示向量，．
(2)线段上是否存在一点E，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可；
（2）连接，设，，将用表示，再根据，结合数量积的运算律即可得解.
【详解】（1），
；
（2）连接，
假设线段上存在一点E，使得，且，，
则，
因为，
所以，
因为，，
所以，
因为，，，
所以，所以，
此时点E与点C重合，，
所以存在点，且.

题型04应用空间向量基本定理求距离、夹角
【典例1】（高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；
（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.
【详解】（1），
则
，
所以.
（2）由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
【典例2】（高二上·四川凉山·期末）三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，，
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）由（1）的结论，利用空间向量的数量积运算计算即得.
【详解】（1）三棱柱中，为中点，点在线段上，，
则，，
因此
.
（2），，
则，同理得，
所以
.
【典例3】（高二上·四川凉山·期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．

(1)求线段的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量对应线段位置关系，应用向量加减法几何意义用，，表示出，再应用向量数量积的运算律求模长即可；
（2）应用向量加减几何意义和数量积的运算律求、，再利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值．
【详解】（1）设，，，则，，，
又，则.
（2）由，则，
则.
，
故异面直线与所成角的余弦值为．
【变式1】（高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)求的长；
(2)求异面直线和夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案；
（2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）由题意得，
又，，，，，
故
，
故；
（2）
，
设异面直线和夹角为，
则.
【变式2】（高二上·江西南昌·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，已知，，．
(1)求对角线的长；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量加法几何意义可得，应用向量数量积的运算律求模长，即可得结果；
（2）由（1）有，结合向量夹角余弦值的求法求结果.
【详解】（1）由，又以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，
所以.
故对角线的长为.
（2）由，则，
所以.
【变式3】（高二上·浙江湖州·阶段练习）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.

(1)试用表示向量；
(2)若，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示；
（2）利用向量的数量积运算求解向量的模.
【详解】（1）
，
又，，，
∴．
（2）因为，．
，．，
，
，
．
模块四 强化训练

一、单选题
1．（高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合条件用表示，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以，，
所以，
所以，.
故选：A
2．（高二下·江苏盐城·期中）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由空间向量基本定理易求得的值.
【详解】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得.
故选：B.
3．（高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】为的中点，
，，
故选:A.
4．（高二·全国·课后作业）设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的一组基底，要求三个向量不共面，判断选项即可．
【详解】易知，
由向量共面定理，知共面，同时及共面，易得选项A、B、D错误；
因为不共面，结合上面的结论，所以不共面，故可作为空间的一个基底.
故选：C．
5．（高二下·江苏连云港·期中）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量基本定理求解即可.
【详解】设向量在基底下的坐标为，则，
又向量在基底下的坐标为，则，
所以，即，
所以解得
所以向量在基底下的坐标为.
故选：B.
6．（高二下·江苏南京·期中）平行六面体中，所有棱长均为．则的长为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.
【详解】，
故
，
即的长为.
故选：B.
7．（高二上·安徽马鞍山·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解.
【详解】由题意三棱锥中，点面，且，
所以，解得.
故选：D.
8．（高二上·江西南昌·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】借助空间向量的线性运算与基本定理可得，结合消元法与二次函数的性质计算即可得.
【详解】因为，
所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点，
所以，即，
则.
故选：A.
二、多选题
9．（高二上·福建南平·期末）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】A选项，根据重心性质得到，求出；B选项，，利用向量数量积公式得到，得到垂直关系；C选项，，故两者不平行；D选项，利用向量数量积公式得到，得到.
【详解】A选项，底面为等边三角形，为的重心，
故，
又，故
，A正确；
B选项，，故
，
故，B正确；
C选项，，
又，
设，即，无解，故与不平行，C错误；
D选项，
，
故，D正确.
故选：ABD
10．（高二上·贵州黔东南·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（ ）
A．B．构成空间的一个基底
C．D．构成空间的一个基底
【答案】ACD
【分析】A.根据均为单位向量且两两垂直判断；B.利用基底的定义判断；C.利用数量积的运算律求解判断；D.利用基底的定义判断.
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确．
因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误．
，C正确．
因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确．
故选：ACD
三、填空题
11．（·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 .
【答案】 /0.5
【分析】利用三棱柱模型，选择一组空间基底，将相关向量分别用基底表示，再利用平面，确定必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得.
【详解】
如图，不妨设，依题意，,
，
因，则
又因平面，故必共面，
即存在，使，即，
从而有，解得.
故答案为：.
12．（高二上·湖南邵阳·期末）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则的长为 ．
【答案】
【分析】利用向量的线性运算及数量积公式，结合向量的模公式即可求解.
【详解】在平行六面体中，，

由，，
得，由是正方形，得，
所以
.
故答案为：
四、解答题
13．（高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．
(1)用基底表示向量，，；
(2)证明：平面．
【答案】(1)，，．
(2)证明见解析
【分析】（1）运用空间向量基本定理，用基底分别表示三个向量，，；
（2）用基底表示的三个向量，，，分别计算、，证明了两组线线垂直、，证明结论即可.
【详解】（1）已知，，，
得：，，
．
（2）证明：设，
又，
则，且，
则，
得，
即，
同理可得，
因为，，平面，平面，且，
所以平面．
14．（高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)求的长；
(2)求异面直线和夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案；
（2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）由题意得，
又，，，，，
故
，
故；
（2）
，
设异面直线和夹角为，
则.