（人教A版）选择性必修一数学高二上学期期中复习【第一章 空间向量与立体几何】九大题型归纳（基础篇）（2份，原卷版+解析版）

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1．12a+2b−3c−3a−2b−c=（ ）
A．−52a−4cB．−52a+4b−2cC．−52a+7b+32cD．−52a−5b−92c
2．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则AD+12BC−BD=（ ）
A．ADB．FAC．AFD．EF
3．化简：12(a+2b−3c)+523a−12b+23c−3(a−2b+c)．
4．如图，在空间四边形ABCD中，已知G为△BCD的重心，E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点，化简下列各式：
(1)AG→+13BE→−12AC→；(2)12AB→+AC→−AD→；(3)13AB→+13AC→+13AD→．
题型2
空间向量数量积的计算
1．在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+PB等于（ ）
A．109B．263C．823D．163
2．已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA⋅PB 的最大值为（ ）
A．−2B．−3C．−1D．0
3．如图所示长方体ABCD−A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′=AD=2,AB=4，求：
(1)BC′⋅AE；(2)B′D⋅AE．
4．如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算：
(1)EF⋅BA；(2)EF⋅BD；(3)EF⋅DC；(4)BF⋅CE．
题型3
用空间基底表示向量
1．如图，在三棱锥O­ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且PD =2DQ，若记OA=a，OB=b，OC=c，则OD等于（ ）
A．16a+13b+13cB．13a+13b+13c
C．13a+16b+13cD．13a+13b+16c
2．如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b，AA1=c，则BM=（ ）

A．12a−12b+cB．12a+12b+c
C．−12a−12b+cD．−12a+12b+c
3．如图，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设AA′=a，AB=b，AC=c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用基底a,b,c表示向量AM，AN.

4．如图，四棱锥P−OABC的底面OABC是矩形，PO⊥平面OABC，设OA=a，OC=b，OP=c，E，F分别是PC，PB的中点，试用{a,b,c}表示BF，BE，AE．

题型4
由空间向量基本定理求参数
1．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若AE= xAB+yAD+zAP，则x+y+z=（ ）

A．13B．23C．1D．43
2．已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E是上底面A1C1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x−2y等于（ ）
A．2B．−1C．−12D．13
3．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a，AD=b，AA1=c，E，F分别是AD1，BD的中点．若D1F=xa+yb+zc，求实数x，y，z的值．

4．如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．
(1)OQ=PQ+xPC+yPA；
(2)PA=xPO+yPQ+PD．
题型5
空间向量运算的坐标表示
1．已知空间向量a=2,−1,2,b=1,−2,1，则2a−b=（ ）
A．4,−2,4B．2,−1,2C．3,0,3D．1,−2,1
2．已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（ ）
A．0,3,−6B．0,6,−20C．0,6,−6D．6,6,−6
3．已知向量a=3,−2,1，b=−2,4,0，c=3,0,2，求a−2b+4c．
4．已知a=(−2,3,5),b=(3,−3,2)，求下列向量的坐标：
(1)a−b；(2)2a+b；(3)−5b．
题型6
空间向量数量积运算的坐标表示
1．若向量a=2,2,3,b=−1,2,1,c=0,1,1，则a⋅b+c=（ ）
A．5B．8
C．10D．12
2．已知向量a=1,3,5，b=2,4,6，若n与x轴垂直，且a⋅n=12，n⋅b=14，则n=（ ）
A．（0，-1，3）B．（0，1，3）C．（0，-1，-3）D．（0，1，-3）
3．已知向量a=2,−1,−2，b=0,−1,4，求2a⋅−b和a+b⋅a−b.
4．已知a=2,−1,−2，b=0,−1,4，求a+b，a−b，a⋅b，2a⋅−b，a+b⋅a−b．
题型7
根据空间向量的坐标运算求参数
1．a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，则实数λ等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知向量a=(1,1,x)，b=(−2,2,3)，若(2a−b)⋅b=1，则x=（ ）
A．−3B．3C．−1D．6
3．分别求满足下列条件的向量x：
(1)2(−1,5,1)+4x=(2,14,−2)；(2)(3,7,1)+2x=(6,10,4)−x.
4．已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标:
（1）OP=12(AB-AC)；（2）AP=12(AB-AC).
题型8
利用空间向量证明线、面间的平行关系
1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l//α的是（ ）
A．a=(1,0,1)，n=(−2,0,2)
B．a=(1,3,5)，n=(1,0,1)
C．a=(0,2,1)，n=(−1,0,−1)
D．a=(−1,1,3)，n=(0,3,1)
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交B．平行
C．垂直D．不能确定
3．已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是A1B与A1C1的中点．求证：MN//面ADD1A1．
4．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若O1为A1C1中点，O2为AC中点.

求证：(1)BO1//D1O2；(2)BO1//平面ACD1；(3)平面ACD1//平面BA1C1．
题型9
利用空间向量证明线、面间的垂直关系
1．长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3,BC=4,AA1=5,AC∩BD=O,M为CC1中点，则下列选项中与OM垂直的是（ ）
A．OA1B．BCC．OB1D．A1C
2．已知点P是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱CD的中点，给出以下结论：
①A1P⊥C1D；②A1P⊥BD；③A1P⊥BC1；④A1P⊥平面BC1D其中正确命题的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，PA=2．

(1)求证：AE⊥PD；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．
4．如图所示，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面为正方形，O1,O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.

(1)求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
(2)若点E,F分别在棱AA1,BC上，且AE=2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD?