人教A版高二数学选修第一册 第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示讲义（学生版+解析版）

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模块一 思维导图
模块二 基础知识梳理

知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
【即学即练1】（高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 .
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
【即学即练2】（高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．B．2C．D．1
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【即学即练3】（高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4、两点间的距离公式
已知，则
模块三 核心考点梳理
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】（高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 .
【变式1】（多选）（高二上·福建三明·期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2）B．
C．的中点坐标为（1，1，1）D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】（高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ）
B．0C．2D．4
【典例2】（高二·全国·课后作业）已知，求.
【典例3】（高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式1】（高二上·河北·阶段练习）若，，则（ ）
A．22B．C．D．29
【变式2】（高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ．
【变式3】（高二上·新疆·阶段练习）已知，，.
(1)求的值；
(2).
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】（高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【典例2】（高二上·广东东莞·阶段练习）已知则（ ）
A．(0，34，10)B．(-3，19，7)C．44D．23
【典例3】（高二下·江苏·课后作业）已知，则 .
【变式1】（高二上·陕西西安·阶段练习）若，则 ．
【变式2】（高二上·新疆·阶段练习）已知，，.
(1)求的值；
(2).
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】（高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．
【典例2】（高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．

【变式1】（高二上·北京·期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（高二·全国·课后作业）已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ．
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】（·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（ ）
A．B．0C．3D．
【典例2】（高二上·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（ ）
A．B．C．8D．12
【变式2】（高二上·北京·期中）已知空间向量，则 ．
【变式3】（高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ．
题型06空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】（高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ．
【典例3】（高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 .
【典例4】（高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为 ．
【变式1】（高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【变式2】（高二上·陕西西安·期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式3】（高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 .

【变式4】（高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .
题型07空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】（高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ）
A．2B．
C．或D．2或
【典例2】（高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 .
【典例3】（高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【典例4】（高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 .
【变式1】（高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ．
【变式2】（高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，.
(1)求，;
(2)求与的夹角.
【变式3】（高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量．
(1)计算和;
(2)求与夹角的余弦值．
【变式4】（高二上·全国·期末）已知向量，，，，．
(1)求向量，，；
(2)求向量与所成角的余弦值．
题型08空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】（高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 .
【典例3】（高二上·山东·期中）已知点，，，向量.
(1)若，求实数的值；
(2)求向量在向量方向上的投影向量.
【变式1】（高二上·河南许昌·期末）已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ．
【变式2】（高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为
【变式3】（高二上·广东汕头·阶段练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
题型09空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】（多选）（高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高二上·广东东莞·期中）已知，，，设，，.
(1)判断的形状；
(2)若，求的值.
【变式1】（高二上·广东·期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（高二下·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（ ）
A．4B．C．4或D．5
【变式3】（高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 .
题型10空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】（高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ）
A．B．或C．或D．或
【典例2】（高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若向量，且，则实数的值为（ ）
A．1B．0C．D．
【典例3】（高二上·江苏盐城·期末）已知向量，，且，则实数m＝ ．
【变式1】（高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（ ）
A．B．C．2D．
【变式2】（高二上·湖南娄底·期末）已知空间向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 .
题型11易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，.
(1)求，夹角的余弦值；
(2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围.
【变式1】（高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
【变式2】（高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
模块四 强化训练
一、单选题
1．（高一下·天津·阶段练习）已知，，，令，，则对应的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（高一下·安徽·阶段练习）已知空间向量，且共线，则（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
3．（高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
5．（·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（ ）
A．B．0C．3D．
6．（高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
7．（高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ）
A．B．或C．或D．或
8．（高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）

A．B．
C．D．
10．（高二上·浙江·期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最大值2D．的最小值
三、填空题
11．（高二下·上海·期中）已知，，则 .
12．（高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ．
四、解答题
13．（高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，．
(1)若实数使与垂直，求值．
(2)求在上的投影向量．
14．（高二下·江西宜春·阶段练习）（1）已知向量，求；
（2）求与向量共线，且满足的向量的坐标；
（3）已知若，且与垂直，求．
运算
坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
平行（）
垂直（）
（均非零向量）