人教A版高二数学选修第一册 第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义（学生版+原卷版）

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模块一 思维导图

模块二 基础知识梳理
知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①
或②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.
知识点02：平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
得结论：得到平面的一个法向量.
【即学即练1】（高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.

【答案】（答案不唯一）.
【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案.
【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点，
所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面，
所以平面.
连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以.
综上可知，直线两两垂直，
所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：

由题意，在正和正中，，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，化简得，
令，则，即
所以平面的一个法向量为（答案不唯一）.
知识点03：空间中直线、平面的平行
设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则
【即学即练2】（高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面.
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解.
【详解】由题意可知底面为正方形，
因为平面，平面，所以两两垂直，
如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系，
则有关点及向量的坐标为：
，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取可得平面的一个法向量为，
因为，又在平面外，
所以平面.
知识点04：空间中直线、平面的垂直
设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则
【即学即练3】（高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.

(1)求证：；
(2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上
【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论.
（2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论.
【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点，
且.
又平面平面，平面平面平面，
平面.
又平面.
（2）由（1）知，.
以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则.
，
设为平面的一个法向量，
则，取，则.
假设在平面内存在点，使得平面平面.连接.
若，则设.设平面的一个法向量为.
由，取，则.
平面的法向量.由知，此情况不成立.
若与不共线，设，连接.

设，则.
当，即时，.
又平面，即平面平面，也即平面平面.
所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时，
平面平面.
模块三 核心考点梳理
题型01平面的法向量及其求法
【典例1】（高二上·湖北孝感·期末）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可.
【详解】由知，
设平面的一个法向量为，所以，
取，解得，选项D符合，
另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线.
故选：D
【典例2】（高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据向量垂直求平面的法向量即可.
【详解】根据题意可得：，设，
与平面垂直，则，可得，
当时，则，的坐标为．
故答案为：（答案不唯一）
【典例3】（高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量．
【答案】答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系的性质，利用线面垂直的性质建立合适的坐标系，再根平面法向量的性质求解即可.
【详解】因为平面，平面，所以
又，，所以，
所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
所以是平面的一个法向量．
因为，
设平面的一个法向量， 则
，取，得，
所以是平面的一个法向量．
【变式1】（高一上·江苏·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 .

【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，设，可得,,的坐标，由此可得向量,的坐标，由此可得关于,,的方程组，利用特殊值求出,,的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设，则, ,，
则,，
设平面的一个法向量为,,，
则有，令，可得，
则，
故答案为：（答案不唯一）
【变式2】（高二·全国·课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．

【答案】，
【分析】由于轴垂直于平面，则该平面法向量易得，根据法向量的性质列方程组求平面的法向量即可.
【详解】由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示，
因此是平面的一个法向量；
设是平面的法向量．
由已知得，，
因而
取，得，则是平面的一个法向量．
【变式3】（高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.

【答案】（答案不唯一）
【分析】利用求解平面的法向量的方法进行求解即可.
【详解】因为正方体的棱长为3，，
所以，，，则，，
设是平面的法向量，则，，
所以，
取，则，，故，
于是是平面的一个法向量（答案不唯一）．
题型02利用向量方法证明线线平行
【典例1】（高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【答案】证明见解析.
【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得.
【详解】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则、、、、、、、，
由题意知、、、，
∴，．
∴，又，不共线，
∴.
【典例2】（高二上·福建福州·期中）如图，在正方体中，点分别在棱上，
(1)证明：;
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）法一：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求即可；法二：取中点E，连结，证明即可；
【详解】（1）法一：证明：如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，
，，
，又不在同一条直线上，
；
法二：证明：取中点E，连结，是的中点， ，
四边形是平行四边形，，
又四边形是平行四边形，，
；
【变式1】（高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由，得到直线与平面的法向量垂直，得出，进而求得的值.
【详解】因为，所以，所以，解得．
故选：.
【变式2】（·山东泰安·一模）如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点．
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解，
【详解】（1）取中点，连接
因为底面为菱形，，
所以
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
型03利用向量方法证明线面平行
【典例1】（高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面；
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而证得，进而得证.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，
则
∵分别是的中点
∴
则
显然平面的一个法向量为，
所以，则，
又面 ，所以平面.
【典例2】（高三·全国·专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面
【答案】证明见解析
【分析】
建立空间直角坐标系，应用向量法求证.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，
则，
，， ．
显然平面的一个法向量为，
而，
∵，平面，∴MN//平面BCE．
【变式1】（高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面.
【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，
又因为分别为和的中点，可得，
又由向量为平面的一个法向量，且,
由此可得，又因为直线平面，所以平面.
【变式2】（高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可.
【详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
若，则，，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面
平面的其中一个法向量为，
所以，即，
又因为平面，
所以平面.
题型04利用向量方法证明面面平行
【典例1】1．（高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，用空间向量分别表示出，，由，得出，，即可证明；
（2）由（1）得出是平面的一个法向量，表示出，由得出，即可证明；
（3）求出平面的一个法向量 ，由平面的法向量，即可证明．
【详解】（1）证明：以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为，
则
所以，，
因为，，
所以，，
因为平面，平面，，
所以平面．
（2）由（1）知，是平面的一个法向量，
由点，，得，
因为，
所以，
因为平面，且，
所以平面．
（3）由题可知，，
设平面的一个方向量为，
由得，取则，
因为，，即，
所以，
所以平面平面．
【典例2】（高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

【答案】证明见解析
【分析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证，同理，再结合面面平行判定定理即可证明结论.
【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图

则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，
，，同理，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又平面
平面与平面平行．
【变式1】（高二下·江苏·课后作业）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】根据正方体的结构特征，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线平行，由面面平行的判定定理证明平面平面.
【详解】证明: 如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则有，，， ， ， ，
于是， ，，，
显然有，，所以，，
由，平面，平面，平面，
同理平面， 平面，，
所以平面平面
【变式2】（高二上·广东佛山·阶段练习）在正方体中，M，N分别是的中点．
(1)如果正方体的边长为6，求点到直线距离；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解距离，
（2）利用法向量平行即可求证.
【详解】（1）建立的空间直角坐标系知，因为正方体的边长为6，

所以直线的方向向量；，
，，；
所以，点到直线距离为．
（2）不妨设正方体边长为1， ，则，，设平面的法向量为，
则；即
令，可得平面的一个法向量为，
，设平面的法向量为，
取，故平面的一个法向量为，
所以，所以，故平面平面．
题型05利用向量方法证明线线垂直
【典例1】（·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点．
(1)证明：∥平面；
(2)证明：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行；
（2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
可得
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为，且平面，所以∥平面.
（2）由（1）可得：，
则，所以.
【典例2】（高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点.

(1)试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
(2)求的长
(3)求证：.
【答案】(1)坐标系见解析，，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，即可得到所求点的坐标.
（2）根据空间向量坐标运算即可..
（3）根据，即可证明结论.
【详解】（1）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

所以，
（2），，，
.
（3），.
，，，所以.
【典例3】（高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.

(1)证明：直线∥平面；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）建系，利用空间向量可得∥，再结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）由空间向量的坐标运算可得，进而可得结果.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在的直线，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
可得，可知，
则∥，且平面，平面，所以∥平面.

（2）设，则，可得，
由（1）可知：，
因为，所以.
【典例4】（高三·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
【答案】存在，
【分析】连接，以O点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，根据求解即可.
【详解】连接，因为，为的中点，所以，
由题意知平面ABC，，
又，，所以，
以O点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
由得，同理得，
设，得，
又，，
由，则，可得，
得，又，即，
所以存在点D且满足条件.
【变式1】（高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证：
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解；
【详解】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：
则由题意得，，，，
，
，
∴，即：，
∴．
【变式2】（高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．

(1)证明：；
(2)求平面的法向量．
【答案】(1)证明见解析
(2)法向量为，（答案不唯一）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量互相垂直的性质进行求解即可；
（2）根据平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，

，，设，，
所以，
所以．
（2），，，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
平面的法向量为.
【变式3】（高二·全国·课堂例题）如图所示，已知是一个正方体，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.
【详解】在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

令正方体棱长为1，则，
于是，
有，
因此，所以.
题型06利用向量方法证明线面垂直
【典例1】（高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD．
【答案】证明见解析
【分析】注意到此题中易于建系，可以考虑通过证明与平面的法向量共线推得结论平面PCD.
【详解】
如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形，故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系.
又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点，
则, ,
于是，不妨设平面PCD的法向量为，
则有令，故可取，
因，则平面PCD.
【典例2】（·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．

(1)当E,F为中点时，证明：平面；
(2)若平面，求的最大值及此时的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为，
【分析】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算确定线线垂直，结合线面垂直判定定理证明即可；
（2）由（1）坐标关系与线面垂直，设，可得，建立坐标等式关系，利用基本不等式求得最值即可.
【详解】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，

则，
设，
当E，F为中点时，，有，
所以，，，有，，
所以，又平面，
所以平面．
（2）由（1）可得，，，
若平面，则，，所以，
设，则，
由平面ACE，所以，
当时，，有，当时，等号成立，
所以，即，
综上，的最大值为，．
【典例3】（高二上·山西吕梁·阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.

(1)若点满足，求证：平面；
(2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，.
【分析】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，再计算，从而可证明；
（2）假设底面内存在一点，使得平面，从而根据列式可求解.
【详解】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.

所以，，，，，，
所以，.
设平面的一个法向量，
所以，
令，解得，，
所以平面的一个法向量.
若，则，
所以，
所以，，
又平面，所以平面.
（2）假设底面内存在一点，使得平面，
设，
又，所以，
又平面的一个法向量，所以，
所以，解得，，
所以底面内存在一点，使得平面，此时.
【变式1】（高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.

(1)求证：.
(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)点为的中点
【分析】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，再根据即可证明.
（2）设，根据平面PCB得到，，即可得到答案.
【详解】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），

设，则，，，，，，
所以，，
所以，
所以.
（2）因为平面PAD，设，
所以.
由（1），知，.
因为平面PCB，
所以，
，
所以，，
所以点G的坐标为，即点G为AD的中点.
【变式2】（高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面．

【答案】证明见解析
【分析】
根据已知条件建系，求平面的一个法向量和坐标进而证明线面垂直即可.
【详解】由直三棱柱可知平面，
因为平面，所以，又因为，
所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
所以，即，所以平面．
【变式3】（高二上·全国·单元测试）如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：

(1)平面平面；
(2)平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量来证明平面平面.
（2）通过直线的方向向量和平面的法向量来证明平面.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，，.
设平面的法向量为，
∵，，，，
∴，∴令，则，
设平面的法向量为，
∴，∴令，则，
∴，
∴平面平面.

（2）∵，分别为，的中点，∵，，
∴，∴，
∴平面.
题型07利用向量方法证明面面垂直
【典例1】（陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形是等腰梯形，，三棱锥的体积为，平面与平面垂直.

(1)求直线EF到平面的距离；
(2)求证：平面⊥平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）作，证明到平面的距离即为的长，即得三棱锥的高等于的长，利用三棱锥的体积，即可求得答案；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间位置的向量证明方法，即可证明结论.
【详解】（1）在平面内作，垂足为Z，四边形是等腰梯形，
则,故；
因为平面与平面垂直，平面平面，
且平面，故平面，
而，平面,平面，故平面，
则到平面的距离即为的长，
即E点到平面的距离即为的长，即三棱锥的高等于的长，
三棱锥的体积为，且四边形ABCD是边长为1的正方形，
则，则,
即直线EF到平面ABCD的距离为；
（2）证明：四边形是等腰梯形，四边形ABCD是边长为1的正方形，，
则,
以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
,
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
则，即，
故平面⊥平面.
【典例2】（高三上·江苏南通·阶段练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.

(1)若点是棱上的动点，且满足，证明：平面；
(2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，.
【分析】（1）利用空间向量证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，设，由平面平面解出即可.
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，,
因为点是棱上靠近的三等分点，即，则，
则，，，
设平面的一个法向量为，满足
令，则，则．
，∴，
又平面，所以平面．
（2）存在．
设，则，，，

设平面的一个法向量为，满足
令，则，故取．
，，
设平面的法向量为，
满足
令，则，故取，
若平面平面，则，即
解得，此时为的中点，则．
【典例3】（高二上·山西大同·期中）如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点.

(1)若为线段的中点，证明：平面；
(2)若平面平面，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用棱长求出，进而得到D是中点，利用中位线证明，进而证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，根据面面垂直时两个面的法向量也互相垂直，列出方程进行求解即可.
【详解】（1）连接，在直三棱柱中，有，
.
为中点，
又为中点，，
，，
又平面平面，
平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
设，
则，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面平面，
，解得，
当平面平面时，.
【变式1】（高二上·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.

(1)求证：平面；
(2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析
【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面、平面的法向量，根据得到方程，解得，即可判断.
【详解】（1），，
，
，，平面，
平面，平面，
，
，，平面，
平面；
（2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，， ，，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
令， 则，
设，，则，，
设平面的法向量为，则，取，
平面平面，
，解得，
，
在线段上不存在一点，使平面平面．

【变式2】（高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）构造三角形的中位线得到线线平行，再利用线面平行的判定定理即可得到线面平行；
（2）法一：建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，再利用两平面垂直的向量法即可求出结果.法二：利用几何法，先找出平面，使平面平面，再利用几何关系即可求出结果.
【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形是菱形，所以点为的中点.
又因为为的中点，所以，
又因为平面平面，
所以平面.

（2）设底面边长为2，连接，由于为菱形，且，
故，
所以，故有，
又三角形为正三角形，为中点，故，
又侧面底面，平面平面，面，
所以平面，
如图，以为原点，方向分别为轴正半轴，建立空间直角坐标系.
则，
设，则，
则，
设平面的法向量为，则有，得到，
取，得，，所以，
又平面法向量可取为，
由题可知，即，解得，
故存在点使得平面平面，.

法二：三角形为正三角形， 是的中点，
又侧面底面，平面平面，面，
所以平面，
连接，取的中点，连接，则是的中位线，，
所以平面，
延长交于，又面，所以平面平面.
因为，所以，
又因为，所以，，
故存在点，使得平面平面，.

【变式3】（高二上·北京东城·期中）如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.

(1)求证：∥平面CEP；
(2)求证：平面平面DEP.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）建系，利用空间向量可得∥，进而结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）利用空间向量可得，进而结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明.
【详解】（1）
因为P，Q均为AB，DC的中点，则∥，所以，
且平面ABCD，故以P为坐标原点，以PA、PQ、PE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．

设，，则，
因为，则，
所以∥，即∥，
且平面EPC，平面EPC，
所以∥平面EPC.
（2）
因为，则，
则，，
可得，
且，平面EPD，所以平面EPD.
又因为平面AEQ，所以平面平面DEP.

模块四 强化训练
一、单选题
1．（高二下·江苏盐城·期中）设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量平行，从而可求出的值.
【详解】因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，
即，解得.
故选：A.
2．（高二上·全国·期中）若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（ ）
A．B．
C．D．与位置关系不确定
【答案】A
【分析】
根据方向向量与法向量共线即可判断.
【详解】由于直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，
由于，所以直线与平面的法向量共线，所以．
故选：A．
3．（高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（ ）
A．4B．C．10D．
【答案】C
【分析】根据数量积的坐标表示列方程求解可得.
【详解】因为，
所以，解得.
故选：C
4．（高二上·浙江温州·期中）已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．
【答案】B
【分析】由已知向量的坐标知，即可判断直线与平面的位置关系.
【详解】由题设，即，又是平面的法向量，所以.
故选：B
5．（高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案.
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
设，平面的法向量为，
则，
解得，令得，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
由题意得，
解得，故
故选：D
6．（高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得.
【详解】
如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则有,
依题意，，
,
于是，.
又因平面，平面,则,
又,平面，故平面,
故平面的法向量可取为，
因平面，故，即.
则
，
因，故当时，.
故选：D.
7．（高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（ ）
A．③④B．①②C．②④D．②③
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断的值即可.
【详解】设正方体的棱长为，
对于①：如图建立空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误；
对于②：如图建立空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以，即，所以②正确；

对于③：如图建立空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以，即，所以③正确；
对于④：如图建立空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误；
故选：D.
8．（高二上·陕西·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于的方程，确定的值，即可求解.
【详解】如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，．

设平面的法向量为，
则
令，得．
设，则．
因为平面，所以，
则，解得，．
故．
故选：D
二、多选题
9．（高二上·吉林松原·期中）在正方体中，分别为棱，，的中点，则下列直线与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设棱长为，结合空间向量的数量积坐标运算，逐项判定，即可求解.
【详解】如图，以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设棱长为，
则，，，，，，．
因为分别为棱，，的中点，可得而，，，
所以，，，，，
因为，所以，所以A正确；
因为，所以，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，所以D错误．
故选：AB.
10．（·贵州六盘水·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（ ）

A．若平面，则B．若平面，则
C．若平面，则D．若平面，则
【答案】BD
【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法计算可得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，则，取，
又平面的法向量可以为，
设，，则，
若平面，则，即，解得，
即，故A错误，B正确；
若平面，则，则，即，
所以，解得，即，故C错误，D正确.
故选：BD

三、填空题
11．（高二上·河南信阳·期末）已知，平面的法向量，若，则 ．
【答案】
【分析】利用直线与平面垂直得到直线的方向向量与平面的法向量共线，从而利用空间向量平行的坐标表示即可得解.
【详解】因为，所以与共线，
又，，则，
所以，.
故答案为：.
12．（高二上·全国·专题练习）如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ .
【答案】1
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论．
【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1，
，则，，.
设，则
因为， ，，
即是AD的中点，故，
故选：B.
四、解答题
13．（高三上·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.

(1)当为中点时，求证:平面;
(2)当平面时，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）设，得到为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面 ；
（2）以为原点，建立空间坐标系，得到
设，求得，结合，求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）证明：连接 ，设，则为的中点，
连接 ，因为和分别为，的中点，所以，
因为平面，且平面，所以平面 .

（2）解：以为原点，分别为和轴, 过做的平行线为轴，建立空间坐标系，如图所示，设，
（3）
（4）则，
所以，
设，可得，则，
由平面，所以，解得，
所以.

14．（高二上·广东江门·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，证明出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，假设存在M，使得平面，设，求出平面的法向量，得到方程组，方程组无解，假设不成立，不存在点M.
【详解】（1）∵，E为BD的中点，
∴⊥，
又平面⊥平面，且平面平面，平面，
∴⊥平面，
∵平面，
∴，
而平面，平面，
∴平面；
（2）由（1）知，⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，又⊥，
故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，

设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
假设在线段AD上存在，使得平面，
设，则，
∴．则．
平面的法向量，
由，即，即，无解，不存在．
∴线段AD上不存点M，使得平面．
B能力提升
1．（·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建系，分析可知平面，，，结合垂直关系可知，结合范围分析最值即可.
【详解】如图所示：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
可得，
则，可知，
且，平面，可知：平面，
且平面，可得，
设，即，则，
因为，解得，即；
同理可得：平面，，
则，，
又因为，
则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心，
在中，结合等边三角形可知：，
因为平面，平面，则，可知，
当时，取到最小值；
当时，取到最大值；
综上所述：线段的取值范围为.
故选：C.
2．（高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）
C．（1）（4）D．（2）（4）
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来判断出正确答案.
【详解】设正方体的边长为2，
对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，直线的方向向量为，
，，
因为，，
所以，，，平面，
所以平面，故图（1）正确；
对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，直线的方向向量为，
则，因为，所以与不垂直，
所以与平面不垂直，故图（2）错误；
对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
直线的方向向量为，因为，，
所以，，，平面，
所以平面，故图（3）正确；
对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
直线的方向向量为，因为，
所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确.
综上，正确的有图（1）（3）.
故选：B.
3．（高二上·四川绵阳·期中）在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则
【答案】2
【分析】建立空间直角坐标系，设，求得点N的坐标，再利用面面垂直得到两平面的法向量互相垂直，进而求得的值，即可得到答案.
【详解】在中，因为，故，
故在四棱锥中，有，
而，故平面，因平面，
所以，而，故，
而，故可建立如图所示的空间直角坐标系.
在中，因为经过的重心，则有，故，
在中，，
则，
设，则，故，
又，
设平面的法向量为，则，
取，则，故.
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
因为平面平面，
故，所以，故，所以.
故答案为：2
4．（·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，，
(1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值；
(2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？

【答案】(1)
(2)存在点在靠近点的三等分点处
【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，进而可得出答案；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，则，
，
故
，
所以，
当时，取得最小值，
所以线段长的最小值为；
（2）假设存在，设，
，
故，
，
设平面的法向量为，
则有，可取，
因为面，所以，
则，解得，
所以存在点在靠近点的三等分点处，使得面.

线线平行
⇔⇔()
线面平行
⇔⇔
面面平行
⇔⇔
线线垂直
⇔⇔
线面垂直
⇔⇔⇔
面面垂直
⇔⇔⇔