专题04 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识精讲-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

专题四    用空间向量研究直线、平面的位置关系

一 知识结构图

二.学法指导

1．证明两直线平行的方法

法一：平行直线的传递性

法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.

法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.

2．向量法证明线面平行的三个思路

(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.

(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．

(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．

3．证明面面平行的方法

设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.

4.坐标法证明线面垂直的两种方法

法一：(1)建立空间直角坐标系；

(2)将直线的方向向量用坐标表示；

(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；

(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.

法二：(1)建立空间直角坐标系；

(2)将直线的方向向量用坐标表示；

(3)求出平面的法向量；

(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．

5.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．

6．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．

三.知识点贯通

知识点1  求平面的法向量

平面的法向量的定义

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．

例题1.四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A­xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．

【解析】　A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－.又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝.∴n＝即为平面SCD的一个法向量．

知识点二   利用空间向量证明线线平行

空间中平行关系的向量表示

例题2：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．

求证：PQ∥RS.

【证明】法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.

则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)，

∴＝，∴∥，即PQ∥RS.

法二：＝＋＝－＋，

＝＋＝＋－，

∴＝，∴∥，即RS∥PQ.

知识点三   利用空间向量证线面、面面平行

空间中平行关系的向量表示

例题3 .在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

【证明】法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，

于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，

＝.

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．

又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD.

法二：＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD.

法三：＝－＝－＝－＝－＝－.即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD.

知识点四  利用空间向量证明线线垂直

空间中垂直关系的向量表示

例题4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；

(2)BD1⊥EB1.

【证明】设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，

E，B1(1,1,1)．

(1)∵＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)，

∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，

∴⊥，即BD1⊥AC.

(2)∵＝(－1，－1,1)，＝，

∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，

∴⊥，即BD1⊥EB1.

知识点五   用空间向量证明线面垂直

空间中垂直关系的向量表示

例题5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.

【证明】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F，

∴＝，＝(－1,0,0)，＝.

设平面A1D1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即解得

令z＝1，得y＝2，则n＝(0,2,1)．又＝，

∴n＝2.

∴n∥，即AE⊥平面A1D1F.

知识点六    利用空间向量证明面面垂直

空间中垂直关系的向量表示

例题6.　如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.

【解析】由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，

则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.

设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．

则⇒

令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．

设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．

则⇒

令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．

∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.

∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.

五 易错点分析

易错一  求共线的单位向量

例题7.与向量a＝(2，－1,3)共线的单位向量是________．

【答案】或　

【解析】∵|a|＝＝，所以与a共线的方向向量为±(2，－1,3)＝±，∓，±.与向量a共线的方向向量为或.

误区警示
共线向量包含同向和反向两种情况。

易错二 求平面的法向量

例题8.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量．

【解析】因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有即

得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．

错误区警示

一个平面的法向量不唯一，建立的坐标系不同，法向量坐标就可能不同。