（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第08讲 用空间向量研究直线 平面位置关系+课后巩固+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

这是一份（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第08讲 用空间向量研究直线 平面位置关系+课后巩固+随堂检测（2份，原卷版+教师版），文件包含暑假班-基础班2025年人教A版高二数学暑假讲义第08讲用空间向量研究直线平面的位置关系+课后巩固练习+随堂检测教师版docx、暑假班-基础班2025年人教A版高二数学暑假讲义第08讲用空间向量研究直线平面的位置关系+课后巩固练习+随堂检测原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间直线的向量表示式
设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq \(AB,\s\up6(→))＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→)).
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta.
(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→)).
注意点：
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
2．空间平面的向量表示式
①如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq \(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.
②如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．
③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq \(AP,\s\up6(→))＝0}．
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
易错辨析：
（1）空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能
（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．
（3）由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能
知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示
1、理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
2、利用待定系数法求法向量的步骤
3、求平面法向量的三个注意点
（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量
（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量
（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0
4、用空间向量证明平行的方法
(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．
(2)线面平行：
①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．
(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．
5、用空间向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．
(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
考点一：求直线的方向向量
例1．已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则________， ________.
变式1．【多选】如图，在正方体中，E为棱上不与，C重合的任意一点，则能作为直线的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点二：求平面的法向量
例2．已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是
考点三：用空间向量证明平行问题
判断直线、平面的位置关系
例3．若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断
变式1．已知平面与平面是不重合的两个平面，若平面α的法向量为，且，，则平面与平面的位置关系是________.
（二）已知直线、平面的平行关系求参数
例4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______．
变式1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______
（三）证明直线、平面的平行问题
例5．如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点．

证明：平面PAB；
变式1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.

求证：平面；
考点四：利用空间向量证明垂直问题
（一）判断直线、平面的位置关系
例6．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l和平面位置关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
（二）已知直线、平面的垂直关系求参数
例7．已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
变式1．如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（ ）
A． B． C． D．
（三）证明直线、平面的垂直问题
例8．如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点E在上，．
求证：平面平面；
一、单选题
1．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在三棱锥中，底面，，，，D为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线，则下列结论正确的个数是（ ）
①直线的截距为
②向量是直线的一个法向量
③过点与直线平行的直线方程为
④若直线，则
A． B． C． D．
4．不重合的两条直线，的方向向量分别为，．不重合的两个平面，的法向量分别为，，直线，均在平面，外．下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（ ）
A．，，且， B．，，且
C．，，且 D．，，且
7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知直线l在平面外，直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是___________（填“平行”或“相交”）
9．设平面的一个法向量分别为，则的位置关系为________．
10．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则____.
11．已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.
三、解答题
12．如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

证明：平面平面；
13.如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点M为PC的中点.

求证：；
用空间向量研究直线、平面的位置关系 随堂检测
1.已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是（ ）
A．B．C．D．
2.若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（ ）
A．l∥α或l⊂α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交
3.直线的方向向量分别为，则（ ）
A． B．∥ C．与相交不平行 D．与重合
4.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
5.直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则______．
6.放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量___________；
7.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则______．
8.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．
线线平行
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2
注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合
证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示．
线面平行
l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0
注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；
(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)特别强调直线在平面外．
面面平行
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2
注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
线线垂直
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直．
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
线面垂直
l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1
（1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
（2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
（3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
面面垂直
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直