人教A版高二数学选修第一册 第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题讲义（学生版+教师版）

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模块一 思维导图

模块二 基础知识梳理
知识点01：点到线面距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
【即学即练1】（高二上·陕西·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．10B．3C．D．
知识点02：用向量法求空间角
1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则
①
②.
【即学即练2】（·内蒙古包头·二模）在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．0B．C．D．
2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
【即学即练3】（高二·全国·课后作业）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量是，则平面与所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若分别为面，的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
【即学即练4】（高二上·贵州·阶段练习）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为 .
模块三 核心考点梳理
题型01利用空间向量求点线距
【典例1】（高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高三下·广东深圳·期中）在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 .
【典例3】（高二下·江苏扬州·阶段练习）如图①是直角梯形，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为 ．
【变式1】（高二下·福建龙岩·阶段练习）直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 .
【变式2】（高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离.
题型02利用空间向量求点面距
【典例1】（高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二下·江苏南京·期中）长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ．
【典例3】（高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ．

【典例4】（高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且.
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
【变式1】（高二上·山西朔州·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 .
【变式2】（高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ．
【变式3】（高一下·重庆沙坪坝·期中）三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为 .
【变式4】（高三下·河南·专题练习）如图，在正三棱柱中，为的重心，是棱上的一点，且平面.
(1)证明：；
(2)若，求点到平面的距离.
题型03转化与化归思想在求空间距离中的应用
【典例1】（高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【典例2】（高二上·山东·阶段练习）正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点，则平面AMN与平面EFD的距离为（ ）
A．2B．C．D．1
【变式1】（·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ）.
A．B．C．D．
【变式2】（高二上·河南洛阳·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，，，平面，且，E是的中点，则到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
【变式3】（高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A．B．1C．D．
题型04利用向量方法求两异面直线所成角（定值）
【典例1】（高二下·广西南宁·阶段练习）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
【变式1】（·广东梅州·模拟预测）直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（·辽宁抚顺·三模）在直三棱柱中，，为的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为 ．
题型05利用向量方法求两异面直线所成角（最值或范围）
【典例1】（·安徽·模拟预测）设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二下·江苏泰州·阶段练习）在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 .
【变式1】（高二下·江苏盐城·期中）在空间四边形中，，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 ．
【变式2】（高二下·江苏淮安·阶段练习）正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为 .
题型06已知异面直线所成角求参数
【典例1】（·全国·模拟预测）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（ ）
A．1B．C．D．
【典例2】（高二上·河南周口·期末）在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则
【典例3】（高二上·福建厦门·期中）如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．
(1)求证：．
(2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式1】（高二上·海南·期中）在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，是的中点，是棱上一点（不含端点），满足．若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】5．（高二上·上海嘉定·阶段练习）为正方体，动点P在对角线上，记．
(1)求证：；
(2)若异面直线AP与所成角为，求的值．
【变式3】（高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．
题型07利用向量方法求直线与平面所成角
【典例1】（高二下·山西·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【典例2】（高二下·河南·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点.
(1)证明：；
(2)设为的中点，在棱上，满足平面，求与平面所成角的正弦值.
【变式1】（·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥，且.
(1)求翻折后线段的长；
(2)点满足，求与平面所成角的正弦值.
【变式2】（·安徽芜湖·三模）如图，三棱锥中，平面平面，平面平面，平面平面，
(1)求证：两两垂直；
(2)若为中点，为中点，求与平面所成角的正弦值．
【变式3】（·江西·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为的中点．
(1)证明：；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
题型08利用向量方法求直线与平面所成角（最值或范围）
【典例1】（·河南）如图，已知圆柱，A在圆上，，，，在圆上，且满足，则直线与平面所成角余弦的最小值是 ．
【典例2】（高二下·江苏盐城·期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， . 分别是 的中点，点 在直线 上，且 .
(1)证明： ；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值.
【典例3】（·浙江·三模）在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点.
(1)若异面直线与所成的角为，判断与是否具有垂直关系并说明理由；
(2)若，，求直线与平面所成角的最大值.
【变式1】（高二上·浙江杭州·期中）如图，在正四棱柱中，，，点P是侧面内的动点，且，记AP与平面所成的角为，则的最大值为 ．
【变式2】（高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.
(1)证明：；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最小?
【变式3】（高二下·四川成都·期中）三棱锥中，，，，.
(1)求平面和平面夹角的余弦值；
(2)点为棱（不含端点）上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
题型09已知直线与平面所成角求参数
【典例1】（高三·全国·专题练习）如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．

【典例2】（高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当 时，直线与平面所成角的正弦值为.
【变式1】（高二上·贵州毕节·阶段练习）如图，在长方体中，为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取最大值时， .

【变式2】（高二上·全国·期末）如图，正方体的棱长为，在棱上有一动点，设直线与平面所成的角为，当时，则此时点与点之间的距离 ．
题型10利用向量方法求两个平面的夹角（定值）
【典例1】（高一下·江苏盐城·阶段练习）正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为 ，二面角的平面角的余弦值为 .
【典例2】（高三下·辽宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，.

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【变式1】（高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为 ．
【变式2】（高三下·广东肇庆·阶段练习）如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若为上的一点，点到平面的距离为，求二面角的余弦值.
题型11利用向量方法求两个平面的夹角（最值或范围）
【典例1】（·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，.
(1)当时，求证：平面；
(2)设二面角的大小为，求的取值范围.
【典例2】（高二下·浙江金华·期中）在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点．
(1)若平面，求的值；
(2)若三棱柱是正三棱柱，是的中点，求二面角余弦值的最小值．
【变式1】（·江苏南通·三模）如图，在直三棱柱中，，．
(1)当时，求证：平面；
(2)设二面角的大小为，求的取值范围．
【变式2】（高二下·上海·阶段练习）已知在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，.
(1)证明：；
(2)当为何值时，平面与平面夹角的正弦值最小？
题型12已知平面与平面所成角求参数
【典例1】（·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.
【典例2】（·山东菏泽·模拟预测）如图，在正四棱锥中，已知平面，点在平面内，点在棱上．
(1)若点是的中点，证明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【变式1】（·江苏泰州·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，N分别是BC，的中点．
(1)若M是的中点，证明：平面平面；
(2)若M是线段上的一动点，当二面角的余弦值为时，求BM长度．
【变式2】（高二下·安徽阜阳·期中）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，D为BC的中点．
(1)求证：；
(2)在棱PA上是否存在点M（不含端点），使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段AM的长度；若不存在，说明理由．
模块四 强化训练
一、单选题
1．（高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或－1B．或1C．－1或2D．
2．（高二上·上海·期末）已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（高二上·湖南郴州·期末）已知，，，则平面的法向量与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．或
C．D．或
4．（高二上·广东湛江·阶段练习）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．（高二下·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
6．（·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（·山西·三模）正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（高二下·湖北恩施·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．B．CE与OF所成角的余弦值为
C．四点共面D．的面积为
10．（高二上·四川南充·阶段练习）在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值可以为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（高二下·江西·阶段练习）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的大小为 .
12．（·河南开封·三模）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时 ．
四、解答题
13．（高三下·辽宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，.

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
14．（高三下·河南·阶段练习）如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，．
(1)证明：；
(2)若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值．