2023-2024学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{y|y＝ln（x2+1）}，则A∪B＝（ ）
A．[﹣1，4]B．[0，1]C．[﹣1，+∞）D．[0，4]
2．（5分）设f（x）是可导函数，且，则f（x）在x＝1处的切线的斜率等于（ ）
A．2B．C．﹣1D．﹣2
3．（5分）已知变量x与y的数据如表所示，若y关于x的经验回归方程是，则表中m＝（ ）
A．11B．12C．12.5D．13
4．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A．27种B．36种C．54种D．72种
5．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（ ）
A．10B．20C．30D．60
6．（5分）柯西分布（Cauchydistributin）是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X∼C（γ，x0），其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知X∼C（1，0），，，则P（|X|≤1）＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知函数，则“f（x）有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A．﹣1＜a＜1B．C．D．
8．（5分）已知x，y，θ∈R，若ex﹣2≤（x﹣y﹣1）ey，则x2+y2﹣2xcsθ﹣2ysinθ的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列命题正确的是（ ）
A．命题“对任意x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“存在x∉R，使得x2+x+1≥0”
B．“”的充分不必要条件是“a＞1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的充分不必要条件
（多选）10．（6分）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．共有256种放法
B．恰有一个盒子不放球，共有72种放法
C．恰有两个盒子不放球，共有84种放法
D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种
（多选）11．（6分）下列选项中正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布，则D（2X）＝5
B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望
C．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次
D．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）某市的5个区县A，B，C，D，E地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有 种．
13．（5分）某学校组织学生进行数学强基答题比赛，已知共有2道A类试题，4道B类试题，6道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为，，，学生甲答对试题的概率为 ．
14．（5分）若对任意的x1、x2∈（0，m），且x1＞x2，，则m的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设命题p：∀x∈[﹣1，1]，使得不等式x2﹣2x﹣3+m＜0恒成立；命题q：∃x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m成立．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
16．（15分），，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中．在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算．在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数．为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：
（1）请完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？
（2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d
17．（15分）甲、乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分．已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为，且各局比赛结果相互独立．
（1）若比赛共进行了三局，求甲获胜一局的概率；
（2）若比赛共进行了三局，求甲得3分的概率；
（3）规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望．
18．（17分）已知函数f（x）＝eax+（a﹣1）x，a∈R．
（1）当时，求f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）＝lnx（x＞0）有两根x1，x2（其中x1＜x2），
①求a的取值范围；
②当x2＜ex1时，求x1的取值范围．
19．（17分）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有n（n∈N*）份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n次；
方式二：混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为（k+1）次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为p（0＜p＜1）．
（1）现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．
①若E（ξ1）＝E（ξ2），求P关于k的函数关系式p＝f（k）；
②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：ln2＝0.693，ln25＝3.219，ln26＝3.258，ln27＝3.296，ln28＝3.332．
2023-2024学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{y|y＝ln（x2+1）}，则A∪B＝（ ）
A．[﹣1，4]B．[0，1]C．[﹣1，+∞）D．[0，4]
【分析】分别求两个集合，再求并集．
【解答】解：x2﹣3x﹣4≤0⇔﹣1≤x≤4，即A＝{x|﹣1≤x≤4}，
x2+1≥1，所以ln（x2+1）≥0，即B＝{y|y≥0}，
所以A∪B＝[﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查并集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）设f（x）是可导函数，且，则f（x）在x＝1处的切线的斜率等于（ ）
A．2B．C．﹣1D．﹣2
【分析】根据条件得到，再利用导数的几何意义，即可求出结果．
【解答】解：因为，
所以，
由导数的几何意义知，f（x）在x＝1处的切线的斜率为．
故选：B．
【点评】本题考查了导数及其几何意义的相关知识，属于基础题．
3．（5分）已知变量x与y的数据如表所示，若y关于x的经验回归方程是，则表中m＝（ ）
A．11B．12C．12.5D．13
【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程即可求解．
【解答】解：，，
∵经验回归方程经过样本中心点，
∴，
解得m＝11．
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程及其应用，是基础题．
4．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A．27种B．36种C．54种D．72种
【分析】解法一：分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案，
解法二：分别分析第一名、第二名和后面三名学生的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，
解法一：甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有6种情况，
此时有3×6＝18种名次排列情况；
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有6种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有6种情况，
此时有6×6＝36种名次排列情况；
则一共有36+18＝54种不同的名次情况．
解法二：第一名不能是甲乙，所以第一名就有三个同学可以选择，
最后一名不能是乙，也只能有三名同学可以选择，
第二名，第三名，第四名有种选法，
则有3×354种情况．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，关键是分析甲乙的名次情况，属于基础题．
5．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（ ）
A．10B．20C．30D．60
【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．
【解答】解：（x2+x+y）5的展开式中，通项公式Tr+1y5﹣r（x2+x）r，
令5﹣r＝3，解得r＝2．
（x2+x）2＝x4+2x3+x2，
∴x3y3的系数为220，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）柯西分布（Cauchydistributin）是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X∼C（γ，x0），其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知X∼C（1，0），，，则P（|X|≤1）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据概率密度函数的对称性，结合条件，即可求解．
【解答】解：函数关于y轴对称，
由可知，，且，
则，所以．
故选：D．
【点评】本题考查概率的应用，是基础题．
7．（5分）已知函数，则“f（x）有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A．﹣1＜a＜1B．C．D．
【分析】由题意可知f'（x）＝0有两个不等的实数解，转化为方程有两个实根，再次转化为的图象与y＝a有两个不同的交点，然后利用导数g（x）的单调区间，画出g（x）的图象，结合图象求解即可．
【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），则f′（x）＝lnx+1﹣2ax﹣x，
因为f（x）有两个极值，所以f'（x）＝0有两个不等的实数解，
由f′（x）＝lnx+1﹣2ax﹣x＝0，得，
令，y＝a，
则，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
因为，g（1）＝0，
所以当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，，
所以g（x）的图象如图所示，
由图可知当时，y＝a的图象与g（x）的图象有两个不同的交点，即f（x）有两个极值，
因为是{a|﹣1＜a＜1}的真子集，
所以“f（x）有两个极值”的一个必要不充分条件是﹣1＜a＜1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的极值，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有两个交点，考查数形结合的思想，属于较难题．
8．（5分）已知x，y，θ∈R，若ex﹣2≤（x﹣y﹣1）ey，则x2+y2﹣2xcsθ﹣2ysinθ的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】先变形为ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1＝0，证明x﹣y﹣2＝0，再把问题转化为求直线上的动点到圆上动点距离的最小值．
【解答】解：由题设ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1≤0，
设f（x）＝ex﹣x﹣1，则f′（x）＝ex﹣1，
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（0）＝0，即ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1≥0，
综上，ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1＝0，
即f（x﹣y﹣2）＝0，
所以x﹣y﹣2＝0，
设P是直线x﹣y﹣2＝0上的点，Q（csθ，sinθ）是圆x2+y2＝1上的点，
而目标式为x2+y2﹣2xcsθ﹣2ysinθ＝（x﹣csθ）2+（y﹣sinθ）2﹣1＝|PQ|2﹣1，
由|PQ|min11，
故（|PQ|2﹣1）min＝（1）2﹣1＝2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了函数最值的几何意义、转化思想及导数的综合运用，属于难题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列命题正确的是（ ）
A．命题“对任意x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“存在x∉R，使得x2+x+1≥0”
B．“”的充分不必要条件是“a＞1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的充分不必要条件
【分析】对于A选项，用量词命题的否定可得解；对于B选项，用集合法可以判断；对于C选项，用充分条件和必要条件的定义可以判断，对于D选项，用等价法可以判断．
【解答】解：对于A选项，命题“对任意x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“存在x∈R，使得x2+x+1≥0”，故A错误；
对于B选项，或a＞1，因为{a|a＞1}⫋{a|a＜0或a＞1}，
所以“a＞1”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C选项，充分性：当x≥2且y≥2时，x2≥4且y2≥4，则x2+y2≥8≥4，所以具有充分性，
必要性：令x＝2，y＝1，x2+y2＝5≥4，但“x≥2且y≥2”不成立，所以不具有必要性，
所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故C正确；
对于D选项，因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，
所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查充分必要条件，属于中档题．
（多选）10．（6分）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．共有256种放法
B．恰有一个盒子不放球，共有72种放法
C．恰有两个盒子不放球，共有84种放法
D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种
【分析】按照分步乘法计数原理判断A，B，先分组、再分配，即可判断C，先确定编号为1的球的放法，再确定与1号球所放盒子的编号相同的球的放法，按照分步乘法计数原理判断D．
【解答】解：若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44＝256种放法，故A正确；
恰有一个盒子不放球，先选一个盒子，再选一个盒子放两个球，则种放法，故B错误；
恰有两个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将四个球分为3，1或2，2两种情况，
故共种放法，故C正确；
编号为1的球有3种放法，编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号或其他两个盒子，
共有，即3×3＝9种放法，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）下列选项中正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布，则D（2X）＝5
B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望
C．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次
D．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则
【分析】根据二项分布方差公式，以及方差的性质，即可判断A；代入超几何分布的期望公式，即可判断B；根据二项分布的概率，结合不等式，即可求解，判断C；根据和事件概率公式，以及条件概率公式，即可判断D．
【解答】解：对于A，，，
D（2X）＝4D（X）＝5，故A正确；
对于B，X为超几何分布，所以，故B正确；
对于C，设最有可能击中k次，
则，k＝0，1，2，…，9，
则，
解得7≤k≤8，即k＝7或8，故C错误；
对于D，，
则，，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查二项分布方差公式、方差的性质、超几何分布的期望公式、和事件概率公式、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）某市的5个区县A，B，C，D，E地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有 96 种．
【分析】利用分步计数原理与分类计数原理可得结论．
【解答】解：第一步：从4种颜色中选3种颜色对A，B，C三个区域着色有种方法，
第二步：对D，E着色分两类，
当D与B同色有1种方法，对E着色有2种方法，
当D与B不同色时有1种方法，对E着色有2种方法，
故不同的染色方案共有24×（2+2）＝96种．
故答案为：96种．
【点评】本题考查排列的应用，考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理的应用，是中档题．
13．（5分）某学校组织学生进行数学强基答题比赛，已知共有2道A类试题，4道B类试题，6道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为，，，学生甲答对试题的概率为 ．
【分析】利用全概率公式进行求解．
【解答】解：学生甲答对试题的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
14．（5分）若对任意的x1、x2∈（0，m），且x1＞x2，，则m的最大值是 ．
【分析】由题意可得，令，则f（x2）＜f（x1），则可得f（x）在（0，m）上递增，然后利用导数求出f（x）的递增区间，从而可求出m的最大值．
【解答】解：因为x1＞x2，所以x2﹣x1＜0，
所以由，得x1lnx2﹣x2lnx1＜3x2﹣3x1，
所以x1（lnx2+3）＜x2（lnx1+3），
所以，
令，则f（x2）＜f（x1），
因为对任意的x1、x2∈（0，m），且x1＞x2，
所以f（x）在（0，m）上递增，
由，得，
由f′（x）＞0，得﹣lnx﹣2＞0，得lnx＜﹣2，
解得，所以f（x）的递增区间为，
所以m的最大值为．
故答案为：．
【点评】此题考查利用导数求函数的单调区间，解题的关键是将原不等式变形，然后构造函数，利用导数求函数的单调区间，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设命题p：∀x∈[﹣1，1]，使得不等式x2﹣2x﹣3+m＜0恒成立；命题q：∃x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m成立．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
【分析】（1）若p为真命题，即∀x∈[﹣1，1]，使得不等式x2﹣2x﹣3+m＜0成立，则转化对于x∈[﹣1，1]，m＜（﹣x2+2x+3）min即可．
（2）若q为真命题，即∃x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m成立，则转化为对于x∈[0，1]，即可．
【解答】解：（1）若p为真命题，即∀x∈[﹣1，1]，使得不等式x2﹣2x﹣3+m＜0成立，
则对于x∈[﹣1，1]，m＜（﹣x2+2x+3）min即可．
由于x∈[﹣1，1]，（﹣x2+2x+3）min＝0，则m∈（﹣∞，0），
（2）若q为真命题，即∃x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m成立，
则对于x∈[0，1]，即可．
由于x∈[0，1]，2x﹣2∈[﹣2，0]，∴m2﹣3m≤0，解得m∈[0，3]，
p、q有且只有一个是真命题，则或，
解得m∈（﹣∞，3]．
【点评】本题主要考查了复合命题真假关系的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
16．（15分），，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中．在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算．在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数．为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：
（1）请完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？
（2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d
【分析】（1）根据卡方的计算与临界值比较即可求解；
（2）利用二项分布的概率公式即可求解概率以及期望公式求解．
【解答】解：（1）由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人．
补充完整的2×2列联表，如下：
提出零假设H0：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关，
根据列联表中的数据，得，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）由（1）得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为，
依题意，得，
则，，，，
所以X的分布列为：
．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17．（15分）甲、乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分．已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为，且各局比赛结果相互独立．
（1）若比赛共进行了三局，求甲获胜一局的概率；
（2）若比赛共进行了三局，求甲得3分的概率；
（3）规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望．
【分析】（1）利用独立事件概率公式，列式求解；
（2）首先分析甲得3分的事件，再根据互斥事件概率公式和独立事件概率公式，列式求解；
（3）由题意可知，X＝2，3，4，5，根据随机变量表示事件的意义，根据概率求分布列，以及数学期望．
【解答】解：（1）设“三局比赛后，甲胜一局”为事件A，
甲胜一局包含以下情形：三局中甲一胜两平局，三局中甲一胜两负，三局中甲一胜一平一负，
所以，或，
所以甲胜一局的概率为
（2）设“三局比赛后，甲得3分”为事件B，
甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负，
所以，
所以甲得3分的概率为．
（3）（2）依题意知，X的可能取值为2，3，4，5，
则，
，
，
，
所以X的分布列为：
所以．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
18．（17分）已知函数f（x）＝eax+（a﹣1）x，a∈R．
（1）当时，求f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）＝lnx（x＞0）有两根x1，x2（其中x1＜x2），
①求a的取值范围；
②当x2＜ex1时，求x1的取值范围．
【分析】（1）对f（x）求导，并判断导函数的正负，即可得到f（x）的单调性；
（2）①f（x）＝lnx可转化为eax+ax＝elnx+lnx，令g（x）＝ex+x，有g（ax）＝g（lnx），再借助g（x）的单调性，得到，令，借助h（x）的单调性，得到h（x）的大致图象，即可求得a的取值范围；②借助h（x）的单调性，有，解不等式即可．
【解答】解：（1）当时，，所以，
由f′（x）＞0解得x＞0，由f′（x）＜0解得x＜0，
故f（x）的单调递增区间为（0，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0）．
（2）①由f（x）＝eax+（a﹣1）x＝lnx，即eax+ax＝lnx+x，即eax+ax＝elnx+lnx，
令g（x）＝ex+x，上式为g（ax）＝g（lnx），因为g′（x）＝ex+1＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（ax）＝g（lnx）等价于ax＝lnx，
即在（0，+∞）上有两根x1，x2，
令，则，
由h′（x）＞0解得0＜x＜e，由h′（x）＜0解得x＞e，
所以h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，
所以h（x）有极大值，且当x＞1时，h（x）＞0，
其图象如图所示：
所以a的取值范围为．
②由①得在（0，+∞）上有两根x1，x2，所以，
在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，
0＜x1＜e＜x2＜ex1，所以，
可得，所以，所以x1∈（e，e）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
19．（17分）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有n（n∈N*）份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n次；
方式二：混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为（k+1）次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为p（0＜p＜1）．
（1）现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．
①若E（ξ1）＝E（ξ2），求P关于k的函数关系式p＝f（k）；
②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：ln2＝0.693，ln25＝3.219，ln26＝3.258，ln27＝3.296，ln28＝3.332．
【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解；
（2）①根据ξ1和ξ2的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解p＝f（k）；
②根据①的结果，比较E（ξ1）和E（ξ2）的大小，通过构造函数，利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论．
【解答】解：（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A，
事件A分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体，
所以，
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为；
（2）①由已知得E（ξ1）＝k，ξ2的所有可能取值为1，k+1，
所以，，
所以，
若E（ξ1）＝E（ξ2），则k＝k+1﹣k（1﹣p）k，
所以k（1﹣p）k＝1，，
所以，得，
所以P关于k的函数关系式（k≥2且k∈N*）；
②由①知E（ξ1）＝k，，
若E（ξ1）＞E（ξ2），则，所以，得，
所以（k≥2且k∈N*），
令，则，
当2≤x＜8时，f′（x）＞0，当x＞8时，f′（x）＜0，
所以f（x）在[2，8）上单调递增，在（8，+∞）上单调递减，
因为 ，，
，
所以不等式E（ξ1）＞E（ξ2）的解是k∈[2，26]且k∈N*，
所以k∈[2，26]且k∈N*时，E（ξ1）＞E（ξ2），采用方案二混合检验方式好，
k∈[27，+∞）且k∈N*时，E（ξ1）＜E（ξ2），采用方案一逐份检验方式好．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
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