2023-2024学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知复数z1＝1+i，z2＝2﹣i（i为虚数单位，i2＝﹣1），则复数z＝z2﹣z1对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）命题“∃x＞0，x2﹣3x﹣10＞0“的否定是（ ）
A．∀x＞0，x2﹣3x﹣10＞0B．∃x＞0，x2﹣3x﹣10≤0
C．∀x≤0，x2﹣3x﹣10≤0D．∀x＞0，x2﹣3x﹣10≤0
3．（5分）下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ）
A．y＝sin2xB．y＝csxC．y＝2|sinx|D．y＝2|csx|
4．（5分）若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1和BB1上的点，，，那么正方体中过点D，P，Q的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
6．（5分）在同一个坐标系中，函数f（x）＝lgax，g（x）＝a﹣x，h（x）＝xa的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知sin2β＝3sin2（α+γ），则（ ）
A．﹣2B．C．D．
8．（5分）已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则csθ＝（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中x的值为0.030
B．被抽取的学生中成绩在[70，80）的人数为15
C．估计样本数据的众数为90
D．估计样本数据的平均数大于中位数
（多选）10．（6分）已知向量（﹣1，3），（x，2），且（2）⊥，则（ ）
A．（1，2）
B．|2|＝25
C．向量与向量的夹角是45°
D．向量在向量上的投影向量坐标是（1，2）
（多选）11．（6分）已知z∈C，设函数f（z）满足f（z）+zf（1﹣z）＝1+z，则（ ）
A．f（1）＝1
B．当z∈R时，f（z）不一定是常数函数
C．若，则
D．若|z|＝1，则zf（）+f（1）＝1+z
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）函数y＝lnx与y＝ex的图象关于直线 对称．
13．（5分）若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是 ．
14．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，若△ABC的面积为，则a＝ ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值、最小值及相应的x的值．
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）若，求平面ABC与平面PBC的夹角大小．
17．（15分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，a∈R．
（1）当a＝2时，求f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性．
18．（17分）已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点M（0，1），右焦点F，离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程；
（ii）是否存在直线l，使F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
19．（17分）已知数列{an}满足，数列{bn}满足bn+1＝3bn+2n﹣1（n∈N*），b1＝2．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）定义：已知数列{cn}，，当时，称{cn}为“4﹣偶数项和整除数列”．
（i）计算Sn，Tn，其中，．
（ii）若{λ（bn+n）﹣an}（λ∈N*）为“4﹣偶数项和整除数列”，求λ的最小值．
2023-2024学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z1＝1+i，z2＝2﹣i（i为虚数单位，i2＝﹣1），则复数z＝z2﹣z1对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先求出z，再结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：z1＝1+i，z2＝2﹣i，
则z＝z2﹣z1＝2﹣i﹣（1+i）＝1﹣2i，
故z对应的点（1，﹣2）位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2．（5分）命题“∃x＞0，x2﹣3x﹣10＞0“的否定是（ ）
A．∀x＞0，x2﹣3x﹣10＞0B．∃x＞0，x2﹣3x﹣10≤0
C．∀x≤0，x2﹣3x﹣10≤0D．∀x＞0，x2﹣3x﹣10≤0
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题“∃x＞0，x2﹣3x﹣10＞0“的否定是：∀x＞0，x2﹣3x﹣10≤0．
故选：D．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3．（5分）下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ）
A．y＝sin2xB．y＝csxC．y＝2|sinx|D．y＝2|csx|
【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论．
【解答】解：由于y＝sin2x是最小正周期为π的奇函数，则A正确；
由于y＝csx为最小正周期为2π的偶函数，则B错误；
由于y＝2|sinx|是最小正周期为π的偶函数，则C错误；
由于y＝2|csx|是最小正周期为π的偶函数，即D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
4．（5分）若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意可利用排列知识计算出三人所有的排法和甲不在中间的排法，再利用古典概型知识可解．
【解答】解：甲、乙、丙三人排成一行拍照，共有种排法，
又甲不在中间的排法有4种排法，
则甲不在中间的概率是P．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1和BB1上的点，，，那么正方体中过点D，P，Q的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【分析】画出图形，然后判断即可．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接CQ，DP，DQ，PQ，如图所示：
因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA和BB1上的点，
，，
所以PQ∥AB，又因为AB∥CD，
则PQ∥CD，
因为PQ⊄平面CC1D1D，CD⊂平面CC1D1D，
所以PQ∥平面CC1D1D，
又因为PQ⊂平面PQD，
所以PQ平行平面PQD与平面ABCD的交线，
即PQ∥CD，
所以平面PQD与正方体的截面为平行四边形PQCD．
故选：B．
【点评】本题考查线面平行的判定与性质的应用，属于基础题．
6．（5分）在同一个坐标系中，函数f（x）＝lgax，g（x）＝a﹣x，h（x）＝xa的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分a＞1，0＜a＜1两种情况对各个函数的图象分析，判断出结果．
【解答】解：当a＞1时，A中，g（x）＝a﹣x应该单调递减，而h（x）＝xa在（0，1）应该在y＝x的下方，所以A不正确；
C中，g（x）＝a﹣x应该单调递减，而h（x）＝xa在（0，1）应该在y＝x的下方，f（x）＝lgax的图象应该单调递增，所以C不正确；
B中，h（x）＝xa在（0，1）应该在y＝x的下方，所以B不正确；
D中，f（x）＝lgax的图象应该单调递增，所以D不正确；
当0＜a＜1时，
A中f（x）＝lgax的图象应该单调递减，所以A不正确；
B中，g（x）＝a﹣x应该单调递增，f（x）＝lgax的图象应该单调递减，所以B不正确；
C中，三个图象正确；
D中，g（x）＝a﹣x应该单调递增，h（x）＝xa应该在（0，1）在y＝x的上方，所以D不正确．
综上所述：只有0＜a＜1时C正确．
故选：C．
【点评】本题考查分类讨论的思想及函数的单调性的判断，属于基础题．
7．（5分）已知sin2β＝3sin2（α+γ），则（ ）
A．﹣2B．C．D．
【分析】令θ1＝α+β+γ，θ2＝α﹣β+γ，则有3sin（θ1+θ2）＝sin（θ1﹣θ2），再利用两角和与差的正弦函数公式展开，即可得解．
【解答】解：令θ1＝α+β+γ，θ2＝α﹣β+γ，则有3sin（θ1+θ2）＝sin（θ1﹣θ2），
所以3sinθ1csθ2+3csθ1sinθ2＝sinθ1csθ2﹣csθ1sinθ2，
所以2sinθ1csθ2＝﹣4csθ1sinθ2，所以2，则2．
故选：A．
【点评】本题考查两角和差的正弦公式，属于基础题．
8．（5分）已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则csθ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】作出图形，根据题意可得V圆锥SE：V圆锥SO＝1：8，从而可得两圆锥相似相似比为1：2，不妨设小圆锥SE的底面圆的半径为1，则大圆锥SO的半径为2，则根据几何关系可求出sin，从而可得解．
【解答】解：如图所示：
∵两圆锥相似，且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，
∴V圆锥SE：V圆锥SO＝1：8，
∴两圆锥相似相似比为1：2，
不妨设小圆锥SE的底面圆的半径为1，则大圆锥SO的半径为2，
又这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），
∴圆台的母线BC＝CF+BF＝CE+BO＝1+2＝3，
过C作CH⊥BO于点H，则HB＝1，
又∠ASB＝θ，∴∠BCH＝∠BSO，
又sinsin∠BCH，
∴csθ＝1﹣2sin2θ．
故选：C．
【点评】本题考查圆台的内切球问题，化归转化思想，属中档题．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中x的值为0.030
B．被抽取的学生中成绩在[70，80）的人数为15
C．估计样本数据的众数为90
D．估计样本数据的平均数大于中位数
【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可求出x的值，进而判断A，B，根据众数的定义可判断C，根据频率分布直方图是左拖尾可判断D．
【解答】解：对于A，由频率分布直方图可知，（0.005+0.01+0.015+x+0.04）×10＝1，
解得x＝0.03，故A正确；
对于B，被抽取的学生中成绩在[70，80）的人数为0.015×10×100＝15人，故B正确；
对于C，估计样本数据的众数为95，故C错误；
对于D，因为频率分布直方图是左拖尾，所以样本数据的平均数小于中位数，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了频率分布直方的应用，考查了众数、平均数和中位数的定义，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知向量（﹣1，3），（x，2），且（2）⊥，则（ ）
A．（1，2）
B．|2|＝25
C．向量与向量的夹角是45°
D．向量在向量上的投影向量坐标是（1，2）
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算及投影向量的运算求解即可．
【解答】解：已知向量（﹣1，3），（x，2），且（2）⊥，
则，
即（﹣1）2+32＝2（6﹣x），
即x＝1，
对于选项A，由题意可得：，即选项A正确；
对于选项B，，
则，
即选项B错误；
对于选项C，，
又，，
则，
则，
即选项C正确；
对于选项D，向量在向量上的投影向量为，
即选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算及投影向量的运算，属基础题．
（多选）11．（6分）已知z∈C，设函数f（z）满足f（z）+zf（1﹣z）＝1+z，则（ ）
A．f（1）＝1
B．当z∈R时，f（z）不一定是常数函数
C．若，则
D．若|z|＝1，则zf（）+f（1）＝1+z
【分析】分别取z＝0和1，推导出f（0）＝1且f（1）＝2﹣f（0）＝1，判断出A项的正误；由已知等式建立关于f（z）与f（1﹣a）的方程组，解出（z2﹣z+1）[f（z）﹣1]＝0，进而证出当z∈R时f（z）＝1恒成立，从而判断出B项的正误；将z代入已知等式，推导出（），由此解出的值，从而判断出C项的正误；根据共轭复数的性质，计算出当|z|＝1，等式zf（）+f（1）＝1+z成立，从而判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，取z＝0，得f（0）＝1+0＝1．再取z＝1，得f（1）+f（0）＝1+1＝2，因此f（1）＝2﹣f（0）＝1，故A项正确；
对于B，由f（z）+zf（1﹣z）＝1+z，用1﹣z代换z可得f（1﹣z）+（1﹣z）f（z）＝2﹣z，
以上两式消去f（1﹣z），可得（z2﹣z+1）[f（z）﹣1]＝0．
因为z∈R时，．所以f（z）﹣1＝0，即f（z）＝1，f（z）是一个常数函数，故B项错误；
对于C，若，则根据（），
可得（）2，解得，故C项正确；
对于D，若|z|＝1，则，可得，由f（z）+zf（1﹣z）＝1+z，可得f（）+2f（1）＝1，
即，整理得zf（）+f（1）＝1+z，故D项正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查复数的四则运算法则、共轭复数的定义与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）函数y＝lnx与y＝ex的图象关于直线 y＝x 对称．
【分析】直接利用反函数的图象的性质求出结果．
【解答】解：由于函数y＝lnx与y＝ex的互为反函数，
故函数y＝lnx与y＝ex的图象关于直线y＝x对称．
故答案为：y＝x．
【点评】本题考查的知识点：反函数的定义，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13．（5分）若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是 2 ．
【分析】根据扇形面积公式直接求解即可．
【解答】解：设扇形的面积为r，则扇形面积，
解得r＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
14．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，若△ABC的面积为，则a＝ ．
【分析】根据余弦定理求出csC，可得C，由此结合算出csB，可得B，所以A＝π﹣B﹣C．然后根据△ABC的面积为，列式算出ab，结合a：b＝sinA：sinB＝（）：，列式算出边a的大小，即可得到本题的答案．
【解答】解：由，可得csC，结合C∈（0，π），可得C．
所以，可得csB，结合B∈（0，π），得B，A＝π﹣B﹣C，
由三角形的面积公式，得S△ABCabsinC，即ab•，解得ab．
由正弦定理，得a：b＝sinA：sinB：（）：，
设b＝2x，则a＝（）x，可得ab＝（）x2，解得x＝1（舍负），所以a．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式等知识，属于中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值、最小值及相应的x的值．
【分析】（1）利用三角变换得到f（x）＝2sin（2x）+1，再求周期和单调区间即可；
（2）根据x∈时，2x∈[，π]可求得最值及对应的x的值．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinxcsx+2cs2xsin2x+cs2x+1＝2sin（2x）+1，
故Tπ；令2kπ≤2x2x2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）当x∈时，2x∈[，π]，则sin（2x）∈[，1]，所以f（x）∈[0，3]，
即f（x）的最大值、最小值分别为3，0，
当2x时，即x时，f（x）有最大值为3，
当2x时，即x时，f（x）有最小值为0．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）若，求平面ABC与平面PBC的夹角大小．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；
（2）根据条件证出则∠PBA为平面ABC与平面PBC的夹角，即可求解．
【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PD与平面ABCD所成的角为45°，PA⊥平面ABCD，
所以∠PDA＝45°，且PA＝AD，
又E为PD的中点，所以AE⊥PD，
因为CD⊥AD，又CD⊥PA，
故CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，
所以AE⊥平面PCD．
（2）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，
故BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，又BC⊥AB，
则∠PBA即为所求，
由（1）知：PA＝AD，则，
所以．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及两个平面的夹角计算，属于中档题．
17．（15分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，a∈R．
（1）当a＝2时，求f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性．
【分析】（1）把a＝2代入，对函数求导，结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；
（2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对a进行分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2e2x﹣x，f'（x）＝4e2x﹣1，
则f′（0）＝3，f（0）＝2，
故f（x）在x＝0处的切线方程为y＝3x+2；
（2）f'（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1＝（2ex+1）（aex﹣1），
①若a≤0，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
②若a＞0，当f′（x）＝0时，解得x＝﹣lna，
当x＞﹣lna时，f′（x）＞0，当x＜﹣lna时，f′（x）＜0，
则f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣lna）上单调递减，
综上，若a≤0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
若a＞0，f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣lna）上单调递减．
【点评】本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
18．（17分）已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点M（0，1），右焦点F，离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程；
（ii）是否存在直线l，使F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
（2）（i）设出直线l的方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数的关系以及中点坐标公式再进行求解即可；
（ii）若F恰为△PQM的垂心，推出，又yi＝xi+m（i＝1，2），结合（i）中信息求出m的值，再进行检验即可得到直线l的方程．
【解答】解：（1）因为椭圆C的焦点在x轴上，上顶点M（0，1），右焦点F，离心率，
所以，
解得a，b＝1，
则椭圆C的标准方程为；
（2）（i）易知kMF＝﹣1，
因为MF⊥l，
所以kMFkl＝﹣1，
解得k1＝1，
设直线l的方程为y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去y并整理得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，
此时Δ＝16m2﹣4×3×（2m2﹣2）＝8（3﹣m2）＞0，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
设线段PQ中点为N（x，y），
此时，，
则PQ中点的轨迹方程为；
（ii）若F恰为△PQM的垂心，
此时，
即，
因为yi＝xi+m（i＝1，2），
所以x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）＝0，
即，
因为，，
所以2，
解得或m＝1，
经检验符合条件．
故直线l的方程为．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（17分）已知数列{an}满足，数列{bn}满足bn+1＝3bn+2n﹣1（n∈N*），b1＝2．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）定义：已知数列{cn}，，当时，称{cn}为“4﹣偶数项和整除数列”．
（i）计算Sn，Tn，其中，．
（ii）若{λ（bn+n）﹣an}（λ∈N*）为“4﹣偶数项和整除数列”，求λ的最小值．
【分析】（1）因式分解构造数列从而得到数列通项公式．
（2）（i）根据题目所给定义代入即可求解．
（ii）使用组合数进行放缩数列放缩求解本题．
【解答】解：（1）由可得[an﹣（4n+4）]（an+n）＝0，
根据an＞0可得an＝4n+4，
由bn+1＝3bn+2n﹣1可得bn+1+n+1＝3（bn+n），且b1+1＝3，
所以{bn+n}是以首项为3，公比为3的等比数列，
故．
（2）（i），．
（i）方法一：当n＝1时，
显然λ＝1，2，3不满足题意．
当λ＝4时，4Tn﹣Sn∈Z，，
所以 得证．
故λ的最小值为4．
方法二：当n＝1时，，
显然，λ＝1，2，3不满足题意．
当λ＝4时，，，
因为 ，
且3n﹣n﹣1＞en﹣n﹣1＞0，
所以 得证．
故λ的最小值为4．
【点评】本题以数列新定义为背景考查数列的综合应用，属于难题．
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1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
A
C
B
C
A
C
题号
9
10
11
答案
AB
ACD
ACD