2023~2024学年湖北省武汉市5G联合体高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年湖北省武汉市5G联合体高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
又，所以.
故选：A.
2. “，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】因为命题“，”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题即，.
故选：D.
3. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A 向右平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位
【答案】B
【解析】因为，
所以将的图象向左平移个单位可得到的图象，
而把的图象向左平移后的图象对应的函数为，
不合题意；
把的图象向右平移后的图象对应的函数为，
不合题意.
故选：B.
4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图象可知，函数的定义域为，
因为的定义域为，所以排除C，
因为的定义域为，所以排除D，
因为当时，，所以排除A.
故选：B.
5. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由对数函数单调性可知：，
由指数函数单调性可知：，
由幂函数单调性可知：，
所以.
故选：D.
6. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，若，此时的定义域为，
则不是定义域的子集，
所以无法推出函数在区间上单调递增；
当函数在区间上单调递增，且定义域为，
因为二次函数只可能在上单调递增，
不可能在上单调递减，
故只需满足，解得，此时可以推出，
所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.
故选：C.
7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称B. 为奇函数
C. 在区间上单调递增D. 的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】由题可知，又因，所以，
则，
，则，，
所以，，
由于，所以，所以，则.
对A：，故A错误；
对B：为偶函数，故B错误；
对C：，则，函数不具有单调性，故C错误；
对D：当时，，则是函数的一条对称轴，
故D正确.
故选：D.
8. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有9个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为为R上的奇函数，所以，
所以，所以，
所以是周期为的周期函数，
在上的零点个数函数图象在上的交点个数，
且是最小正周期为的周期函数，
而，
在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：
因为，且，
由图象可知：当时，的图象共有个交点，
且第个交点的横坐标为，
又因为，
，
所以，所以第个交点的横坐标为，
所以的取值范围是.
故选：A.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 是第二象限角
B.
C. 已知角α的终边过点，则
D. 已知扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为
【答案】BCD
【解析】对于A：是第三象限角，A错误；
对于B：，B正确；
对于C：已知角α的终边过点，则，C正确；
对于D：根据条件该扇形的面积为，D正确.
故选：BCD.
10. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A：因为，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：因为，当且仅当时取等号，
故C正确；
对于D：因为，
所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
11. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A：
，A正确；
对于B：
，B错误；
对于C：
，C正确；
对于D：
，D错误.
故选：AC.
12. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则错误的是（ ）
A. B.
C. D. 函数有6个零点
【答案】ACD
【解析】作出函数的图象如下：
对于A：关于x的方程有四个不同的根，
即函数与的图象有4个交点，由图象可得，A错误；
对于B：由图可知，解得，B正确；
对于C：由图象知，所以，且，
所以，
又由，
所以，C错误；
对于D：对于函数函数，令，则，
可得，
当时，由图可得，有个根，
当时，由图可得，有个根，
当时，由图可得，有个根，
当时，由图可得，有个根，
综合得函数有个零点，D错误.
故选：ACD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知函数，则的值是______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以.
14. 已知，则__________.
【答案】
【解析】因为，
所以.
15. 若函数的最大值为，则常数φ的值为______．
【答案】
【解析】
，其中，
又函数的最大值为，
所以，整理得，
又，所以.
16. 已知函数与零点分别为和，若存在，使得，则实数a的取值范围是______．（是自然对数的底数）
【答案】
【解析】对于函数，
明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以函数在定义域上单调递增，
又，所以，
所以，即，
即函数在上存在零点.
令，得，
令，
对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，
在上单调递增，
又，
所以的值域为，所以.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：；
（2）若，求的值.
解：（1）原式.
（2），，
.
18. 已知函数．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．
解：（1）为奇函数；
证明：因为，所以，所以，
所以的定义域为且关于原点对称，
又因为，
所以奇函数.
（2）在上单调递减；
证明：且，
，
因为，所以，
且，
所以，所以，所以，
所以在上单调递减.
19. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，已知的最大值为1，求使成立时自变量x的集合．
解：（1）由题意知
，
当，，
即，，单调递增，
所以的单调递增区间为.
（2）当，，则，
所以，解得，所以，
由，即，所以，解得，
所以使成立时自变量的集合为.
20. 我们知道：设函数的定义域为D，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”．有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为D，那么“函数的图象关于点(m,n)成中心对称图形”的充要条件是“，”已知．
（1）利用上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形；
（2）判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式．
解：（1）的定义域为，
且，
根据条件可得的图象关于点成中心对称图形.
（2），
当越大，会导致为正数，且越大，从而会越小，
所以在上单调递减，
由得，
所以由在上单调递减可得，
即，即，
当，即时，不等式的解为或，
当，即时，不等式的解为或，
当，即时，不等式的解为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
21. 如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度；
（2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
解：（1）由题意可知：，
所以，又，得到，即，
又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，所以，
即，又，所以，
故，
当时，，所以时点P距离地面的高度为85.
（2）因从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，
经过最高点再下降至时又能看着全貌，每个游客可游玩三个周期，
由（1）知，得到，即，得到，
所以在每个周期内，，又，
所以，游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌.
22. 已知函数为偶函数，.
（1）求实数k的值；
（2）若，，使得恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）的定义域为，因为为偶函数，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
又因为不恒为，所以，即.
（2）因为，
令，当时，，且在上单调递增，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，
又因为为偶函数，所以在上单调递减，所以；
又因为，，使得恒成立，
且，所以对恒成立，
令，所以对恒成立，所以，
又因为在上单调递减，所以，即.