2023-2024学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（ ）
A．（0，2）B．（1，3）C．（2，4）D．（1，2）
2．（5分）“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（ ）
A．4B．6C．12D．20
4．（5分）一个小球做简谐运动，其运动方程为，其中s（t）（单位：m）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在t＝1时的瞬时速度为（单位：m/s）（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知随机变量X～N（9，σ2），且P（7＜X＜11）＝0.6，P（X＞12）＝0.1，则P（6＜X＜7）＝（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
6．（5分）设随机变量X的概率分布列如下，且，则X的方差D（X）＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）函数f（x）＝﹣x3+3x在区间上存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．m＞1
8．（5分）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，c＞d，则ac＜bd
B．若a2m＞a2n，则m＞n
C．若a＜b＜0，则
D．若，则ab＜b2
（多选）10．（6分）已知，，m∈N*，则下列结论成立的是（ ）
A．m＝5
B．
C．
D．a1+2a2+3a3+…+2ma2m＝﹣4m
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝（x+1）ex，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小值为
B．若方程|f（x）|＝a有2个不同的解，则
C．不等式f（x）≥2x+1对∀x∈R成立
D．当k＞0时，若不等式f（x）≥kln（x+1）+kx恒成立，则0＜k≤e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数f（x），则曲线y＝f（x）在点M（2π，0）处的切线方程为 ．
13．（5分）某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是 ．（用数字作答）
14．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分．多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．若抛掷2次散子，最终得分为X，则随机变量X的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为an，则当an取最大值时n的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合A＝{x|2m＜x＜m+4}，集合．
（1）若m＝﹣1，求（∁RA）∪B；
（2）若“∀x∈A，都有x∈∁RB成立”为真命题，求实数m的取值范围．
16．（15分）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49．
（1）求实数n和a的值；
（2）求的展开式中x10的系数．
17．（15分）水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分．已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：
（1）根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y关于时间x的回归方程（注：数据保留整数）；
（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考公式与数据：，，，，，
样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
18．（17分）为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练．教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示．规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”．
（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；
（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；
（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行A和B两个武术项目的训练考核，A、B项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，A项若为优秀得2分，概率为p，B项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分．设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f（p），求p为何值时，f（p）取得最大值．
附：，其中n＝a+b+c+d．
19．（17分）已知函数f（x）＝2ax﹣（2a+1）lnx，a．
（1）证明：当a＝0时，f（x）≤﹣1；
（2）已知g（x）＝f（x）+4alnx，且g（x）在区间[2，5]上单调递增，求a的最小值；
（3）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．
2023-2024学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（ ）
A．（0，2）B．（1，3）C．（2，4）D．（1，2）
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜4}，
B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，
则A∩B＝{x|1＜x＜2}．
故选：D．
【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．即可判断出结论．
【解答】解：由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．
∴“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（ ）
A．4B．6C．12D．20
【分析】由组合问题，结合组合数的运算求解．
【解答】解：平面内有A，B，C，D共4个点，
则以其中2个点为端点的线段共有6条．
故选：B．
【点评】本题考查了组合数的运算，属基础题．
4．（5分）一个小球做简谐运动，其运动方程为，其中s（t）（单位：m）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在t＝1时的瞬时速度为（单位：m/s）（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：运动方程为，
则s'（t），
故s'（t）．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
5．（5分）已知随机变量X～N（9，σ2），且P（7＜X＜11）＝0.6，P（X＞12）＝0.1，则P（6＜X＜7）＝（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：X～N（9，σ2），且P（7＜X＜11）＝0.6，
则P（9＜X＜11）0.3，
P（X＞12）＝0.1，
则P（11＜X＜12）＝P（X＞9）﹣P（9＜X＜11）﹣P（X＞12）＝0.5﹣0.3﹣0.1＝0.1，
故随机变量X～N（9，σ2），
则P（6＜X＜7）＝P（11＜X＜11）＝0.1．
故选：A．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
6．（5分）设随机变量X的概率分布列如下，且，则X的方差D（X）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据条件先求出m，n，然后利用方差的公式即可求解．
【解答】解，由题有，解得：，
所以，
则D（X）＝（﹣1）2（）2．
故选：C．
【点评】本题考查了分布列的性质及方差的计算，属于中档题．
7．（5分）函数f（x）＝﹣x3+3x在区间上存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．m＞1
【分析】求导分析单调性，极值，由于区间为开区间，则函数f（x）＝﹣x3+3x在区间上存在最大值与最小值，为极大值与极小值，进而可得答案．
【解答】解：因为f（x）＝﹣x3+3x，
所以f′（x）＝﹣3x2+3＝3（1﹣x2），
令f′（x）＝0，得x＝±1，
所以在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（﹣1，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）极小值＝f（﹣1）＝﹣2，f（x）极大值＝f（1）＝2，
因为区间为开区间，
所以函数f（x）＝﹣x3+3x在区间上存在最大值与最小值，为极大值与极小值，
所以﹣m＜﹣1且m＞1，同时，
所以1＜m，
所以m的取值范围为（1，]．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性、新定义、换元法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，以及对立事件概率和为1，和事件的公式，即可求解．
【解答】解：，
则P（A|B）＝1，
同理可得，P（A|），
P（A），
则P（AB）+P（A）＝P（B）P（A|B）+[1﹣P（B）]P（A|），解得P（B），故A错误；
P（AB）＝P（A）﹣P（）P（A|），故B错误；
P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），故C错误；
P（，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查条件概率乘法公式及其应用，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，c＞d，则ac＜bd
B．若a2m＞a2n，则m＞n
C．若a＜b＜0，则
D．若，则ab＜b2
【分析】由已知结合不等式性质检验各选项即可判断．
【解答】解：当c＞d＞0时，A显然错误；
若a2m＞a2n，则a2＞0一定成立，则a＞b，B正确；
若a＜b＜0，则0＞a﹣b＞a，，C错误；
若，则b＜a＜0，则ab＜b2，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知，，m∈N*，则下列结论成立的是（ ）
A．m＝5
B．
C．
D．a1+2a2+3a3+…+2ma2m＝﹣4m
【分析】由组合数的性质即可判断A，结合赋值法即可判断BC，由导数的运算结合赋值法即可判断D．
【解答】解：∵，
可得m+m+2＝10，
即m＝4，故A错误；
令x＝0，可得（0﹣1）8＝a0+a1+a2+…+a2m＝1，
令x＝﹣2，可得（﹣4﹣1）8＝a0﹣a1+a2﹣…+a2m＝58，
将两式相加可得2（a0+a2﹣…+a2m）＝58+1，即a0+a2﹣…+a2m，故B正确；
令x，可得a0[2×（）﹣1]8＝28，故C正确；
将（2x﹣1）8＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a2m（x+1）2m两边求导，
可得8（2x﹣1）7•2＝a1+2a2（x+1）+…+2ma2m（x+1）2m﹣1，
令x＝0，可得8×（﹣1）×2＝a1+2a2+3a3+…+2ma2m＝﹣16＝﹣4m，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了二项式定理，赋值法，是中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝（x+1）ex，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小值为
B．若方程|f（x）|＝a有2个不同的解，则
C．不等式f（x）≥2x+1对∀x∈R成立
D．当k＞0时，若不等式f（x）≥kln（x+1）+kx恒成立，则0＜k≤e
【分析】对于A：求导分析f′（x）的符号，判定f（x）的单调性，即可判定A是否正确；
对于B：令g（x）＝|f（x）|，作出函数g（x）的图象，若方程|f（x）|＝a有2个不同的解，则只需y＝|f（x）|与y＝a有两个交点，即可判定B是否正确；
对于C：不等式f（x）≥2x+1为（x+1）ex﹣2x﹣1≥0，令h（x）＝（x+1）ex﹣2x﹣1，定义域为R，求导分析单调性，最值，即可判定C是否正确；
对于D：不等式f（x）≥kln（x+1）+kx可化为（x+1）ex≥k[ln（x+1）+x]，x＞﹣1，即（x+1）ex≥kln[（x+1）ex]，令t＝（x+1）ex（x＞﹣1），则t≥klnt，令s（t）＝t﹣klnt，t＞0，则s（t）≥0在（0，+∞）上恒成立，解得k的范围，即可判定D是否正确．
【解答】解：对于A：f′（x）＝ex+（x+1）ex＝（x+2）ex，
令f′（x）＝0得x＝﹣2，
所以在（﹣∞，﹣2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（﹣2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f（﹣2）＝（﹣2+1）e﹣2＝﹣e﹣2，故A正确；
对于B：令g（x）＝|f（x）|，则g（x）图象可看作将y＝f（x）在x轴下方图象翻折到x轴上方，
作出函数g（x）的图象：
若方程|f（x）|＝a有2个不同的解，则只需y＝|f（x）|与y＝a有两个交点，
即只需y＝g（x）与y＝a有两个交点即可，
所以0＜a，故B错误；
对于C：不等式f（x）≥2x+1为（x+1）ex≥2x+1，即（x+1）ex﹣2x﹣1≥0，
令h（x）＝（x+1）ex﹣2x﹣1，定义域为R，
h′（x）＝ex+（x+1）ex﹣2＝（x+2）ex﹣2，
令t（x）＝（x+2）ex﹣2，
t′（x）＝ex+（x+2）ex＝（x+3）ex，
令t′（x）＝0，得x＝﹣3，
所以在（﹣∞，﹣3）上，t′（x）＜0，t（x）单调递减，
在（﹣3，+∞）上，t′（x）＞0，t（x）单调递增，
所以t（x）min＝t（﹣3）＝（﹣3+2）e﹣3﹣2＝﹣e﹣3﹣2＜0，
当x→﹣∞时，t（x）→0；x→+∞时，t（x）→+∞，
又t（0）＝0，
所以在（﹣∞，0）上t（x）＜0，在（0，+∞）上t（x）＞0，
所以在（﹣∞，0）上h′（x）＜0，h（x）单调递减，
在（0，+∞）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min＝h（0）＝（0+1）e0﹣2×0﹣1＝0，
所以h（x）≥0，
所以（x+1）ex≥2x+1，即f（x）≥2x+1对于∀x∈R恒成立，故C正确；
对于D：不等式f（x）≥kln（x+1）+kx可化为（x+1）ex≥k[ln（x+1）+x]，x＞﹣1，
即（x+1）ex≥k[ln（x+1）+lnex]，
即（x+1）ex≥kln[（x+1）ex]，
令t＝（x+1）ex（x＞﹣1），则t≥klnt，
t′＝ex+（x+1）ex＝（x+2）ex＞0，
所以t＝（x+1）ex在（﹣1，+∞）上单调递增，
所以当x＝﹣1时，t＝0，
所以当x＞﹣1时，t＞0，
令s（t）＝t﹣klnt，t＞0，则s（t）≥0在（0，+∞）上恒成立，
s′（t）＝1，t＞0，
令s′（t）＝0，得t＝k，
所以在（0，k）上s′（t）＜0，s（t）单调递减，
在（k，+∞）上s′（t）＞0，s（t）单调递增，
所以s（t）min＝s（k）＝k﹣klnk≥0，
又k＞0，
所以0＜k≤e，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数f（x），则曲线y＝f（x）在点M（2π，0）处的切线方程为 y1 ．
【分析】利用商的导数公式，求函数f（x）的导数；求出切线的斜率，即可求曲线y＝f（x）在点M（2π，0）处的切线方程．
【解答】解：函数f（x），f′（x）．
得在点M（2π，0）处的切线的斜率k＝f′（2π），
所以在点M（2π，0）处的切线方程为y﹣0（x﹣2π），即y1．
故答案为：y1．
【点评】本题考查导数公式的运用，考查导数的几何意义，正确求导是关键．
13．（5分）某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是 30 ．（用数字作答）
【分析】分当将甲、乙、丙、丁、戊五名学生分成“3，1，1”三组时，当将甲、乙、丙、丁、戊五名学生分成“2，2，1”三组时，两种情况讨论，然后结合分类加法计数原理求解．
【解答】解：当将甲、乙、丙、丁、戊五名学生分成“3，1，1”三组时，
则不同的安排方法数是18，
当将甲、乙、丙、丁、戊五名学生分成“2，2，1”三组时，
则不同的安排方法数是12，
综上可得：不同的安排方法数共有18+12＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了分类加法计数原理，属基础题．
14．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分．多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．若抛掷2次散子，最终得分为X，则随机变量X的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为an，则当an取最大值时n的值为 82或84 ．
【分析】根据最终得分X的可能取值，分别求出相应的概率，进而求出随机变量X的期望；记得1分的次数为x，则得3分的次数为50﹣x，则总分n＝150﹣2x，利用独立重复试验的概率和组合数的性质能求出当an取最大值时n的值．
【解答】解：得1分的概率为，得3分的概率为，
∴X的可能取值为2，4，6，
P（X＝2），
P（X＝4），
P（X＝6），
则随机变量X的期望值E（X）．
记得1分的次数为x，则得3分的次数为50﹣x，
则抛掷50次骰子，所得总分为n＝x+3（50﹣x）＝150﹣2x，
抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为an，则an，
若an取最大值，则0≤x≤50，x∈N，
，
解得33≤x≤34，
∵0≤x≤50，x∈N，∴x＝33或x＝34，
当x＝33时，n＝150﹣2×33＝84，
当x＝34时，n＝150﹣2×34＝82．
故答案为：；84或82．
【点评】本题考查独立重复试验的概率和组合数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合A＝{x|2m＜x＜m+4}，集合．
（1）若m＝﹣1，求（∁RA）∪B；
（2）若“∀x∈A，都有x∈∁RB成立”为真命题，求实数m的取值范围．
【分析】（1）分别求出集合A，B求解即可；
（2）由“∀x∈A，x∈∁RB”为真命题，等价于A∩B＝ϕ．求解即可．
【解答】解：（1）当m＝﹣1时，A＝{x|﹣2＜x＜3}．
又B＝{x|2≤x≤4}，
∴∁RA＝{x|x≤﹣2，或x≥3}，
（∁RA）∪B＝{x|x≤﹣2，或x≥2}；
（2）由“∀x∈A，x∈∁RB”为真命题，即A∩B＝ϕ．
当A＝ϕ时，2m≥m+4，即m≥4，符合题意：
当A≠ϕ时，或，
即m≤﹣2或2≤m＜4．
综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【点评】本题考查集合的运算，属于中档题．
16．（15分）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49．
（1）求实数n和a的值；
（2）求的展开式中x10的系数．
【分析】（1）直接利用二项式的系数和求出n和a的值；
（2）利用二项式的展开式求出结果．
【解答】解：（1）∵所有项的二项式系数之和为64，
∴2n＝64，
∴n＝6．
又前3项系数之和为49，∴，
解得a＝2或，又a＞0，
∴a＝2．
综上，a＝2，n＝6．
（2）的展开式中第k+1项为．
Tk+1中不含x10的项，且当k＝1时，，
当k＝2肘，．∴的展开式中x10的系数为﹣12×3+60＝24．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17．（15分）水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分．已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：
（1）根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y关于时间x的回归方程（注：数据保留整数）；
（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考公式与数据：，，，，，
样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
【分析】（1）观察表格数据易判断；
（2）根据线性回归方程，的公式代入数据可以求解；
（3）利用超几何分布可以求解．
【解答】解：（1）由表格数据易知更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型；
（2），，
，，
所以销售额y关于时间x的回归方程为；
（3）由表格可知6个月中，有2个月的销售额低于5万元，故X的所有可能取值为1，2，3，
则，
，
，
所以X的分布列为
．
【点评】本题考查线性回归方程与超几何分布，属于中档题．
18．（17分）为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练．教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示．规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”．
（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；
（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；
（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行A和B两个武术项目的训练考核，A、B项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，A项若为优秀得2分，概率为p，B项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分．设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f（p），求p为何值时，f（p）取得最大值．
附：，其中n＝a+b+c+d．
【分析】（1）根据题意补全2×2列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可；
（2）利用古典概型的概率公式和条件概率公式求解；
（3）利用独立事件的概率乘法公式求出f（p），再利用导数求出f（p）取最大值时p的值．
【解答】解：（1）零假设H0：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关，
根据题意，2×2列联表为：
则，
故根据小概率值α＝0.01的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关；
（2）设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件A，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件B，
则，，
所以；
（3）设“甲同学一天得分不低于（3分）”为事件M，
则，
则恰有3天每天得分不低于（3分）的概率，0＜p＜1，
所以，
当时，f（p）单调递增，时，f（p）单调递减，
所以当时，f（p）取得最大值．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了条件概率公式，以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．
19．（17分）已知函数f（x）＝2ax﹣（2a+1）lnx，a．
（1）证明：当a＝0时，f（x）≤﹣1；
（2）已知g（x）＝f（x）+4alnx，且g（x）在区间[2，5]上单调递增，求a的最小值；
（3）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝0时，f（x）＝﹣lnx，x＞0，求导分析单调性，最值，即可得出答案．
（2）求导得g′（x），则g′（x）≥0在[2，5]上恒成立，即a≥（）max，x∈[2，5]，即可得出答案．
（3）求导得f′（x），x＞0，分两种情况：①当a≤0时，②当0＜a时，讨论f′（x）的符号，f（x）的单调性，最值，零点，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：当a＝0时，f（x）＝﹣lnx，x＞0，
所以f′（x），
令f′（x）＝0，得x＝1，
所以在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）max＝f（1）＝﹣1，
所以f（x）≤﹣1．
（2）g（x）＝2ax+（2a﹣1）lnx，x∈[2，5]，
所以g′（x）＝2a，
由题意可知g（x）在[2，5]上单调递增，
所以g′（x）≥0在[2，5]上恒成立，
即2ax2+（2a﹣1）x+1≥0在[2，5]上恒成立，
所以a≥（）max，x∈[2，5]，
下面研究函数y，x∈[2，5]的最大值，
令t＝x﹣1，x∈[2，5]，
因为y，
所以t∈[1，4]，
因为t∈[1，4]，
所以2t∈[4，9]，
所以2t6∈[46，15]，
所以∈[，]，
所以y，x∈[2，5]的最大值为，当且仅当x1时，y取到最大值，
所以a，
所以a的最小值为．
（3）f′（x）＝2a，x＞0，
①当a≤0时，2ax﹣1＜0，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，
令f′（x）＜0得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）max＝f（1）＝2a﹣1＜0，
此时f（x）无零点，不符合题意，
②当0＜a时，1，
令f′（x）＞0得0＜x＜1或x，
令f′（x）＜0得1＜x，
所以f（x）在（0，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减，
又因为f（1）＝2a﹣1＜0，
当x∈（0，）时，f（x）≤f（1）＜0，
所以f（x）在（0，）上无零点，
由（1）知，当a＝0时，f（x）≤﹣1，即lnx1恒成立，
用替换x得ln1﹣x，即lnx≤x﹣1，
所以lnx＜x，
即ln，
所以lnx＝2ln2，
当x1时，1，
所以，
所以f（x）＝2ax﹣（2a+1）lnx2ax﹣2（2a+1）2ax﹣（4a+3），
所以存在m＝（2）2，使得f（m）＞0，
又因为f（）＜0，
所以存在x0∈（，m），使得f（x0）＝0，
又因为f（x）在（，+∞）上单调递增，且f（x）在（0，）无零点，
所以x0是f（x）的唯一零点．
③当a时，f′（x）0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又因为f（1）＝2a﹣1＝0，
所以f（x）有唯一零点，符合题意，
综上所述，0＜a，
所以a的取值范围为（0，]．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/30 9:19:21；用户：高中数学朱老师；邮箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；学号：37103942X
﹣1
0
1
P

m
n
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
时间代码x
1
2
3
4
5
6
销售额y（单位：万元）
2.0
4.0
5.2
6.1
6.8
7.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
训练前
4
7
5
9
5
2
8.5
6
7
5
训练后
8.5
9.5
7.5
9.5
8.5
6
9.5
8.5
9
9
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
训练后
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
A
A
C
B
D
题号
9
10
11
答案
BD
BCD
ACD
X
﹣1
0
1
P

m
n
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
时间代码x
1
2
3
4
5
6
销售额y（单位：万元）
2.0
4.0
5.2
6.1
6.8
7.4
X
1
2
3
P



1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
训练前
4
7
5
9
5
2
8.5
6
7
5
训练后
8.5
9.5
7.5
9.5
8.5
6
9.5
8.5
9
9
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
训练后
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
2
8
10
训练后
8
2
10
合计
10
10
20