安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025届高三下学期5月模拟 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．3C．5D．6
3．已知，，则（ ）.
A．B．C．D．
4．已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A．17B．16.5C．16D．15.5
5．已知圆O：上一点关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意一点，若分别交x轴于点，则（ ）
A．B．2C．D．4
6．中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的图象关于点对称，且在区间内有且只有两条对称轴，则（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递减
8．已知数列满足：，，则下列结果为负数的是：（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题
9．双曲线与有相同的（ ）.
A．实轴长B．焦距
C．离心率D．渐近线
10．下列说法正确的是（ ）
A．数据的上四分位数为9
B．若，，且，则相互独立
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则
D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变
（附：，，）
11．已知函数，其中，则（ ）
A．函数是周期函数
B．当时，函数的值域为
C．当时，是函数图象的对称轴
D．当时，函数在上有零点
三、填空题
12．已知函数恒过定点，则 .
13．已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为 ．（用区间表示）
14．在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为．记用户第关抽到奖品的概率为，则的最大值为 ．
四、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求A.
（2）若，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
（Ⅰ）求AM；
（Ⅱ）求.
16．已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点
（1）求C的标准方程;
（2）求面积的最大值.
17．如图，在斜棱柱中，底面为菱形，，．
(1)证明：；
(2)若，求的长度．
18．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值．
19．对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列;记，称数列为数列的二阶差分数列一般地，对于，记，规定：，，称数列为数列的k阶差分数列.对于数列，如果为常数，则称数列为k阶等差数列.
（1）已知7，14，25，41，63是一个k阶等差数列的前5项，求k的值及
（2）已知数列满足，对，且，恒成立.
ⅰ求证：数列为二阶等差数列;
ⅱ令，求证：数列的前n项和
参考答案
1．【答案】C
【详解】依题意，，而，
所以.
故选C
2．【答案】C
【详解】由，得，
则.
故选C.
3．【答案】A
【详解】
那么
展开得：
所以.
已知，根据两角和的正弦公式， .
已知，根据两角差的余弦公式， .
将与代入可得：
.
故选A.
4．【答案】B.
【详解】由数据的平均数为16，得，解得，
由，得数据的第60百分位数为.
故选B.
5．【答案】B
【详解】，设，则,
则，，
则，，
故.
故选B.
6．【答案】D
【详解】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为，
设圆台的上下底面半径分别为，
则，
所以，
所以，
所以圆台的高为
故选
7．【答案】B
【详解】，
因为函数的图象关于点对称，
所以，所以，
又，所以，
因为函数在区间内有且只有两条对称轴，
所以，
所以，所以，
所以，
由，可得，
所以在区间上单调递增，故A错误，B正确
由，可得，故C，D错误.
故选B.
8．【答案】B
【详解】设，则，
同理：，
对于：，，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
解得：，同理：，
则，，
，，
，，
，，
所以B正确.
故选B
9．【答案】ABC
【详解】由双曲线可知,所以实轴长为
焦距为,离心率为,渐近线为
再由另一个双曲线可知，，
所以实轴长为焦距为，离心率为，
渐近线为所以A,B,C选项正确，D错误.
故选ABC.
10．【答案】BD
【详解】对于A，我们把数据重新排列，得到，
又，所以数据的上四分位数为，故A错误；
对于B，因为，所以，
由条件概率公式得，得到，即相互独立，故B正确；
对于C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，故C错误；
对于D，由于，变成了，
则，，
从而都不变，则，故D正确.
故选BD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，依题意，，由，
，得，
因此函数是周期函数，A正确；
对于B，，而，
则当时，，当时，，B正确；
对于C，，当时，
，则函数图象关于点成中心对称，关于不对称，C错误；
对于D，，，
，又函数在R上的图象连续不断，因此函数在上有零点，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】令，则，又，所以过定点，
即，，所以
13．【答案】
【详解】因为是第三象限角，则，
曲线的方程可化为，曲线为双曲线，且，，
所以，双曲线的离心率为.
故答案为.
14．【答案】
【详解】依题意，，记用户第关抽到奖品为事件，当时，，
，，，
于是，则，
而，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
当为奇数时，，则；
当为偶数时，，数列是递减数列，，
所以的最大值为.
15．【答案】（1）
（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】（1）由正弦定理得，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，
又，故，
∴，解得；
（2）（Ⅰ）∵M是BC的中点，
∴，两边平方得
，
∴；
（Ⅱ）∵M，N分别是BC，AC的中点，
，.
所以与的夹角等于，
∴.
∵
，
，
又（Ⅰ）中，
所以.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题，故，
把代入椭圆方程中得到，
解得：，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题，直线PM的方程为，
设与直线PM平行的直线m的方程为，
当直线m与椭圆相切时，切点到直线PM距离取得最大值，Q为切点时，面积最大，
把代入椭圆方程中得：，
当直线m与椭圆相切时，距离最大，
故有，即，
所以，即，
当时，与之间的距离即为椭圆上点到直线PM距离的最大值，
此时，
所以面积最大值为
17．【答案】(1)证明见详解；
(2).
【详解】（1）过点作平面，垂足为，连接，如下图：
因为，，，所以，则，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，则，
可得点在线段的中垂线上，即，所以共面，
易知，因为，平面，所以平面，
因为平面，所以；
（2）连接，记，连接，如下图：
在中，由，且，则，
由（1）可知平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以平面，
在中，，，则，
易知，则，所以底面为正方形，
由，则.
18．【答案】(1)答案见详解；
(2)答案见详解.
【详解】（1）由，则函数，易知其定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，显然当时，函数在上单调递增，
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减；
（2）由时，则函数，可得，解得或，
所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数，
当时，则函数，
当时，函数在上单调递增，此时无极值；
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
由函数为偶函数，则函数的极大值为，
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.
19．【答案】（1），
（2）证明见解析；证明见解析
【详解】（1）由题意知，，，
，
，，
，，
由k阶等差数列的定义可知，，
由可得
（2）取，可得，
又，所以，
所以，
即，
所以为常数，
所以数列为二阶等差数列.
由知，
当时，，
，
，
，
相加得，
整理得，
所以，，
在等式中，取，，得，解得，
所以，
所以，
令，
，
相减得，
所以，
所以，得证.