安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的性质解不等式得到，再利用交集的定义求解即可.
详解】令，解得，则，
因为，所以，故D正确.
故选：D
2. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】依据题意利用十字相乘法求解一元二次不等式即可.
【详解】因为，所以，
则，解得或，
则不等式解集为或，故B正确.
故选：B
3. 命题，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】已知求解时，对条件和结论同时否定即可.
【详解】因为，，
所以，，故A正确.
故选：A
4. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分段函数的性质代入求解即可.
【详解】因为，所以，
则，故B正确.
故选：B
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数函数，指数函数单调性可得答案.
【详解】因在上单调递增，在R上单调递增，
则，
即.
故选：C
6. 甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（ ）
A. 0.4B. 0.6C. D. 0.76
【答案】C
【解析】
【分析】设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可.
【详解】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件，
则恰有一人破译密码为，而互斥，
由互斥事件概率公式得，
由题意得相互独立，相互独立，
由独立事件概率公式得，
，
由题意得，，则，
，得到，
则恰有一人破译密码的概率为，故C正确.
故选：C
7. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，，则，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.
故选：B
8. 若函数是上的偶函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用偶函数的定义建立方程，求解参数，再代回检验即可.
【详解】由题意得的定义域为，关于原点对称，
因为是上的偶函数，所以，
而，，
则，解得，
此时，，
，
符合题意，故A正确.
故选：A
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.
9. 若a，，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最大值为6B. 的最小值为6
C. ab的最大值为9D. ab的最小值为9
【答案】BD
【解析】
【分析】正数a，b满足，可得，解出即可得出ab的最小值，正数a，b满足，可得，解出即可得出的最小值.
【详解】正数a，b满足，
，即 ，
解得 ，即ab ，当且仅当时取等号，
，即ab的最小值为9，
正数a，b满足，
，即 ，
解得 ，当且仅当时取等号，
，即的最小值为
故选：BD.
10. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 函数的最小值为3
B. “”是“”的充分不必要条件；
C. “是方程的一个实数根”的充要条件是“”；
D. 设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件；
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例判断A，D，利用充分不必要条件的定义判断B，利用充要条件的定义判断C即可.
【详解】对于A，令，则，
则函数的最小值不可能为3，故A错误，
对于B，对于充分性，当时，成立，则充分性成立，
对于必要性，令，满足，不满足，则必要性不成立，
得到“”是“”的充分不必要条件，故B正确，
对于C，对于充分性，将代入中，
得到，故充分性成立，
对于必要性，当时，则，
代入方程中，得到，
则，显然是方程的一个根，即必要性成立，故C正确，
对于D，令，，
满足，此时化为，
解得，故，
此时可化为，
解得，故，显然，
则“”不可能是“”的充要条件，故D错误.
故选：BC
11. 设x为实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，.我们把函数叫做取整函数，下列关于取整函数的结论正确的是（ ）
A. 对任意，都有；
B. 对任意，，都有
C. 对任意，都有
D. 对任意，都有
【答案】AD
【解析】
【分析】利用取整函数的定义判断A，D，举反例判断B，C即可.
【详解】对于A，由的定义得，
则，即，故A正确，
对于B，令，，则，，
得到，即对任意，，
不可能都有，故B错误，
对于C，令，，则，
，即此时，
得到对任意，不可能都有，故C错误，
对于D，令，，
则，，
，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，对任意，都有，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 某单位有男职工人，女职工人，若根据性别采取分层抽样的方法，从中抽取一个容量为的样本，则女职工应抽取的人数为________.
【答案】
【解析】
【分析】依据题意求出分层比，再得到抽取的人数即可.
【详解】由题意得男女职工分层比为，而抽取一个容量为的样本，
则女职工应抽取的人数为.
故答案为：20
13. 已知，则的的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
14. 设，利用倒序相加法可求得________.
【答案】5
【解析】
【分析】由，进而利用倒序求和即可.
【详解】由，
记，则，
所以.
所以.
故答案为5.
【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性及倒序求和的思想，属于中档题.
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 从大小相同，编号为的5个小球中，选取3个小球，求下列事件的概率：
（1）编号为1，2的小球同时被取到的概率；
（2）所取到的三个小球的编号之和为偶数的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）先求出样本空间，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可.
【小问1详解】
从编号为的5个小球中任意取出3个，
样本空间为
记事件为“编号为的小球同时被取到”，
则，故.
【小问2详解】
记事件为“所取到的三个小球编号之和为偶数”，
则，故.
16. 若二次函数满足，.
（1）求的解析式；
（2）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出，结合给定条件建立方程，求解参数，得到函数解析式即可.
（2）将转化为，利用判别式建立不等式，求解参数范围即可.
【小问1详解】
因为是二次函数，所以设，
因为，所以，此时，
因为，所以，
化简得，对照系数得，，
解得，，则，即的解析式为.
【小问2详解】
由上问知，而对于任意实数，
由成立，得到，即，
得到，解得.
综上，实数a的取值范围是.
17. 如图，学校要在一个直角边长为20m的等腰直角三角形空地上修建一个矩形的花园，根据规划设计，花园的顶点E在的斜边BC上，分别在的直角边上.

（1）设（单位：m），矩形花园的面积为S（单位：），写出S关于x的函数解析式；
（2）当的长为多少时，花园的面积S取得最大值？求出面积S的最大值.
【答案】（1）
（2）当时，S的最大值为
【解析】
【分析】（1）结合题意并利用矩形的面积公式得到函数关系即可.
（2）利用二次函数的性质求解最值即可.
【小问1详解】
因为三角形是等腰直角三角形，所以，
得到，
则矩形花园的面积，
即.
【小问2详解】
由上问得，由二次函数性质得对称轴为，
而当时，S取得最大值100，即当时，S的最大值为.
18. 从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中的、的值；
（2）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数.
【答案】（1），
（2）
（3）（小时）
【解析】
【分析】（1）利用频数、频率和总容量的关系可求得、的值；
（2）利用表格中的数据可求得结果；
（3）将每组的中点值乘以对应组的频率，将所得结果相加可得平均数.
【小问1详解】
由频率分布直方图和表格中的数据可得，解得，，解得.
【小问2详解】
由频数分布表可知，从该校随机选取一名学生，这名学生课外阅读时间少于小时的频率为.
小问3详解】
由题意，样本中的名学生的学生该周课外阅读时间的平均数为
（小时）.
19. 设函数.
（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）若，是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的性质求出对称轴，再结合单调函数的性质求解参数范围即可.
（2）对的大小情况分类讨论，结合二次函数的性质求解符合情况的区间即可.
【小问1详解】
由二次函数性质得对称轴，
因为函数在上是单调函数，
所以或，则实数m的取值范围是.
【小问2详解】
若，则，
假设存在实数，使得函数的定义域为，值域为，
分以下情况讨论：（i）若，函数在上单调递增，
由题意得，即，
解得，与矛盾，排除，
（ii）若，函数在上单调递减，
由题意得，即，
解得，此时，
（iii）若，函数在上单调递增，在上单调递减，
由题意得，解得，因为fb=−12(134)2+132=3932>0，
，所以，
解得，此时，
综上所述，存在实数，或，
使得函数的定义域为，值域为.组号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
合计
分组
频数
6
8
17
22
25
12
6
2
2
100