安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）-A4，共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】将表示为的形式，由此判断出其所在象限.
【详解】依题意，，所以是第四象限角.
故选：D
【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.
2. 如果点位于第二象限，那么角所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由点位于第二象限可得,,即可判断所在象限.
【详解】由题,因为点位于第二象限,
所以,,
所以在第四象限,
故选:D
【点睛】本题考查象限角,属于基础题.
3. 已知角的终边过点，，则m的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值．
【详解】解：由题意可得，，，，
解得，
故选：．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得是偶函数，则结合即可得解.
【详解】由题意是偶函数，
所以，解得，
又，所以.
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性比较即可.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递减，
在单调递增，
所以，，，
所以.
故选：D
6. 如图，已知，用，表示，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向加、减法法则结合已知条件，可得出关于、的表达式.
【详解】因为
所以.
故选：C.
7. 已知，，且，则向量与的夹角余弦值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两向量垂直数量积为0，对化简，利用向量数量积公式计算，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
即，可得，
解得
故选：B
【点睛】本题考查了向量数量积运算，考查了理解辨析能力和运算求解能力，属于一般题目.
8. 在矩形中，,．若点，分别是，的中点，则
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可以以，两个向量作为基底向量用来表示所要求的，，然后根据向量的性质来运算，从而得出结果．
详解】由题意作出图形，如图所示：
由图及题意，可得：
，
.
∴.
故选C．
【点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.
【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递增；
最小正周期为，在区间上单调递减；
不是周期函数，在区间上单调递减；
故选：AC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最小值为0
C. 是奇函数
D. 的图象关于直线对称
【答案】AB
【解析】
【分析】根据正弦函数的图象和性质，可求函数的周期、值域、对称中心和对称轴，判断各选项的准确性.
【详解】函数，则的最小正周期为，最小值为0，故A，B选项均正确；
由，，得，所以函数的对称中心为：，，原点不是函数的对称中心，所以函数不是奇函数，故C选项错误；
由，，得，，即为函数的对称轴，所以不是函数的对称轴，故D选项错误.
故选：AB
11. 已知向量，，则（ ）
A. B. 向量在向量上的投影为
C. 与的夹角余弦值为D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；由向量在向量上的投影公式可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；
对于B选项，向量在向量上的投影为， B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由垂直的坐标表示求得，再由模的坐标运算求解．
【详解】由得，，
则，所以．
故答案为：．
13. 如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可.
【详解】连接，如图所示：
所以，则.
故答案为：
14. 已知向量，且，则实数k=____．
【答案】-6
【解析】
【分析】由向量平行的坐标公式求解即可.
【详解】，
，解得
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知角．
（1）将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角；
（2）在区间上找出与终边相同的角．
【答案】（1），角是第二象限角．
（2），．
【解析】
【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可；
（2）利用代入法进行求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以角与的终边相同，
又，所以角α是第二象限角．
【小问2详解】
因为与角终边相同的角（含角在内）为，
所以由，得．
因为，
所以或．
当时，；
当时，，
故在区间上与角终边相同的角是，．
16. 如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
（1）用表示；
（2）求证：B，E，F三点共线．
【答案】（1），，，，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
【小问1详解】
解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
【小问2详解】
证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
17. 在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在中，角所对的边分别为，已知______．
（1）求；
（2）若的外接圆半径为1，且，求；
（3）若，求锐角的面积的取值范围．
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合和角公式可得答案；
（2）先求出，结合正弦定理得出，利用余弦定理可求答案；
（3）利用正弦定理化边为角，得到面积的表达式，结合角的范围可得答案.
【小问1详解】
选①：由正弦定理可得，
即；
因三角形中，，
所以，整理得，
因为，所以，由于，所以.
选②：因为，由正弦定理可得，
即，
因为在三角形中，且，所以，
由于，所以.
【小问2详解】
因，所以，即，
所以，因为，所以；
因为的外接圆半径为1，由正弦定理可得，所以，
，
由余弦定理可得，即.
所以.
【小问3详解】
因为，所以，；
所以的面积为
，
因为三角形是锐角三角形，所以，由可得，
所以，所以，
所以.
18. 将的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到的图象.
（1）求的单调递增区间；
（2）求的图象的对称轴方程；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）递增区间为；
（2）对称轴的方程为；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据图象平移写出解析式，再由正弦函数的性质求单调区间；
（2）（3）利用正弦型函数的对称性、单调性及周期性求对称轴和解不等式.
小问1详解】
根据函数图象变换，可得，
因为的递增区间为，
令，得，
所以的递增区间为.
【小问2详解】
令，得，
所以图象的对称轴方程为.
【小问3详解】
由，得，
所以，解得，
所以的解集为.
19. 函数在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求的最大值和最小值．
【答案】（1）；
（2），；
（3）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】（1）由“五点法”，结合图象分别求出即可求解；
（2）利用整体代换法计算即可求解；
（3）结合正弦函数的图象与性质计算即可求解.
【小问1详解】
由图象知，，，即．
由图象过点，代入函数，
即，因为，则，
所以；
【小问2详解】
令，，
解得，
故函数的单调递增区间为，；
【小问3详解】
因为，所以，
当时，即时，取最大值，最大值为，
当时，即时，取最小值，最小值为，
所以的最大值为，最小值为．