北师大版（2024）七年级上册（2024）从立体图形到平面图形教案及反思

这是一份北师大版（2024）七年级上册（2024）从立体图形到平面图形教案及反思，共17页。教案主要包含了学情与教材分析，教学目标，教学重难点，教法建议，教学设计等内容，欢迎下载使用。
1.学情分析
七年级是形象思维向抽象思维逐步过渡的阶段，学生求知欲强，想象力丰富，对直观事物感知能力较强,所以对动手操作有着浓厚的兴趣.而本节《截一个几何体》恰给学生提供了一个很好的操作机会，应该说学生具备了学习本节课的很好的认知基础和生活经验基础.
2.教材分析
在学生初步感知立体图形、并研究了立体图形的展开与折叠后，安排本节课《截一个几何体》，通过引导学生用一个平面去截一个正方体的实际操作活动，让学生体验空间中几何体与截面的关系，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中丰富数学活动经验，发展空间观念，提高学生的观察、操作、推理、交流的能力，并在合作学习中获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣.
二、教学目标：
1.知识与技能目标：让学生通过自己对一些几何体进行切和截的过程，初步了解空间图形与截面的关系，理解截面的意义.
2.方法与过程目标：让学生参与对实物有限次的切截活动和用通过探索型课件进行的无限次的切截活动的过程，使学生经历观察用平面截一个正方体，猜想截面的形状，实际操作、验证，推理等数学活动过程，丰富学生对空间图形的几何直觉，激发学生的形象思维.
3.情感、态度、价值观目标：通过活动体验做数学的快乐，增强学生学习数学的求知欲和数学活动的经验，并在合作学习中获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣，培养学生的合作、探究精神.
三、教学重难点：
重点：引导学生参与用一个平面截一个正方体的数学活动，体会截面和几何体的关系，学生充分动手操作、自主探索、合作交流.
难点：同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与截法，从切截活动中发现规律，并能用自己的语言来表达，能应用规律来解决问题，培养说理、交流的能力.
四、教法建议
实践法，启发式引导.
五、教学设计
（一）课前设计
1、预习任务
任务1：用橡皮泥/萝卜制作正方体、一般棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体.
任务2：用一个平面去截正方体，截面分别是什么形状？先想一想，再尽可能多的尝试.
如果截其他几何体，截面的形状又会如何？
任务3：感兴趣的同学，查阅一下树木年轮的奥秘！
2、预习自测
一、选择题
1．用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（ ）
A．梯形B．五边形C．六边形D．圆
答案：D
解析：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此不可能是圆．
故选D．
思路点拨：截一个几何体，要知道截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
2．用平面去截一个正方体，截面的形状可以是（ ）
A．三角形、正方形、长方形、梯形
B．三角形、四边形、五边形
C．三角形、四边形、五边形、六边形
D．三角形、四边形、五边形、六边形、七边形
答案：C
解析：用一个平面去截一正方体，截面可能为三角形、四边形（梯形，矩形，正方形、平行四边形）、五边形、六边形，
只有C选项比较全面，符合题意．
故选：C．
思路点拨：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．
3．如图，用一个平面去截长方体，则截面形状为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：横截长方体，截面平行于两底，那么截面应该是个长方形．
故选B．
思路点拨：根据长方体的形状及截面与底面平行判断即可．
4．下面几何体的截面图可能是圆的是（ ）
A．正方体B．圆锥C．长方体D．棱柱
答案：B
解析：正方体、长方体和棱柱的截面都不可能有弧度，所以截面不可能是圆，而圆锥只要截面与底面平行，截得的就是圆．
故选B．
思路点拨：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
（二）课堂设计
1、情境引入
内容:
（上课铃响后，老师手拎一盒蛋糕走上讲台.学生议论纷纷）
师：同学们，今天老师想请大家吃蛋糕（用眼睛环顾同学，教室里非常安静，所有人的注意力都集中到了老师这里.揭开蛋糕盒的盖子，蛋糕的形状很奇特,边说边将组成蛋糕的四个正方体，两个圆柱，依次摆放在讲台上）蛋糕的样子很奇特，它是由一些几何体构成的，只有善于开动脑筋的人才能得到老师的奖赏.（拿起一个正方体）
师：要把这个正方体截成两个等体积的长方体，如何截？截面又是一个什么形状呢？
（学生跃跃欲试，经过短暂的思考后齐刷刷举起手.）
一学生到前面正确地切开蛋糕，并把截面展示给大看.
师：有谁刚才想象的截面和实际的是一致的？还有别的截法吗？结果都一样吗？
生：（又一学生到前面正确切开蛋糕，并把截面展示给大家.）
师：要把这个正方体截成两个等体积的三棱柱，如何截？截面又是一个什么形状呢？（重复上述过程）
师：（拿起圆柱）将圆柱分成等体积的两份，如何截？截面是什么形状？
（一种情况：截面是圆；一种截法：截面是长方形；还有一种方法：截面是椭圆.三同学分别到前面切开，并展示给同学看.整个过程中，所有同学的思维都紧紧地围绕着主题，有的同学喜不自禁，有的同学若有所思……）
师：现在老师的六块蛋糕变成了十二块.刚才每个同学的表现都令老师非常满意，所以现在每个小组发一块蛋糕吧！不过，每个小组的同学先要根据本组的人数，将蛋糕等分以后再吃！蛋糕虽少，是老师的心意.吃完蛋糕以后呢，就请大家，按老师的要求，来切割自己带来的实物.
（将课题板书出来，并写出相关要求.）
设计意图：创设情境，导入主题，同时激发兴趣.
效果：情景源于生活，学生具有这样的认知基础和活动经验基础，同时“蛋糕”这一小礼品让不少学生动了心，因而营造了一个和谐、积极的课堂氛围，学生很顺利地投入到课堂活动中，为后续活动的展开打下了良好的基础，过渡流畅.
每个小组领走一块蛋糕后，同学们很快投入到活动中，不少同学拿到属于自己的蛋糕后，还举起蛋糕来，仔细观察观察，然后放入口中，各具形态，很有趣.
2、探究发现
活动1：想一想
用一个平面去截正方体（教师展示一个用萝卜削成的正方体），想一想截出的面可能是什么形状？分小组讨论.
设计意图：在实际操作之前，首先展开想象，从而提高学生的空间想象能力，也有助于养成勤于思考的习惯.
效果：由于有了前面切蛋糕情景的铺垫，学生思维活跃，大胆猜想，在小组内积极讨论，学生顺利地猜想出三角形、长方形、正方形、梯形、五边形、六边形……等多种图形，组内交流活跃，不少同学不时地用手比划、解释，组内不时传来惊喜的讨论声.
活动2：做一做
拿出准备的正方体，学生分小组验证刚才的想象.
设计意图：引导学生从想象进入实际操作，通过操作来验证想象、修订想象，从而在具体的实践活动丰富学生的数学活动经验，切实提高学生的想象能力.
注意事项与效果：
对七年级的新生,明确提出要求是必要的,让学生知道做些什么?怎么做?可以控制课堂的节奏.因此，在实验前可对学生提出一系列的要求或问题:
①先商定如何切割？
②想象切割后的几何体和截面分别是什么形状？可在草稿上描出草图，并指定专人执笔，作好记载.
③切开实物，进行对比.
④通过实验回答：用平面去截一个正方体，其截面可以是三角形？梯形？四边形，六边形，七边形吗？
⑤宾馆的筵席上常有用蔬菜雕刻出来的造型，根据自己的想象设计几款.
先猜，后想，再议，最后动手操作，符合学生的认知规律.操作活动中促使学生思考了截面多边形的成因；猜想与实际的差异，激发了学生思维.
学生操作活动时，教师应注意巡视各小组活动的状况，可以参与到学生的讨论与交流中，鼓励学生在小组活动中大胆发表自己的见解，并提醒学生注意安全.
应该说，这样的操作活动极大地调动了学生积极性，得出了各种各样的截面图形，体会到了学习的乐趣.
活动3：展示交流
内容:展示、交流各组成果（所得到的截面图形以及截法）.
设计意图:展示各小组活动的成果，全班共享，可以有这样几点好处：让学生分享成功的喜悦；促进对各小组活动的监督；加强对各小组活动的评价；在交流活动，要求学生整理自己的成果，实际上这一过程本身也提高了学生对问题的理解水平；展示群体的活动成果，可以丰富学生的活动经验，拓展学生思维.
效果:各小组展现了丰富的截面图形、截法以及截面多边形的成因，课堂气氛热烈.学生争先恐后地展示自己的作品，展示的图形有：三角形、四边形、五边形、六边形.并对所得到的图形进行了归类，顺利地解决了“截面不可能是七边形”问题.
师：请大家观察这些截面多边形的边与正方体的关系，思考：截面的形状可能是七边形吗？
生：不能.
师：为什么？
生：这些截面的边都在正方体的表面上，而一个面上只有一条边，正方体只有六个面，所以截面的多边形最多只能有六条边.
不少同学还设计并用胡萝卜等蔬菜雕刻或拼凑出几款简单别致的造型.
活动4：动画演示
内容:教师利用动画,形象展示各种截面，并变换图形的形状.
设计意图:在丰富的操作、演示活动中丰富学生的体验，让学生感性认识得到巩固和升华；同时动态地感受图形变化和相互关系，以开阔学生视野.
注意事项与效果:可以用动画演示，当然有条件的学校最好使用Z+Z超级画板的立几功能，那样可能更为简便.
3、知识运用
内容：以小组为单位,鼓励学生用自己手中的模型（圆柱、圆锥、球、棱柱）进行切截活动,并说出相应的截面形状，作为这节课的深化.
设计意图：通过实际操作，更好地发展学生的空间观念，体会面与体之间的紧密联系.
效果:实际操作表明，一半左右的学生完成得不错,学生强烈地感受了立体图形的空间截面.对这些学生今后的思维发展的重要的意义.
4、随堂检测
一、选择题
1．用一个平面去截一个正方体，截出截面不可能是（ ）
A．三角形B．五边形C．六边形D．七边形
答案：D
解析：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此不可能是七边形．
故选：D．
思路点拨：解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形．
2．如图，用水平的平面截几何体，所得几何体的截面图形标号是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
解析：当截面与圆锥的底面平行时，所得几何体的截面图形是圆，
故选A．
思路点拨：当截面的角度和方向不同时，圆锥的截面不相同，当截面与底面平行时，截面是圆，当截面与底面垂直时，截面是三角形，还有其他形状的截面图形．
3．如图所示几何体的截面是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．五棱柱
答案：B
解析：此几何体是五棱柱，
故其截面的形状是五边形．
故选：B．
思路点拨：根据几何体的形状是五棱柱，进行如图截面即可判断形状．
4．用一个平面去截：①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的图形是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
答案：B
解析：圆锥，如果截面与底面平行，那么截面就是圆；
圆柱，如果截面与上下面平行，那么截面是圆；
球，截面一定是圆；
五棱柱，无论怎么去截，截面都不可能有弧度．
故选B．
思路点拨：根据圆锥、圆柱、球、五棱柱的形状特点判断即可．关键要理解面与面相交得到线．
5．用平面去截下列几何体，不能截出三角形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：A、过长方体的三个面得到的截面是三角形，符合题意；
B、过圆柱的三个面得到的截面与圆和四边形有关，不符合题意；
C、过三棱柱的三个面得到的截面是三角形，符合题意；
D、过圆锥的顶点和下底圆心的面得到的截面是三角形，符合题意．
故选：B．
思路点拨：利用截一个几何体既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关求解即可．
二、填空题
6．一个平面去截球，截面的形状一定是 ．
答案：圆．
解析：根据球的几何特征，
一平面截球面产生的截面形状是圆．
故答案为：圆．
思路点拨：根据球的几何特征进行判断.
7．用平面截一个几何体，若截面是圆，则几何体是 （写出两种）
答案：球或圆柱（答案不唯一）．
解析：用平面去截一个几何体，若截面是圆，则几何体是球或圆柱．
故答案为：球或圆柱（答案不唯一）．
思路点拨：截一个几何体，截面是圆，那么该几何体的某个视图中应有圆．
三、解答题
8．如图所示，说出下列几何体截面（阴影部分）的形状．
答案：见解析．
解析：（1）经过三个面，可以得到三角形截面；
（2）沿圆锥的高线切割，可得到等腰三角形截面；
（3）沿正方体的对角线切割，可得到长方形截面；
（4）截面与底平行，可以得到圆形截面．
思路点拨：根据截面的定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．以及几何体（正方体、圆锥、圆柱）的形状，进行截面即可判断形状．
5、课堂小结
谈谈你在本节课的收获。
(1)用一个平面去截一个几何体，截出的面叫截面；
(2)正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形.
布置作业：P15 习题1.2 第2题
阅读P13 阅读欣赏
6、分层作业
基础型：
一、选择题
1．如图所示，用一个平面去截一个圆柱，则截得的形状应为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：平面平行圆柱底面截圆柱可以得到一个圆，而倾斜截得到椭圆，故选B．
思路点拨：当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同．
2．用一个平面截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都有可能
答案：B
解析：A、用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、三角形，不可能是四边形，故A选项错误；
B、用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是圆、椭圆、四边形，故B选项正确；
C、用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆，故C选项错误；
D、根据以上分析可得此选项错误；
故选：B．
思路点拨：本题考查了圆锥、圆柱、球体的几何特征，其中关键是熟练掌握相关旋转体的几何特征．
3．用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；
当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；
当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；
所以截面的形状不可能是等腰梯形．
故选B．
思路点拨：截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
4．下列几何体中，截面图不可能是三角形的有（ ）
①圆锥；②圆柱；③长方体；④球．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：B
解析：圆锥的轴截面是三角形，①不合题意；
圆柱截面图不可能是三角形，②符合题意；
长方体对角线的截面是三角形，③不合题意；
球截面图不可能是三角形，④符合题意．
故选：B．
思路点拨：根据截面的概念、结合图形解答即可．
5．用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（ ）
A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形
答案：B
解析：正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，故选B．
思路点拨：本题考查正方体的截面．正方体的截面的四种情况应熟记．
二、解答题
6．用平面截下列几何体，写出下列截面的形状．
答案：见解析
解析：如图所示：
思路点拨：根据几何体的形状特点和截面的角度判断即可．
7．用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，你能想象出这个几何体的形状吗？（至少写出四种图形名称）
答案：几何体的形状可能是正方形、长方形、三棱柱、四棱柱、棱锥、圆锥等．
解析：把正方形、长方形、棱柱截去一个角（和三条棱柱相交）截面均为三角形，从棱锥、圆锥的顶点截下去均得到三角形．
思路点拨：根据已知截面得出所截几何体的形状是解题关键．
能力型：
一、选择题
1．如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案：C
解析：截面经过正方体的3个面时，得到三角形，但任意两条线段不可能垂直，所以截面不可能是等腰直角三角形，故选C．
思路点拨：让截面经过正方体的三个面，判断其具体形状即可．
2．经过圆锥顶点的截面的形状可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：经过圆锥顶点的截面的形状可能是B中图形，
故选：B．
思路点拨：本题考查的是用一个平面去截一个几何体，掌握圆锥的特点是解题的关键．
3．用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：A
解析：圆锥不可能得到长方形截面，
故能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱与圆台，一共有4个．
故选：A．
思路点拨：本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
4．图1是一个正六面体，把它按图2中所示方法切割，可以得到一个正六边形的截面，则下列展开图中正确画出所有的切割线的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
解析：动手操作可知，画出所有的切割线的是图形C．
故选C．
思路点拨：根据正六面体和截面的特征，可动手操作得到答案．
二、解答题
5．小学时，有一道趣味数学题：“稀奇稀奇真稀奇，4刀切成9块瓜，吃完剩下10块皮”，今天你能画图解释一下吗？
答案：见解析.
解析：西瓜按井字形分割，即横两刀、纵两刀，就可以分成九块，
但井字形中间方形的那块在两端各有一块瓜皮，
所以会剩下十块瓜皮．
思路点拨：
6．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码．
如A（1、5、6）；则B（ ）；C（ ）；D（ ）；E（ ）．
答案：B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）．
解析：B三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形
C正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形
D球体，截面只可能是圆
E圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形，
因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）．
思路点拨：分别分析其余四种图形的所有的截面情况，再写出答案．
探究型：
一、解答题
1．（1）图1是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图2，3，4，5的木块．
我们知道，图1的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图2，3，4，5中木块的顶点数，棱数，面数填入下表：
（2）观察表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是： ．
（3）图6是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②～⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ．这与你（2）题中所归纳的关系是否相符？
图 6
答案：（1）如下表：
（2）顶点数+面数﹣2=棱数；
（3）如切过之后为一长方体，所画图形如下所示：
图6
则该木块的顶点数为8，棱数为12，面数为6，
∵6+8-12=2，
∴与（2）题中所归纳的关系相符.
解析：观察表，归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是：
顶点数+面数﹣2=棱数．
（3）按要求作出图形，注意是与图2—图5不同的切法，然后数出该木块的顶点数，棱数和面数.
思路点拨：本题考查了欧拉公式，利用欧拉公式是解题关键．
图
顶点数
棱数
面数
1
8
12
6
2
3
4
5
图
顶点数
棱数
面数
1
8
12
6
2
6
9
5
3
8
12
6
4
8
13
7
5
10
15
7