高一升高二数学暑假预习课16讲 第01讲 空间向量及其线性运算与7考点精讲（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲 第01讲 空间向量及其线性运算与7考点精讲（解析版），共32页。学案主要包含了 共线等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc30459" 第01讲 空间向量及其线性运算 PAGEREF _Tc30459 \h 1
\l "_Tc32284" 一、 空间向量概念 PAGEREF _Tc32284 \h 2
\l "_Tc18429" 基础知识 PAGEREF _Tc18429 \h 2
\l "_Tc17664" 考点1 空间向量相关概念 PAGEREF _Tc17664 \h 2
\l "_Tc5299" 二、 空间向量线性运算 PAGEREF _Tc5299 \h 6
\l "_Tc3408" 基础知识 PAGEREF _Tc3408 \h 6
\l "_Tc30859" 考点2 空间向量加减运算 PAGEREF _Tc30859 \h 6
\l "_Tc21274" 考点3 空间向量线性运算 PAGEREF _Tc21274 \h 8
\l "_Tc23645" 考点4 由空间向量的线性运算求参数 PAGEREF _Tc23645 \h 10
\l "_Tc27824" 三、 共线、共面向量 PAGEREF _Tc27824 \h 14
\l "_Tc4752" 基础知识 PAGEREF _Tc4752 \h 14
\l "_Tc19156" 考点5 向量共线的判定 PAGEREF _Tc19156 \h 15
\l "_Tc22792" 考点6 向量共面的判定 PAGEREF _Tc22792 \h 17
\l "_Tc11101" 考点7 由空间向量共线、共面求参数 PAGEREF _Tc11101 \h 20
\l "_Tc6077" 四、 课后作业 PAGEREF _Tc6077 \h 23
\l "_Tc23029" 单选题 PAGEREF _Tc23029 \h 23
\l "_Tc10487" 多选题 PAGEREF _Tc10487 \h 26
\l "_Tc14305" 填空题 PAGEREF _Tc14305 \h 28
\l "_Tc8322" 解答题 PAGEREF _Tc8322 \h 29
一、 空间向量概念
基础知识
1．空间向量概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)几类特殊的空间向量
【注】
(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.
考点1 空间向量相关概念
【例1.1】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量AB与BA的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【解题思路】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C.
【解答过程】
选项A：因为空间向量AB与BA互为相反向量，所以空间向量AB与BA的长度相等，所以A正确；
选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；
选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；
选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量AB与BA的模相等，所以D错误；
故选：A.
【例1.2】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体ABCD−A1B1C1D1中，必有AC=A1C1；
③a=b是向量a=b的必要不充分条件；
④若空间向量m,n,p满足m∥n，n∥p，则m∥p．
其中正确的命题的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．0
【解题思路】根据空间向量的相关概念逐项判断.
【解答过程】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；
AC和A1C1大小一样、方向相同， 则AC=A1C1，故②正确；
若a=b，则a和b的模相等，方向不一定相同，若a=b，则a和b的模相等，方向也相同，所以a=b是向量a=b的必要不充分条件，故③正确；
向量的平行不具有传递性，比如当n为零向量时，零向量与任何向量都平行，则m,p不一定平行，故④错误.
综上所述，②③正确.
故选：B．
【变式1.1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知正方体ABCD−A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有（ ）
①OA+OD与OB′+OC′是一对相反向量；
②OB−OC与OA′−OD′是一对相反向量；
③OA+OB+OC+OD与OA′+OB′+OC′+OD′是一对相反向量；
④OA′−OA与OC−OC′是一对相反向量．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】
根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可.
【解答过程】

对于①，∵OA=−OC′，OD=−OB′，∴OA+OD=−OB′+OC′，
∴OA+OD与OB′+OC′是一对相反向量，①正确；
对于②，∵OB−OC=CB，OA′−OD′=D′A′，又CB=D′A′，
∴OB−OC与OA′−OD′不是相反向量，②错误；
对于③，∵OA=−OC′，OB=−OD′，OC=−OA′，OD=−OB′，
∴OA+OB+OC+OD=−OA′+OB′+OC′+OD′,
∴OA+OB+OC+OD与OA′+OB′+OC′+OD′是一对相反向量，③正确；
对于④，∵OA′−OA=AA′，OC−OC′=C′C，又AA′=−C′C，
∴OA′−OA与OC−OC′是一对相反向量，④正确.
故选：C.
【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量a,b满足a=b，则a=b；
④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【解题思路】根据空间向量的有关定义判断可得答案.
【解答过程】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
二、 空间向量线性运算
基础知识
1．空间向量的线性运算
【注】
(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.
考点2 空间向量加减运算
【例1.1】（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′，则下列四式中错误的是（ ）
A．AB−CB=AC
B．AC′=AB+B′C′+CC′
C．AA′=CC′
D．AB+BB′+BC+C′C=AC′
【解题思路】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.
【解答过程】对于A：AB−CB=AB+BC=AC，故A正确；
对于B：因为B′C′=BC，所以AB+BC+CC′=AB+B′C′+CC′=AC′，故B正确；
对于C：AA′=CC′，故C正确；
对于D：因为BB′=CC′，所以AB+BB′+BC+C′C=AB+BC+BB′−CC′=AC，
故D错误.
故选：D.
【例1.2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知E,F分别是空间四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，点G是线段EF的中点，P为空间中任意一点，则PA+PB+PC+PD=（ ）
A．PGB．2PGC．3PGD．4PG
【解题思路】根据向量加法运算可解.
【解答过程】由题知：PA+PB+PC+PD=2PE+2PF=4PG.
故选：D.
【变式1.1】（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形OABC中，化简OA+AB−CB=（ ）
A．OAB．OC
C．ACD．OB
【解题思路】利用向量的加减运算求解.
【解答过程】OA+AB−CB=OB−CB=BC−BO=OC.
故选：B.
【变式1.2】（23-24高二上·河北保定·期末）在三棱锥P−ABC中，M为AC的中点，则PM=（ ）
A．12BA+12BC+BPB．12BA+12BC−BP
C．12BA+12BC−12BPD．12BA+12BC+12BP
【解题思路】连接BM，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【解答过程】连接BM，根据向量的运算法则，可得PM=BM−BP=12BA+12BC−BP.
故选：B.
考点3 空间向量线性运算
【例2.1】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC−A1B1C1中，E是BC的中点，AG=2GE，则GC1=（ ）
A．13AB−23AC+AA1B．13AB+23AC+AA1
C．−13AB+23AC+AA1D．−13AB+23AC−AA1
【解题思路】依题意可得GE=13AE，再根据空间向量线性运算法则计算可得.
【解答过程】因为AG=2GE，所以GE=13AE，
所以GC1=GE+EC+CC1=13AE+12BC+AA1
=13×12AB+AC+12AC−AB+AA1
=23AC−13AB+AA1.
故选：C.
【例2.2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，E,F分别为BC,AE的中点，G为△ACD的重心，则FG=（ ）
A．−13AB+112AC+14AD
B．−14AB+112AC+13AD
C．14AB−112AC+13AD
D．13AB+112AC−14AD
【解题思路】根据空间向量的线性运算，将FG用AB,AC,AD表示即可.
【解答过程】因为E,F分别为BC,AE的中点，所以AF=12AE=14AB+AC.
因为G为△ACD的重心，所以AG=13AC+AD，
所以FG=AG−AF=13AC+AD−14AB+AC=−14AB+112AC+13AD.
故选：B.
【变式2.1】（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则AD+12DB+DC=（ ）
A．ABB．ACC．AED．DE
【解题思路】根据向量的加法、数乘运算求解即可.
【解答过程】如图，
因为E为棱BC的中点，
所以AD+12DB+DC=AD+12×2DE=AD+DE=AE,
故选：C.
【变式2.2】 （23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求a+2b−3c+3×23a−12b+23c−a−2b+c为（ ）
A．2a+32b−2cB．2a+52b−2c
C．2a−52b−2cD．2a−32b−2c
【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.
【解答过程】原式=a+3×23a−a+2b−3×12b+2b−3c+3×23c−c =2a+52b−2c.
故选：B.
考点4 由空间向量的线性运算求参数
【例3.1】 （23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=λMA(λ>0),N为BC中点，若MN=−14a+12b+12c，则λ=（ ）
A．3B．2C．12D．13
【解题思路】根据空间向量的运算法则，化简得到MN=−λ1+λa+12b+12c，结合题意，列出方程，即可求解.
【解答过程】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：MN=ON−OM=12(OB+OC)−λ1+λOA=−λ1+λa+12b+12c，
因为MN=−14a+12b+12c，所以λ1+λ=14，解得λ=13.
故选：D.
【例3.2】（22-23高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=13D1D，若MN=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z=（ ）
A．16B．13C．23D．32
【解题思路】根据空间向量的运算法则确定MN=−AB+AD+16AA1，得到答案.
【解答过程】MN=MB+BA+AD+DN=−12AA1−AB+AD+23AA1=−AB+AD+16AA1，
故x=−1，y=1，z=16，x+y+z=16.
故选：A.
【变式3.1】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA1+xAB+yAD，则（ ）
A．x=−12,y=12B．x=12,y=−12
C．x=−12,y=−12D．x=12,y=12
【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解.
【解答过程】根据题意，得；BE=BB1+12(BA+BC)
=AA1+12BA+12BC
=AA1−12AB+12AD,
又∵BE=AA1+xAB+yAD
∴x=−12,y=12,
故选：A.
【变式3.2】（23-24高二·江苏·假期作业）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.若EF=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z等于（ ）
A．﹣1B．0C．13D．1
【解题思路】根据空间向量的加法、减法和数乘的运算法则即可得解．
【解答过程】解：EF=EB+BA+AD+DF
=−13BB1−AB+AD+23DD1
=−13AA1−AB+AD+23AA1
=−AB+AD+13AA1，
∵ EF=xAB+yAD+zAA1，
∴x＝﹣1，y＝1，z＝13，
∴x+y+z＝13
故选：C．
三、 共线、共面向量
基础知识
1．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
2．共面向量
(1)共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①证明四点共面；
②证明线面平行.
考点5 向量共线的判定
【例1.1】（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3b+c，AD=6a+7b+5c．求证：B，C，D三点共线．
【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.
【解答过程】因为AB=4a+5b+3c，AC=2a+3b+c，AD=6a+7b+5c，
所以BC=AC−AB=2a+3b+c−4a+5b+3c=−2a−2b−2c，
BD=AD−AB=6a+7b+5c−4a+5b+3c=2a+2b+2c，
所以BC=−BD，
所以BC//BD，又B为公共点，
所以B，C，D三点共线．
【例1.2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱ABCD−A′B′C′D′的六个面都是平行四边形，点M在对角线A′B上，且A′M=12MB，点N在对角线A′C上，且A′N=13NC．
(1)设向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、b、c表示向量D′M、D′N；
(2)求证：M、N、D′ 三点共线．
【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明MN//MD′即可得.
【解答过程】（1）因为A′M=12MB，则A′M=13A′B=13A′A+A′B′=−13AA′+13AB，
所以D′M=D′A′+A′M=−AD+−13AA′+13AB=13a−b−13c，
又因为A′N=13NC，则A′N=14A′C=14A′A+AB+AD，
所以D'N⃗=D'A'⃗+A'N⃗=−AD⃗+14A'A⃗+AB⃗+AD⃗=14AB⃗−34AD⃗−14AA'⃗
=14a→−34b→−14c→；
（2）因为MN=A′N−A′M=14A′C−13A′B=14A′C−A′B−112A′B=14BC−112A′B
=14BC−13A′B，且MD′=A′D′−A′M=A′D′−13A′B=BC−13A′B，
所以MN=14MD′，即M、N、D′三点共线．
【变式1.1】（23-24高二上·全国·课前预习）已知A,B,P三点共线，O为直线外空间任意一点，若OP=αOA+βOB，求证：α+β=1．
【解题思路】利用共线向量定理，可设AP=tAB，结合向量的减法运算，求得OP=(1−t)OA+tOB，利用平面向量分解的唯一性，得到α=1−t,β=t，进而证得.
【解答过程】由A,B,P三点共线，得AP=tAB，
即OP−OA=t(OB−OA)．
整理得OP=(1−t)OA+tOB．
又因为OP=αOA+βOB，
所以α=1−t,β=t．
所以α+β=1．
【变式1.2】 （23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0,m≠0.
求证：（1）AC//EG；
（2）OG=kOC.
【解题思路】（1）由题意，EG=EH+mEF，转化EH=OH−OE,EF=OF−OE，代入结合题干条件运算即得证；
（2）由题意，OG=OE+EG，又OE=kOA,EG=kAC，运算即得证
【解答过程】证明：（1）EG=EH+mEF=OH−OE+m(OF−OE)
=k(OD−OA)+km(OB−OA)
=kAD+kmAB=kAD+mAB=kAC
∴AC//EG.
（2）OG=OE+EG=kOA+kAC=kOA+AC=kOC.
考点6 向量共面的判定
【例2.1】（23-24高二·湖南·课后作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=k．求证：E，F，G，H四点共面．
【解题思路】利用共面向量定理证明，由EG=EF+EH可得四点共面.
【解答过程】证明：因为从▱ABCD所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=k，则有向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=kOD，
而在▱ABCD中，有AC=AB+AD，所以
EG=OG−OE=kOC−OA=kAC=kAB+AD=kOB−OA+OD−OA
=kOB+OD−2OA=k1kOF+1kOH−2kOE=OF−OE+OH−OE=EF+EH
故E，F，G，H四点共面，证毕.
【例2.2】（2024高二上·全国·专题练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．
(1)OB+OM=3OP−OA；
(2)OP=4OA−OB−OM．
【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
【解答过程】（1）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，
对于平面ABM外的任意一点O，若OB+OM=3OP−OA，
即OP=13OA+13OB+13OM，
又因为13+13+13=1，根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M共面.
（2）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，
对于平面ABM外的任意一点O，若OP=4OA−OB−OM，此时4−1−1=2≠1，
根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M不共面．
【变式2.1】（2023高二·全国·专题练习）如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k,m∈R.求证：A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
【解题思路】
根据题意，由空间向量共面定理分别证得AC,AD,AB是共面向量，EG,EH,EF是共面向量，即可得到结果.
【解答过程】因为AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，
所以由共面向量定理可得AC,AD,AB是共面向量，EG,EH,EF是共面向量，
因为AC,AD,AB有公共点A，EG,EH,EF有公共点E，
所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面.
【变式2.2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0，m≠0．
(1)求证：A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)求证：平面ABCD//平面EFCH；
(3)求证：OG=kOC．
【解题思路】
（1）利用空间向量共面定理即可求证；
（2）由空间向量线性运算可得EG=kAC，由空间向量共线定理可证明AC//EG，再由线面平行的判定定理可得EG//平面ABCD，同理可证明FH//平面ABCD，由面面平行的判定定理即可求证；
（3）由（2）知EG=kAC，再利用空间向量的线性运算即可求证.
【解答过程】
（1）因为AC=AD+mAB，m≠0，
所以AC，AD，AB共面，即A，B，C，D四点共面．
因为EG=EH+mEF，m≠0，
所以EG，EH，EF共面，即E，F，G，H四点共面．
（2）连接HF，BD，EG=EH+mEF=OH−OE+mOF−OE=kOD−OA+kmOB−OA
=kAD+kmAB=kAD+mAB=kAC，所以AC//EG，
又因为EG⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以EG//平面ABCD．
因为FH=OH−OF=kOD−OB=kBD，所以FH//BD，
又FH⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FH//平面ABCD，
因为EG与FH相交，所以平面ABCD//平面EFGH．
（3）由（2）知EG=kAC，所以OG=OE+EG=kOA+kAC=kOA+AC=kOC．
考点7 由空间向量共线、共面求参数
【例3.1】 （23-24高二上·辽宁·期中）设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=−3e1−e2+2e3,BC=e1+λe2−6e3，CD=4e1+2e2+8e3，若A,C,D三点共线，则λ=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】把A、C、D三点共线转化为满足CD=yAC，列方程组，求出λ即可.
【解答过程】因为AB=−3e1−e2+2e3,BC=e1+λe2−6e3，CD=4e1+2e2+8e3，
所以AC=AB+BC=−2e1+λ−1e2−4e3，
因为A,C,D三点共线，所以存在唯一的y，使得CD=yAC,
即4e1+2e2+8e3=y−2e1+λ−1e2−4e3，
即4=−2y2=yλ−18=−4y，解得：λ=0y=−2.
故选：A.
【例3.2】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四点共面，则t=（ ）
A．1B．98C．18D．14
【解题思路】将AP=−14OA+18OB+tOC化简为：OP=34OA+18OB+tOC，利用四点共面定理可得34+18+t=1，即可求解.
【解答过程】因为AP=OP−OA，所以AP=−14OA+18OB+tOC，可化简为：OP−OA=−14OA+18OB+tOC，即OP=34OA+18OB+tOC，
由于A，B，C，P四点共面，则34+18+t=1，解得：t=18；
故选：C.
【变式3.1】 （22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，CD=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据A，C，D三点共线，可得AC//CD，则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，再根据空间向量共线定理即可得解.
【解答过程】由AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，
得AC=AB+BC=2e1+1+λe2+2e3，
因为A，C，D三点共线，所以AC//CD，
则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，
则2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得μ=12λ=3.
故选：C.
【变式3.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面，且BP=mOA+OB+OC，则m的值为（ ）
A．−1B．2C．−2D．−3
【解题思路】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项.
【解答过程】因为O为空间任意一点，BP=mOA+OB+OC，
所以OP−OB=mOA+OB+OC，
所以OP=mOA+2OB+OC，
因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，
所以m+2+1=1，解得m=−2．
故选：C．
四、 课后作业
单选题
1．（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若a0，2x+yxy=2y+1x=12x+2y2y+1x=125+2xy+2yx
≥125+22xy⋅2yx=92，当且仅当2xy=2yx，即x=y=23时等号成立，
故选：B.
多选题
9．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）下列选项中正确的是（ ）
A．若存在实数x，y，使MP=xMA+yMB，则点P，M，A，B共面；
B．若p与a,b共面，则存在实数x，y，使p=xa+yb；
C．若向量a、b所在的直线是异面直线，则向量a、b一定不共线；
D．若a、b、c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb+zc．
【解题思路】由空间向量共面定理即可判断AB，由共线向量的概念即可判断C，由空间向量基本定理即可判断D
【解答过程】由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使MP=xMA+yMB，则点P，M，A，B共面，故A正确；
若a,b共线，p不与a,b共线，则不存在实数x，y，使p=xa+yb，故B错误；
若向量a、b所在的直线是异面直线，则a,b的方向不相同也不相反，且所在直线也不
相交，所以向量a、b一定不共线，故C正确；
若a、b、c是空间三个基底向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb+zc，故D错误；
故选：AC.
10．（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在直线OA上，且OM=2MA，N是BC的中点，则下列结论可能成立的是（ ）
A．ON=12(a+b)B．MN=−23a+12b+12c
C．NA=12(NO+NM)D．CM=−23a−c
【解题思路】根据题意，结合点M的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A，因为N是BC的中点，可得ON=12(OB+OC)=12(b+c)，所以A不正确；
对于B，当点M在线段OA上时，因为OM=2MA，此时OM=23OA，
则MN=ON−OM=12(OB+OC)−23OA=−23a+12b+12c，所以B正确；
对于C，当点M在线段OA的延长线上时，因为OM=2MA，此时A为OM的中点，
可得NA=12(NO+NM)，所以C正确；
对于D，当点M在线段OA上时，可得CM=OM−OC=23a−c；
当点M在线段OA的延长线上时，CM=OM−OC=2a−c，
当点M在线段AO的延长线上时，OM=2MA不可能成立，所以D不正确.
综上可得，可能正确的结论为BC.
故选：BC.
填空题
11． （23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，MN=2NO，设OA=a，OB=b，OC=c，用a,b,c表示向量AN，则AN= −a+16b+16c .
【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可.
【解答过程】AN=ON−OA=13OM−OA=16OB+OC−OA=−a+16b+16c，
故答案为：−a+16b+16c.
12．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题：
①若AB//CD，则A,B,C,D四点共线；
②若AB//AC，则A,B,C三点共线；
③若e1,e2为不共线的非零向量，a=4e1−25e2,b=−e1+110e2，则a//b；
④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0，则k1=k2=k3=0．
其中是真命题的序号是 ②③④ （把所有真命题的序号都填上）．
【解题思路】根据共线向量的性质可判断①②的正误，根据共线向量定理可判断③的正误，利用反证法可判断④.
【解答过程】对于①，当AB//CD时，A,B,C,D不一定在一条直线上，故①错误.
对于②，当AB//AC时，因AB,AC共起点，故A,B,C三点共线，故②正确.
对于③，因为a=4e1−25e2,b=−e1+110e2，故a=−4b，故a//b，故③正确.
对于④，若k1,k2,k3至少有一个不为零，不妨设k1≠0，
则e1=−k2k1e2−k3k1e3，故e1,e2,e3为共面向量，与题设矛盾，
故k1,k2,k3全为零，故④正确.
故答案为：②③④.
解答题
13．（22-23高二下·江苏·课后作业）设e1,e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1−e2，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.
【解答过程】因为BC=e1+3e2，DC=2e1−e2，则有BD=BC+CD=(e1+3e2)−(2e1−e2)=−e1+4e2，
又A， B， D三点共线，于是AB=λBD，即2e1+ke2=λ(−e1+4e2)，而e1,e2不共线，
因此2=−λk=4λ，解得k=−8，
所以实数k的值是−8.
14．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)AB+AD+AA′；
(2)DD′−AB+BC；
(3)AB+AD+12(DD′−BC).
【解题思路】根据空间向量的线性运算依次求解即可.
【解答过程】（1）AB+AD+AA′=AB+BC+CC′=AC′；
（2）DD′−AB+BC=DD′−(AB−AD)=DD′−DB=BD′；
（3）AB+AD+12(DD′−BC)=AC+12(CC′+CB)=AC+12CB′，
设M是线段CB′的中点，
则AB+AD+12(DD′−BC)=AC+CM=AM.
向量AC'⃗,BD'⃗,AM⃗如图所示，

15．（23-24高二·湖南·课后作业）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值．
(1)AE=xAD+yAB+zAA1；
(2)AF=xAD+yAB+zAA1；
(3)EF=xAD+yAB+zAA1．
【解题思路】
（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得AE=AA1+A1E和A1E=12(AB+AD)，由此即可求出结果；
（2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得AF=AD+DF和DF=12(AB+AA1)，由此即可求出结果；
（3）因为EF=AF−AE，由（1），（2）可知，EF=12AD−12AA1，由此即可求出结果.
【解答过程】
（1）解：由向量加法的三角形法则得，AE=AA1+A1E，
由平行四边形法则和向量相等得，A1E=12(A1B1+A1D1)=12(AB+AD)；
所以AE=AA1+A1E=AA1+12(AB+AD)=12AD+12AB+AA1，
所以x=y=12,z=1；
（2）解：由向量加法的三角形法则得，AF=AD+DF，
由四边形法则和向量相等得，DF=12(DC+DD1)=12(AB+AA1)；
所以AF=AD+DF=AD+12(AB+AA1)=AD+12AB+12AA1，
所以x=1,y=z=12．
（3）解： 由（1），（2）可知，EF→=AF→−AE→=(AD→+12AB→+12AA1→)−(12AD→+12AB→+AA1→)
=12AD−12AA1，
所以x=12,y=0,z=−12.
16． （2024高二上·全国·专题练习）已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间9个点(如图)，并且OE=kOA,OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB．EG=EH+mEF，求证：
(1)A,B,C,D四点共面；
(2)AC//EG；
(3)OG=kOC．
【解题思路】
（1）根据向量的共面定理，即可求解；
（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；
（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【解答过程】
（1）解：因为AC=AD+mAB，
由共面向量的基本定理，可得AC,AD,AB是共面向量
又因为AC,AD,AB有公共点A，所以A,B,C,D四点共面.
（2）解：因为OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD，
则EG=EH+mEF=OH−OE+m(OF−OE)=k(AD−OA)+km(OB−OA)
=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC，
所以AC//EG.
（3）解：由（1）及OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD，
可得EG=kAC,EO=−kAO，
所以OG=EG−EO=kAC−kAO=k(AC−AO)=kOC，即OG=kOC.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
减法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
当λ>0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ