高一升高二数学暑假预习课16讲第02讲 空间向量的数量积运算与6考点精讲（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第02讲 空间向量的数量积运算与6考点精讲（解析版），共26页。
\l "_Tc11578" 一、 空间向量的夹角与数量积 PAGEREF _Tc11578 \h 2
\l "_Tc14124" 基础知识 PAGEREF _Tc14124 \h 2
\l "_Tc1991" 考点1 计算空间向量数量积 PAGEREF _Tc1991 \h 3
\l "_Tc18829" 考点2 计算空间向量的夹角 PAGEREF _Tc18829 \h 5
\l "_Tc11430" 考点3 由空间向量的数量积求模 PAGEREF _Tc11430 \h 7
\l "_Tc139" 考点4 向量垂直的应用 PAGEREF _Tc139 \h 9
\l "_Tc27134" 二、 向量的投影 PAGEREF _Tc27134 \h 12
\l "_Tc10289" 基础知识 PAGEREF _Tc10289 \h 12
\l "_Tc16424" 考点5 求解投影向量 PAGEREF _Tc16424 \h 12
\l "_Tc31235" 考点6 向量数量积的应用 PAGEREF _Tc31235 \h 14
\l "_Tc6878" 三、课后作业 PAGEREF _Tc6878 \h 18
\l "_Tc4601" 单选题 PAGEREF _Tc4601 \h 18
\l "_Tc4312" 多选题 PAGEREF _Tc4312 \h 22
\l "_Tc21530" 填空题 PAGEREF _Tc21530 \h 23
\l "_Tc17765" 解答题 PAGEREF _Tc17765 \h 24
一、 空间向量的夹角与数量积
基础知识
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
考点1 计算空间向量数量积
【例1.1】 （23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量a和b的夹角为120°，且a=2，b=5，则(2a−b)⋅a=（ ）
A．12B．8+13C．4D．13
【解题思路】根据空间数量积的运算性质求解．
【解答过程】(2a−b)⋅a=2a2−b⋅a=2a2−abcs120°=2×4−2×5×−12=13．
故选：D．
【例1.2】（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在正四面体P−ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE⋅BC的值为（ ）
A．−1B．1C．3D．7
【解题思路】利用正四面体的性质，结合空间向量数量积的运算法则即可得解.
【解答过程】将正四面体P−ABC放在正方体中，如图，

因为在正四面体P−ABC中，棱长为2，PA,PB,PC两两夹角为60°，
所以PA⋅PC=PB⋅PC=PA⋅PB=2×2×cs60°=2，PB2=4
因为E是棱AB中点，所以PE=12PA+PB，
又BC=PC−PB，
所以PE⋅BC=12PA+PB⋅PC−PB=12PA⋅PC+PB⋅PC−PA⋅PB−PB2
=122+2−2−4=−1.
故选：A.
【变式1.1】（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥P−ABC中，高PO=6，AB=33，点E,F分别为PB,PC的中点，则OE⋅OF=（ ）
A．634B．638C．214D．218
【解题思路】根据题意，求得EF=332,OE=OF=12PC=352，得到cs∠EOF=710，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【解答过程】在等边△ABC中，因为AB=33，可得△ABC的高为ℎ=33×32=92，
所以OC=23ℎ=23×92=3，
在直角△POC中，可得PA=PB=PC=PO2+OC2=62+32=35，
又因为E,F分别为PB,PC的中点，可得EF=332,OE=OF=12PC=352，
在△OEF中，可得cs∠EOF=OE2+OF2−EF22OE⋅OF=454+454−2742×454=710，
所以OE⋅OF=OE⋅OFcs∠EOF=352×352×710=638.
故选：B.
【变式1.2】（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥P−ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则QE⋅QF的取值范围为（ ）
A．[0,2]B．[4−23,2]C．[0,4−3]D．[0,4−23]
【解题思路】根据给定条件，利用体积法求出球O半径，再利用向量数量积的运算律计算即得.
【解答过程】令H是正四棱锥P−ABCD底面正方形中心，则PH⊥平面ABCD，而AH=2，
则PH=PA2−AH2=2，正四棱锥P−ABCD的体积V=13×22×2=423，
正四棱锥P−ABCD的表面积S=4×34×22+22=4(3+1)，
显然球O的球心O在线段PH上，设球半径为r，则V=13Sr，即r=3VS=6−22，
在△POA中，∠PAOOP，又EF是球O的一条直径，
因此QE⋅QF=(QO+OE)⋅(QO−OE)=QO2−OE2=QO2−OH2，
显然OH≤QO≤AO，则(QE⋅QF)min=0，(QE⋅QF)max=AO2−OH2=AH2=2，
所以QE⋅QF的取值范围为[0,2].
故选：A.
考点2 计算空间向量的夹角
【例2.1】 （23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量a，b，c满足a=2，b=3，c=7且a+b+c=0，则a与b的夹角大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解题思路】由c=−(a+b)，利用向量数量积的运算律有c2=a2+2a⋅b+b2，即可求a与b的夹角大小.
【解答过程】由题设c=−(a+b)，则c2=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=4+2×2×3×csa,b+9=7，
所以csa,b=−12，又a,b∈(0,π)，可得a,b=2π3，即a,b=120°.
故选：C.
【例2.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4，则csa,b=（ ）
A．12B．13C．−12D．14
【解题思路】由条件可知c=−a+b，再将其平方并代入模长即可求得csa,b的值.
【解答过程】因为a+b+c=0，所以c=−a+b，所以c=a+b，
所以c2=a2+2abcsa,b+b2，所以16=4+12csa,b+9，
所以csa,b=14，
故选：D.
【变式2.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，BD=3，AD1⋅DC−AB1⋅BC=4，则csAA1,BD=（ ）
A．23B．−23C．34D．−34
【解题思路】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求AA1⋅BD，结合向量夹角公式可求结论.
【解答过程】因为AD1⋅DC−AB1⋅BC=AD+AA1⋅AB−AB+AA1⋅AD
=AD⋅AB+AA1⋅AB−AB⋅AD−AA1⋅AD=AA1⋅AB−AD=AA1⋅DB=4
所以AA1⋅BD=−4，
csAA1,BD=AA1⋅BDAA1⋅BD=−42×3=−23.
故选：B.
【变式2.2】 （23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π4，则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为（ ）

A．−33B．63C．−63D．33
【解题思路】由线段的位置关系及向量加减的几何意义有BD1=AD+AA1−AB、AC=AB+AD，利用向量数量积的运算律求AC⋅BD1、|BD1|，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.
【解答过程】由BD1=BA+AD+DD1=AD+AA1−AB，AC=AB+AD，
所以AC⋅BD1=(AB+AD)⋅(AD+AA1−AB)=AB⋅AD+AB⋅AA1−AB2+AD2+AD⋅AA1−AD⋅AB，
又AB=AD=AA1=1，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π4，
所以AC⋅BD1=0+22−1+1+22−0=2，而|AC|=2，
|BD1|=(AD+AA1−AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD⋅AA1−2AD⋅AB−2AA1⋅AB
=1+1+1+2−0−2=3，
综上，直线BD1与直线AC所成角的余弦值为|AC⋅BD1|AC||BD1||=22×3=33.
故选：D.
考点3 由空间向量的数量积求模
【例3.1】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知a、b、c均为单位向量，a,b=b,c=90∘，a,c=60∘，则a−b+c=（ ）
A．4B．2C．2D．3
【解题思路】利用空间向量数量积的定义与运算性质可求得a−b+c的值.
【解答过程】因为a、b、c均为单位向量，a,b=b,c=90∘，a,c=60∘，
由空间向量数量积的定义可得a⋅b=b⋅c=0，a⋅c=a⋅ccs60∘=12，
所以，a−b+c2=a2+b2+c2−2a⋅b+2a⋅c−2b⋅c=3−0+2×12−0=4，
因此，a−b+c=2.
故选：C.
【例3.2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知ABCD−A1B1C1D1是平行六面体，AB=AD=AA1=2， ∠BAD=π2，∠BAA1=∠DAA1=π3，则AC1=（ ）
A．25B．20C．5D．25
【解题思路】利用向量加法和数量积求解即可.
【解答过程】由题意可得AC12=AB+AD+AA12=AB2+AD2+AA12+2AB⋅AD+AB⋅AA1+AD⋅AA1
=4+4+4+22×2×csπ2+2×2×csπ3+2×2×csπ3=20，
所以AC1=AC12=25，
故选：A.
【变式3.1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，其中AB=BC=BB1=2,∠ABB1=∠ABC=∠B1BC=π3，则BD1=（ ）
A．12B．23C．6D．26
【解题思路】建基底，把BD1用基底表示，然后平方，即可求出BD1.
【解答过程】根据条件，以BA，BC，BB1作为一组基底，
因为BD1=BC+CD+DD1=BC+BA+BB1，
所以BD12=BA+BC+BB12，
即BD12=BA2+BC2+BB12+2BA⋅BC+2BA⋅BB1+2BC⋅BB1，
所以BD12=BA2+BC2+BA2+2BABCcs∠ABC+2BABB1cs∠ABB1+2BCBB1cs∠B1BC,
因为AB=BC=BB1=2,∠ABB1=∠ABC=∠B1BC=π3，
所以BD12=4+4+4+2×2×2csπ3+2×2×2csπ3+2×2×2csπ3=24，
所以BD1=26.
故选：D.
【变式3.2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G,H分别为A1B1,B1C1,A1D1,BB1的中点，则GF+GH+2EG=（ ）
A．6B．26C．3D．23
【解题思路】应用向量加法法则得到GF+GH+2EG= EF+EH，再应用向量数量积的运算律求模.
【解答过程】由题设，易知△EFH是边长为2的正三角形，

所以GF+GH+2EG=EG+GF+EG+GH=EF+EH=EF2+2EF⋅EH+EH2
=2+2×2×2×cs60∘+2=6.
故选：A.
考点4 向量垂直的应用
【例4.1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，PA⊥面ABCD,ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）

A．PC与BDB．PB与DA
C．PD与ABD．PA与CD
【解题思路】
根据线线垂直、线面垂直的知识确定正确答案.
【解答过程】由于PA⊥平面ABCD，AB,CD,AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB,PA⊥CD,PA⊥AD，则PA与CD垂直，D选项错误.
由于AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
由于PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD，所以PD与AB垂直，C选项错误.
由于AD⊥AB,AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，由于PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，
所以PB与DA垂直，B选项错误.
由于BD与AC不一定垂直，AC是PC在平面ABCD内的射影，
所以BD与PC不一定垂直，即PC与BD的数量积不一定为0，A选项正确.
故选：A.
【例4.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m=2e1+3e2，n=ke1−4e2，m⊥n，则实数k的值为（ ）
A．−6B．6C．3D．−3
【解题思路】
由m⊥n，可得m⋅n=0，再将m=2e1+3e2，n=ke1−4e2代入化简，结合e1⋅e2=0可求得答案.
【解答过程】
因为a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，
所以e1⊥e2，则e1⋅e2=0，
因为m⊥n，所以m⋅n=0，即2e1+3e2⋅ke1−4e2=0，
所以2ke12−8e1⋅e2+3ke1⋅e2−12e22=0，所以2k−12=0，解得k=6，
故选：B.
【变式4.1】（23-24高二·全国·课后作业）已知空间向量a，b，a=1，b=2，且a−b与a垂直，则a与b的夹角为（ ）
A．60∘B．30∘C．135∘D．45∘
【解题思路】根据已知可得a−b⋅a=0，根据数量积的运算律即可求出csa,b=22，进而求出结果.
【解答过程】因为a−b与a垂直，所以a−b⋅a=0，
即a2−a⋅b=a2−a⋅bcsa,b=1−2csa,b=0，
所以csa,b=22.
又0∘≤a,b≤180∘，所以a,b=45∘.
故选：D.
【变式4.2】（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，若A1C⊥BC1，则AA1AB为（ ）

A．1B．12C．23D．32
【解题思路】设AB=a,AD=b,AA1=c，且a=b=m,AA1=n，以a,b,c为一个空间基底，求得A1C=a+b−c，BC1=b+c，结合A1C⋅BC1=0，列出方程，即可求解.
【解答过程】设AB=a,AD=b,AA1=c，且a=b=m,AA1=n，
因为∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，以a,b,c为一个空间基底，
可得A1C=a+b−c，BC1=b+c，
又因为A1C⊥BC1，可得A1C⋅BC1=(a+b−c)⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c+b2−c2 =32m2+12mn−n2=0，
即2n2−mn−3m2=0，即2(nm)2−nm−3=0，
解得nm=32或nm=−1（舍去），即AA1AB的值为32.
故选：D.
二、 向量的投影
基础知识
1．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
考点5 求解投影向量
【例1.1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD，则BD在AC上的投影向量为（ ）
A．12ACB．14ACC．12BDD．14BD
【解题思路】在四面体中，用向量加法法则表示AC，再结合投影向量的计算方法求解.
【解答过程】在四面体中，因为∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD，
设AC=2,BD=1，且AB⋅BD=BD⋅DC=0，AC=AB+BD+DC，
则AC⋅BD=AB+BD+DC⋅BD=BD2，
BD在AC上的投影向量为BD⋅ACAC⋅ACAC=BD2AC2⋅AC=14AC.
故选：B.
【例1.2】（23-24高二上·辽宁营口·期末）已知a=4，空间向量e为单位向量，a,e=2π3，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为（ ）
A．2B．−2C．−12D．12
【解题思路】由空间向量a在向量e方向上的投影为a⋅e|e|，运算即可的解.
【解答过程】由题意，|a|=4，|e|=1，〈a,e〉=2π3，
则空间向量a在向量e方向上的投影为a⋅e|e|=|a|⋅|e|cs2π3|e|=4×(−12)=−2.
故选：B.
【变式1.1】（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量a=13，b=5，且a与b夹角的余弦值为−91365，则a在b上的投影向量为（ ）
A．−91313bB．91313bC．925bD．−925b
【解题思路】
根据题意和投影向量的概念计算即可求解.
【解答过程】
∵ a=13，b=5，a与b夹角的余弦值为−91365，
∴ a在b上的投影向量为
a⋅bb⋅bb=13×5×(−91365)5⋅b5=−95⋅b5=−925b.
故选：D．
【变式1.2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量e1，e2满足e1=2e1+e2=3，则e1在e2方向上投影的最大值是（ ）
A．3B．0C．−332D．−32
【解题思路】设向量e1,e2的夹角为θ，根据题意，求得csθ=−e22+2712e2，得到所以e1在e2方向上的投影为e1csθ=−e22+274e2=−(e24+274e2)，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】因为e1=2e1+e2=3，设向量e1,e2的夹角为θ，
所以e22+4e12+4e1e2csθ=9，可得e22+12e2csθ+27=0，
解得csθ=−e22+2712e2，
所以e1在e2方向上的投影为e1csθ=−e22+274e2=−(e24+274e2)≤−2e24+274e2
=−22716=−332，当且仅当e24=274e2时，即e2=33时，等号成立，
所以e1在e2方向上的投影的最大值为−332．
故选：C.
考点6 向量数量积的应用
【例2.1】（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为△ABC的重心．
(1)证明：PA+PB+PC=3PG；
(2)若向量PA，PB，PC的模长均为2，且两两夹角为π3，求PG．
【解题思路】
（1）利用三角形重心的向量表示及向量运算可证结论；
（2）利用向量模长的公式可求答案.
【解答过程】（1）证明：因为G是△ABC的重心，所以GA+GB+GC=0，
则GP+PA+GP+PB+GP+PC=0，
即PA+PB+PC=3PG.
（2）由（1）得PG=PA+PB+PC3，
所以PG2=PA2+PB2+PC2+2PA⋅PB+PA⋅PC+PB⋅PC9，
=22×3+2×3×2×2×csπ39=249，即PG2=263．
【例2.2】（23-24高二上·重庆长寿·期末）如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA′的长为b，且∠A′AB=∠A′AD=120∘.求：
(1)AC′的长；
(2)直线BD′与AC所成角的余弦值.
【解题思路】
（1）根据空间向量的运算，表示出AC′=AB+AD+AA′，根据向量模的计算，即可求得答案；
（2）选定基底表示BD′,AC，求出向量BD′,AC的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出BD′,AC的夹角的余弦值，即可求得直线BD′与AC所成角的余弦值.
【解答过程】
（1）由题意得AC′=AB+AD+AA′，
所以AC′=AB+AD+AA′2
=AB2+AD2+AA′2+2AB⋅AD+AB⋅AA′+AD⋅AA′
=2a2+b2+4abcs120∘
=2a2+b2−2ab；
（2）BD′=AD+AA′−AB
所以BD′=AD+AA′−AB2
=AD2+AA′2+AB2+2AD⋅AA′−AD⋅AB−AA′⋅AB
=2a2+b2，
AC=AB+AD，AC=2a,
BD′⋅AC=AD+AA′−AB⋅(AB+AD)=AA′⋅AB−AB2+AD2+AA′⋅AD
=−12ab−a2+a2−12ab=−ab，
故cs〈BD′,AC〉=BD′⋅ACBD′AC=−ab2a2+b22a=−b4a2+2b2，
由于异面直线所成角的范围为大于0∘小于等于90∘，
所以直线BD′与AC所成角的余弦值为b4a2+2b2.
【变式2.1】 （23-24高二上·浙江杭州·期中）已知a,b,c是空间中的三个单位向量, 且a⊥b, a,c=b,c=60∘. 若OM=2a+b−c，OA=a+b+c, OB=a+2b+c.
(1)求MB;
(2)求MB和OA夹角的余弦值.
【解题思路】利用空间向量的数量积公式计算即可.
【解答过程】
（1）由已知可得MB=OB−OM=−a+b+2c，
所以MB=−a+b+2c2=6−2a⋅b−4a⋅c+4c⋅b=6；
（2）由OA=a+b+c⇒OA=a+b+c2=3+2a⋅b+2a⋅c+2c⋅b=5，
所以MB和OA夹角的余弦值为csMB,OA=MB⋅OAMB⋅OA=−a2+b2+2c2+a⋅c+3c⋅b6×5=430=23015.
【变式2.2】（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是a，CD1和DC1相交于点O．
(1)求CD1⋅CD；
(2)判断AO与CD1是否垂直．
【解题思路】
（1）根据数量积的定义直接计算即可；
（2）计算AO与CD1的数量积，根据结果可得答案.
【解答过程】
（1）正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD1=2a,CD=a,CD1,CD=π4，
故CD1⋅CD=2a×a×csπ4=a2.
（2）由题意，AB⋅AD=0,AB⋅AA1=0,AA1⋅AD=0 ，
AO⋅CD1=AD+DO⋅CC1+CD=AD+12DC+DD1⋅CC1+CD =AD+12AB+AA1⋅AA1−AB=12AA12−12AB2=0 ，
故AO与CD1垂直.
三、课后作业
单选题
1．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知a=3p−2q,b=p+q，p,q是相互垂直的单位向量，则a⋅b＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【解题思路】
根据空间向量数量积公式计算出答案.
【解答过程】
p,q是相互垂直的单位向量，故p⋅q=0,p=q=1，
故a⋅b=3p−2q⋅p+q=3p2+p⋅q−2q2=3+0−2=1.
故选：A.
2．（23-24高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若a//b且b//c，则a//cB．a⋅b+c=a⋅b+a⋅c
C．若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=cD．a⋅bc=ab⋅c
【解题思路】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A.
【解答过程】对于A，若b=0，则a//b且b//c，不能得到a//c，故A错误，
对于B，a⋅b+c=a⋅b+a⋅c，B正确，
对于C，若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则abcsa,b=accsa,c，则bcsa,b=ccsa,c，无法得出b=c，所以C错误，
对于D，a⋅bc表示与c共线的向量，而ab⋅c表示与a共线的向量，所以a⋅bc与ab⋅c不一定相等，故D错误，
故选：B.
3． （23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中， AC=AB=AA1=2，BC=2AE=2，则向量AE与A1C的夹角是（ ）

A．30°B．45°
C．60°D．90°
【解题思路】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解.
【解答过程】∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴A1A⊥AB,A1A⊥AC.
∵AC=AB=2，BC=2，∴AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC，
又BC=2AE=2，∴E为BC的中点，
∴AE=12AB+AC.
∵AC=AA1=2，∴A1C=2.
∵AE⋅A1C=12AB+AC⋅AC−AA1=12AC2=1
∴csAE,A1C＝AE⋅A1CAEA1C=12,
又0∘≤AE,A1C≤180∘，∴AE,A1C=60∘.
故选：C.
4．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，设AB=a，AD=b，AA1=c，则a+b⋅b−c=（ ）

A．1B．−1C．0D．2
【解题思路】根据垂直关系结合空间向量的数量积分析求解.
【解答过程】由题意可知：a=b=c=1,a⋅b=b⋅c=a⋅c=0，
所以a+b⋅b−c=a⋅b−a⋅c+b2−b⋅c=1.
故选：A.
5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向量，则3a+b−2c=（ ）
A．14B．14C．2D．2
【解题思路】利用空间向量数量积的性质即可求解.
【解答过程】依题意得，a=b=c=1，a⋅b=a⋅c=c⋅b=0；
所以3a+b−2c=3a+b−2c2=9a2+b2+4c2+6a⋅b−12a⋅c−4b⋅c=9+1+4=14，
故选：A.
6．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知空间向量a+b+c=0,a=1,b=4,csa,b=12，则c=（ ）
A．3B．13C．21D．21
【解题思路】由题意结合空间向量的模长公式、数量积公式运算即可得解.
【解答过程】由题意c=−a+b，a=1,b=4,csa,b=12，
所以c=a2+b2+2abcsa,b=1+16+2×1×4×12=21.
故选：C.
7．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知a=2i−2j+λk，b=4i−j+5k（i，j，k为两两互相垂直的单位向量），若a⊥b，则λ=（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
【解题思路】利用向量的数量积的运算得到方程，解方程即可.
【解答过程】a⋅b=2i−2j+λk⋅4i−j+5k =8i2+2j2+5λk2−10i⋅j+10+4λi⋅k+−10−λj⋅k
∵i，j，k为两两互相垂直的单位向量，
∴i2=1，j2=1，k2=1，i⋅j=0，i⋅k=0，j⋅k=0，
∴a⋅b=8+2+5λ=10+5λ，
∵a⊥b，∴a⋅b=0，∴10+5λ=0，
解得λ=−2，
故选：C.
8．（23-24高三下·北京·开学考试）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1.线段AP长度的取值范围是（ ）
A．1,2B．62,3C．62,2D．62+∞
【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】
以D为坐标原点，以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设Pa,b,1，M0,1,t0≤t≤1，
则A1,0,0,B1,1,0,D10,0,1，则AP=a−1,b,1,BD1=−1,−1,1,MD1=0,−1,1−t，
因为AP⊥平面MBD1，所以AP⊥BD1,AP⊥MD1，
即AP⋅BD1=1−a−b+1=0AP⋅MD1=−b+1−t=0，解得a=t+1b=1−t，
所以AP=t,1−t,1，所以AP=t2+1−t2+1=2t−122+32，
又0≤t≤1，所以当t=12时，即M是CC1的中点时，AP取得最小值62，
当t=0或1，即M与点C或C1重合时，AP取得最大值2，
所以线段AP长度的取值范围为62,2.
故选：C.
多选题
9．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是（ ）
A．AA1+AD+AB2=3AB2
B．A1C⋅AB1=0
C．AD1与AB1夹角为60°
D．正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为AB⋅AA1⋅AD
【解题思路】
根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】设正方体的棱长为a，
A选项，AA1+AD+AB2=AA12+AD2+AB2+2AA1⋅AD+AA1⋅AB+AD⋅AB
=3a2=3AB2，A选项正确；
B选项，A1C⋅AB1=AC−AA1⋅AB+AA1
=AB+AD−AA1⋅AB+AA1=AB−AA1⋅AB+AA1+AD⋅AB+AA1
=AB2−AA12+AD⋅AB+AD⋅AA1=a2−a2=0，B选项正确；
C选项，由于三角形AB1D1是等边三角形，所以AD1与AB1夹角为60°，C选项正确；
D选项，AB⋅AA1⋅AD=0，所以D选项错误.
故选：ABC.
10．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．AB⋅CD=0B．AB⋅EF=2
C．EF在AB上的投影向量为13ABD．EG=13AB+AC−AD
【解题思路】取DC的中点M，根据CD⊥平面ABM判断A；取BD的中点H，AB⋅EF=2EH⋅EF判断B；根据投影向量定义判断C；根据空间向量线性运算判断D.
【解答过程】
如图，取DC的中点M，连接AM，BM，
∵AM⊥CD，BM⊥CD，AM∩BM=M,AM,BM⊂平面ABM，
∴CD⊥平面ABM，AB⊂平面ABM，∴CD⊥AB，故A正确；
取BD的中点H，连接HE，HF，则HE//AB,HE=12AB，FH//CD,FH=12CD，
∴HE⊥FH，即∠FHE=90°，又HE=FH=1，∴∠HEF=45°，EF=2，
∴AB⋅EF=2EH⋅EF=2×1×2×cs 45°=2，故B正确；
由B知，EF在AB上的投影向量为EH=12AB，故C不正确；
EG=EA+AG=−12 AD+13AB+AC+AD=13AB+AC−16AD，故D不正确，
故选：AB．
填空题
11．（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知a,b是两个空间向量，若|a|=2,|b|=2，|a−b|=7，则cs〈a,b〉＝ 18 .
【解题思路】将|a−b|=7两边平方，求出a⋅b的值，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【解答过程】由题意得|a|=2,|b|=2，|a−b|=7，
则|a−b|2=7，即a2−2a⋅b+b2=7，则a⋅b=12
则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=122×2=18，
故答案为：18.
12．（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱O1O2的底面半径为2，高为5,A,B分别是上、下底面圆周上的两个点，若O1A⊥O2B，则AB= 33 .
【解题思路】由AB=AO1+O1O2+O2B平方求解.
【解答过程】解：因为O1,O2分别是圆柱的上下底面的中心，
所以O1A⊥O1O2,O2B⊥O1O2,
又因为圆柱O1O2的底面半径为2，高为5，O1A⊥O2B，
且AB=AO1+O1O2+O2B，
所以AB2=AO1+O1O2+O2B2，
=AO12+O1O22+O2B2+2AO1⋅O1O2+2AO1⋅O2B+2O1O2⋅O2B，
=22+52+22=33，
所以AB=33，
故答案为：33.
解答题
13．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示.
(1)确定向量OA在直线OB上的投影向量，并求OA·OB；
(2)确定向量AO在平面ABC上的投影向量，并求AO⋅ AB.
【解题思路】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积.
【解答过程】
（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接AP，则有AP⊥OB，
因此OP即为OA在直线OB上的投影向量.
所以OA·OB=OP⋅OB=12×1=12.
（2）在正四面体OABC中，设O在底面ABC内的投影为Q，易知Q为底面中心，则OQ⊥平面ABC,
连接AQ并延长交BC于M，则M为BC中点，AM⊥BC，
且AQ=23AM=33,∴AQ即为AO平面ABC内的投影向量.
∴AO⋅ AB=AQ⋅AB=33×1×cs30∘=12.
14．（23-24高二上·上海·课后作业）已知a⊥b，c与a、b的夹角都是60∘，并且a=1，b=2，c=3．计算：
(1)3a−2b⋅b−3c；
(2)a+2b−c．
【解题思路】
（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案；
（2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案.
【解答过程】
（1）由题意知a⊥b，c与a、b的夹角都是60∘，并且a=1，b=2，c=3，
故3a−2b⋅b−3c=3a⋅b−9a⋅c−2b2+6b⋅c
=3×0−9×1×3×cs60∘−2×22+6×2×3×cs60∘
=−72；
（2）a+2b−c=(a+2b−c)2=a2+4b2+c2+4a⋅b−2a⋅c−4b⋅c
=1+16+9+4×0−2×1×3×12−4×2×3×12
=11.
15．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3.

(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求BD1；
(2)求BD1⋅AC.
【解题思路】
（1）根据空间向量的线性运算，得到BD1=AD+AA1−AB，结合向量的数量积的运算法则，即可求解；
（2）由空间向量的运算法则，得到AC=AB+AD，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【解答过程】
（1）解：根据空间向量的线性运算，可得BD1=AD1−AB=AD+AA1−AB，
可得BD12=(AD+AA1−AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD⋅AA1−2AD⋅AB−2AB⋅AA1
=1+4+1+2×1×2×12−0−2×2×1×12=6，
所以BD1=6.
（2）解：由空间向量的运算法则，可得AC=AB+AD，
因为AB=AD=1,AA1=2且∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，
所以BD1⋅AC=(AD+AA1−AB)⋅(AB+AD)
=AD⋅AB+AD2+AA1⋅AB+AA1⋅AD−AB2−AD⋅AB
=1×1×csπ2+12+2×1×csπ3+2×1×csπ3−12−1×1×csπ2=2.
16．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=1，CC1=2．
(1)求A1C的长．
(2)求异面直线CA1与DC1所成的角的余弦值．
【解题思路】
（1）利用CA2=CD+CB+CC12及向量的运算律和数量积求解即可.
（2）利用CA1⋅DC1=CD+CB+CC1⋅CC1−CD及向量的数量积求夹角即可.
【解答过程】
（1）CA12=CD+CB+CC12=CD2+CB2+CC12+2CD⋅CB+CD⋅CC1+CB⋅CC1
=1+1+4+21×1×cs60°+1×2×cs60°+1×2×cs60°=11，
所以CA1=11，
即A1C的长为11.
（2）CA1⋅DC1=CD+CB+CC1⋅CC1−CD
=CD⋅CC1−CD⋅CD+CB⋅CC1−CB⋅CD+CC1⋅CC1−CC1⋅CD
=1−1+1−12+4−1=72，
又由余弦定理得DC1=DC2+CC12−2DCCC1cs60°=3，
所以设所求异面直线所成角为θ，csθ=csCA1,DC1=CA1⋅DC1CA1⋅DC1=73366.
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).