高一升高二数学暑假预习课16讲第03讲 空间向量基本定理与7考点精讲（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第03讲 空间向量基本定理与7考点精讲（解析版），共37页。
\l "_Tc18349" 一、 空间向量基本定理 PAGEREF _Tc18349 \h 2
\l "_Tc17744" 基础知识 PAGEREF _Tc17744 \h 2
\l "_Tc29660" 考点1 空间向量基底概念 PAGEREF _Tc29660 \h 2
\l "_Tc13518" 考点2 空间基底表示向量 PAGEREF _Tc13518 \h 5
\l "_Tc874" 考点3 由空间向量基本定理求参数 PAGEREF _Tc874 \h 7
\l "_Tc15787" 二、 空间向量正交分解 PAGEREF _Tc15787 \h 10
\l "_Tc19802" 基础知识 PAGEREF _Tc19802 \h 10
\l "_Tc4324" 考点4 正交分解 PAGEREF _Tc4324 \h 10
\l "_Tc9391" 三、 空间向量基本定理解决相关问题 PAGEREF _Tc9391 \h 13
\l "_Tc27525" 基础知识 PAGEREF _Tc27525 \h 13
\l "_Tc30738" 考点5 证明平行、共线、共面问题 PAGEREF _Tc30738 \h 13
\l "_Tc14387" 考点6 夹角、垂直问题 PAGEREF _Tc14387 \h 16
\l "_Tc27561" 考点7 求距离问题 PAGEREF _Tc27561 \h 20
\l "_Tc17962" 四、 课后作业 PAGEREF _Tc17962 \h 25
\l "_Tc9898" 单选题 PAGEREF _Tc9898 \h 25
\l "_Tc2317" 多选题 PAGEREF _Tc2317 \h 30
\l "_Tc6763" 填空题 PAGEREF _Tc6763 \h 32
\l "_Tc12336" 解答题 PAGEREF _Tc12336 \h 33
一、 空间向量基本定理
基础知识
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
考点1 空间向量基底概念
【例1.1】（23-24高二上·广东东莞·期末）若a,b,c构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（ ）
A．a+b,b+c,c+aB．a,b,a+b+c
C．a+b,b+c,cD．a−b,b−c,c−a
【解题思路】推导出a−b,b−c,c−a共面，故a−b,b−c,c−a不能构成空间的一个基底，D正确，ABC选项向量均不共面，可构成空间的一个基底.
【解答过程】a,b,c是空间的一个基底，故a,b,c不共面，
A选项， 设a+b=mb+c+nc+a=na+mb+m+nc，
则n=1m=1m+n=0，无解，
故a+b,b+c,c+a不共面，故a+b,b+c,c+a可构成空间的一个基底；
B选项，设a=mb+na+b+c=na+m+nb+nc，
则n=1n=0m+n=0，无解，
故a,b,a+b+c不共面，故a,b,a+b+c可构成空间的一个基底；
C选项，设c=ma+b+nb+c=ma+m+nb+nc，
则m=0m+n=0n=1，无解，
故a+b,b+c,c不共面，故a+b,b+c,c可构成空间的一个基底；
D选项，设a−b=mb−c+nc−a=−na+mb+n−mc，
则−n=1m=−1n−m=0，得 n=−1m=−1，
故a−b,b−c,c−a共面，
故a−b,b−c,c−a不可构成空间的一个基底.
故选：D．
【例1.2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知a,b,c是空间的一个基底，则可以和a,b+c构成空间的另一个基底的向量为（ ）
A．a+b+cB．a−b−cC．a+2b+cD．2a+b+c
【解题思路】利用基底的概念及空间向量的共面定理一一分析即可.
【解答过程】易知：a+b+c=a+b+c，则a+b+c与a,b+c共面，
同理a−b−c=a−b+c，2a+b+c=2a+b+c，
即a−b−c、2a+b+c均与a,b+c共面，
所以A、B、D三项均不能和a,b+c构成空间的另一个基底，故A、B、D错误；
设a+2b+c=xa+yb+c⇒x=1y=2y=1，显然无法成立，即a+2b+c与a,b+c不共面，故C正确.
故选：C.
【变式1.1】（23-24高二上·上海·期末）在以下命题中，正确的命题其中真命题是（ ）
A．若a⋅b