高一升高二数学暑假预习课16讲第01讲 空间向量及其线性运算与7考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第01讲 空间向量及其线性运算与7考点精讲（学生版），共16页。学案主要包含了 共线等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1197" 第01讲 空间向量及其线性运算 PAGEREF _Tc1197 \h 1
\l "_Tc4421" 一、 空间向量概念 PAGEREF _Tc4421 \h 2
\l "_Tc11602" 基础知识 PAGEREF _Tc11602 \h 2
\l "_Tc32221" 考点1 空间向量相关概念 PAGEREF _Tc32221 \h 2
\l "_Tc8087" 二、 空间向量线性运算 PAGEREF _Tc8087 \h 4
\l "_Tc15366" 基础知识 PAGEREF _Tc15366 \h 4
\l "_Tc28366" 考点2 空间向量加减运算 PAGEREF _Tc28366 \h 4
\l "_Tc22378" 考点3 空间向量线性运算 PAGEREF _Tc22378 \h 5
\l "_Tc3887" 考点4 由空间向量的线性运算求参数 PAGEREF _Tc3887 \h 6
\l "_Tc30148" 三、 共线、共面向量 PAGEREF _Tc30148 \h 9
\l "_Tc12357" 基础知识 PAGEREF _Tc12357 \h 9
\l "_Tc11825" 考点5 向量共线的判定 PAGEREF _Tc11825 \h 10
\l "_Tc912" 考点6 向量共面的判定 PAGEREF _Tc912 \h 11
\l "_Tc20413" 考点7 由空间向量共线、共面求参数 PAGEREF _Tc20413 \h 12
\l "_Tc6476" 四、 课后作业 PAGEREF _Tc6476 \h 13
\l "_Tc14727" 单选题 PAGEREF _Tc14727 \h 13
\l "_Tc3215" 多选题 PAGEREF _Tc3215 \h 14
\l "_Tc14590" 填空题 PAGEREF _Tc14590 \h 15
\l "_Tc16652" 解答题 PAGEREF _Tc16652 \h 15
一、 空间向量概念
基础知识
1．空间向量概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)几类特殊的空间向量
【注】
(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.
考点1 空间向量相关概念
【例1.1】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量AB与BA的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【例1.2】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体ABCD−A1B1C1D1中，必有AC=A1C1；
③a=b是向量a=b的必要不充分条件；
④若空间向量m,n,p满足m∥n，n∥p，则m∥p．
其中正确的命题的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．0
【变式1.1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知正方体ABCD−A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有（ ）
①OA+OD与OB′+OC′是一对相反向量；
②OB−OC与OA′−OD′是一对相反向量；
③OA+OB+OC+OD与OA′+OB′+OC′+OD′是一对相反向量；
④OA′−OA与OC−OC′是一对相反向量．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量a,b满足a=b，则a=b；
④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3
C．2D．1
二、 空间向量线性运算
基础知识
1．空间向量的线性运算
【注】
(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.
(3)空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.
考点2 空间向量加减运算
【例1.1】（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′，则下列四式中错误的是（ ）
A．AB−CB=AC
B．AC′=AB+B′C′+CC′
C．AA′=CC′
D．AB+BB′+BC+C′C=AC′
【例1.2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知E,F分别是空间四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，点G是线段EF的中点，P为空间中任意一点，则PA+PB+PC+PD=（ ）
A．PGB．2PGC．3PGD．4PG
【变式1.1】（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形OABC中，化简OA+AB−CB=（ ）
A．OAB．OC
C．ACD．OB
【变式1.2】（23-24高二上·河北保定·期末）在三棱锥P−ABC中，M为AC的中点，则PM=（ ）
A．12BA+12BC+BPB．12BA+12BC−BP
C．12BA+12BC−12BPD．12BA+12BC+12BP
考点3 空间向量线性运算
【例2.1】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC−A1B1C1中，E是BC的中点，AG=2GE，则GC1=（ ）
A．13AB−23AC+AA1B．13AB+23AC+AA1
C．−13AB+23AC+AA1D．−13AB+23AC−AA1
【例2.2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，E,F分别为BC,AE的中点，G为△ACD的重心，则FG=（ ）
A．−13AB+112AC+14AD
B．−14AB+112AC+13AD
C．14AB−112AC+13AD
D．13AB+112AC−14AD
【变式2.1】（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则AD+12DB+DC=（ ）
A．ABB．ACC．AED．DE
【变式2.2】 （23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求a+2b−3c+3×23a−12b+23c−a−2b+c为（ ）
A．2a+32b−2cB．2a+52b−2c
C．2a−52b−2cD．2a−32b−2c
考点4 由空间向量的线性运算求参数
【例3.1】 （23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=λMA(λ>0),N为BC中点，若MN=−14a+12b+12c，则λ=（ ）
A．3B．2C．12D．13
【例3.2】（22-23高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=13D1D，若MN=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z=（ ）
A．16B．13C．23D．32
【变式3.1】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA1+xAB+yAD，则（ ）
A．x=−12,y=12B．x=12,y=−12
C．x=−12,y=−12D．x=12,y=12
【变式3.2】（23-24高二·江苏·假期作业）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.若EF=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z等于（ ）
A．﹣1B．0C．13D．1
三、 共线、共面向量
基础知识
1．共线向量
(1)空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.
(3)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
2．共面向量
(1)共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①证明四点共面；
②证明线面平行.
考点5 向量共线的判定
【例1.1】（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3b+c，AD=6a+7b+5c．求证：B，C，D三点共线．
【例1.2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱ABCD−A′B′C′D′的六个面都是平行四边形，点M在对角线A′B上，且A′M=12MB，点N在对角线A′C上，且A′N=13NC．
(1)设向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、b、c表示向量D′M、D′N；
(2)求证：M、N、D′ 三点共线．
【变式1.1】（23-24高二上·全国·课前预习）已知A,B,P三点共线，O为直线外空间任意一点，若OP=αOA+βOB，求证：α+β=1．
【变式1.2】 （23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0,m≠0.
求证：（1）AC//EG；
（2）OG=kOC.
考点6 向量共面的判定
【例2.1】（23-24高二·湖南·课后作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=k．求证：E，F，G，H四点共面．
【例2.2】（2024高二上·全国·专题练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．
(1)OB+OM=3OP−OA；
(2)OP=4OA−OB−OM．
【变式2.1】（2023高二·全国·专题练习）如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k,m∈R.求证：A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
【变式2.2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0，m≠0．
(1)求证：A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)求证：平面ABCD//平面EFCH；
(3)求证：OG=kOC．
考点7 由空间向量共线、共面求参数
【例3.1】 （23-24高二上·辽宁·期中）设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=−3e1−e2+2e3,BC=e1+λe2−6e3，CD=4e1+2e2+8e3，若A,C,D三点共线，则λ=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【例3.2】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四点共面，则t=（ ）
A．1B．98C．18D．14
【变式3.1】 （22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，CD=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面，且BP=mOA+OB+OC，则m的值为（ ）
A．−1B．2C．−2D．−3
四、 课后作业
单选题
1．（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若a