甘肃省多校2025届高三下学期5月联考考试数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省多校2025届高三下学期5月联考考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数2+i2+i3在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】2+i2+i3=2-1-i=1-i，在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2．若命题p:∀x>1,x2-3x+2>0，则（ ）
A．p是真命题，且¬p:∃x>1,x2-3x+2≤0
B．p是真命题，且¬p:∃x≤1,x2-3x+2≤0
C．p是假命题，且¬p:∃x>1,x2-3x+2≤0
D．p是假命题，且¬p:∃x≤1,x2-3x+2≤0
【答案】C
【解析】当x=32时，x2-3x+2=-141,x2-3x+2≤0.
故选：C.
3．已知角α满足sinα-10∘=15，则csα+260∘=（ ）
A．-265B．265C．-15D．15
【答案】D
【解析】因为sinα-10∘=15，
所以csα+260∘=csα-10∘+270∘=sinα-10∘=15.
故选：D
4．已知x=1是函数fx=lnx-ax+x的极值点，则a=（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】B
【解析】函数f(x)=lnx-ax+x的定义域为(0,+∞)，求导得f'(x)=1x+ax2+1，
由x=1是f(x)的极值点，得f'(1)=2+a=0，解得a=-2，
此时f'(x)=1x+-2x2+1=(x+2)(x-1)x2，当00，
因此x=1是f(x)的极值点，所以a=-2.
故选：B
5．某地组织一场知识竞赛，要求每位参赛选手作答6道试题，已知甲选手答对每道试题的概率均为23，且每道试题答对与否相互独立，记甲选手答对的试题数为X，则E2X+1=（ ）
A．16B．12C．9D．8
【答案】C
【解析】由题可知X∼B6,23，则EX=6×23=4,E2X+1=2EX+1=9.
故选：C.
6．函数fx=sinxsinx-csx-1的最小正周期为（ ）
A．π2B．πC．2πD．4π
【答案】B
【解析】由fx=sinxsinx-csx-1=sin2x-sinxcsx-1=1-cs2x2-12sin2x-1=-22sin2x+π4-12，
则函数fx的最小正周期T=2π2=π.
故选：B.
7．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为528,F1,F2分别为C的左､右焦点，C上一点P满足PF1⋅PF2=0，且△PF1F2的面积为72，则C的面积为（ ）
A．7πB．27πC．14πD．214π
【答案】D
【解析】由PF1⋅PF2=0，可得PF1⊥PF2，则PF12+PF22=F1F22.
因为△PF1F2的面积为72，所以12PF1PF2=72，则PF1PF2=7，
从而PF1+PF22-2PF1PF2=F1F22，即4a2-14=4c2.
又C的离心率为528，所以ca=528，解得a2=16,c2=252，
从而b2=72，则C的面积为πab=214π.
故选：D.
8．已知O为坐标原点，直线x=m(00，显然hx在0,+∞上单调递增，
且h12=-3160，故∃x0∈12,1,hx0=0，
当x∈0,x0时，hx0，即gx在x0,+∞上单调递增.
因为g110=1001100e-910-2>1001100e-2>0,gx00，
令Fx=x2+1x,Gx=2e1-x，x>0，
则F'x=2x-1x2=2x3-1x2，
当x∈0,312时，F'x0，
则H'x=2x+2+2x2+2x3-3x=2x2-3x+2x2+2x4+2x3=2x-342+78x2+2x4+2x3>0，
则Hx在0,+∞上单调递增，
因为H1=0，所以当x∈0,1时，Hx0，即φx在(1,+∞)上单调递增，
从而φx≥φ1=2，证毕.
19．在平面直角坐标系xOy中，将双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0绕着y轴旋转一周构成双曲面D，其中C在旋转过程中的所有实轴落在xOz平面内，设xOz所在的平面为α，平面β满足α//β，且α与β之间的距离为3b.
（1）若点Px,z,y在D上，试用含x,z,y的方程表示D（不用说明理由）.
（2）设Tα,Tβ分别是α,β截得D的截面.
（i）设lα,lβ分别为Tα,Tβ上的弦，求lα,lβ所在直线间的距离的取值范围；
（ii）已知截面Tβ的圆周上的点A1,A2,⋯,An恰好构成正n边形的顶点，P为D上一动点，若对任意a>b>0,λn∑i=1PAi≥na2-b2恒成立，求λ的取值范围.
解：（1）将双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0绕着y轴旋转一周，
在旋转过程中所有点的纵坐标y保持不变，将横坐标x替换点在xOy平面内的旋转半径x2+z2，
则双曲面D的方程为x2+z2a2-y2b2=1a>0,b>0.
（2）（i）若lα,lβ共面，则lα∥lβ，
如图1，过弦lβ的中点M作MH⊥α，垂足为H，过H作HN⊥lα，垂足为N，
则lα,lβ所在直线间的距离为MN.
因为α与β之间的距离为3b，所以MH=3b,0≤HNb>0，可得t>1，则λ2≥t2-1t2+4t=1-4t+1t2+4t.
因为t2+4t>4t+1>0，所以1-4t+1t2+4t