甘肃省多校联考2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省多校联考2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 已知，则， 设，，，则， 下列各式中，值为的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章~第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由复数的运算法则，可得，所以在复平面内对应的点的坐标为.
故选：A.
2. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D
3. 已知，则的值是（ ）
A. -7B. C. 7D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
4. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，故，
所以的面积为.
故选：A.
5. 已知向量，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，，两式作差可得．
故选：C．
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，可得，
得，
因此，.
故选：C.
7. 已知中，内角、、所对的边分别，，，，，，那么满足条件的（ ）
A. 有一种情形B. 有两种情形
C. 不可求出D. 有三种以上情形
【答案】B
【解析】由题意，因为，
由正弦定理，可得，
因为，可得，且，所以或，
所以满足条件的有两种情形.
故选：B.
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据正余弦和正切的二倍角公式有，，，.
因为，，
，故
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A：，所以A正确
对于B：，所以B正确
对于C：，所以C不正确
对于D：，所以D正确，
故选：ABD.
10. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】在中，为的中点，为的中点，，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，由，有，C正确；
对于D，依题意，，于是
，D正确.
故选：BCD
11. 在中，角所对的边分别为，则下列条件中能判断为钝角三角形的有（ ）
A.
B.
C.
D. 的三条高分别为2，3，4
【答案】ABD
【解析】对于A，由余弦定理有，可得为钝角，故为钝角三角形，故A正确；
对于B，将平方可得，
即，
所以，又，所以，则，所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确；
对于C，因为，
所以，
若、、有两个负数，则，，中有两个钝角，显然不满足三角形内角和为，所以、、均为正数，即角，，都为锐角，为锐角三角形，故C错误；
对于D，假设，，边上的高分别为2，3，4，则，有，设，则，所以由余弦定理得，所以为钝角，为钝角三角形，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数＝_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】设，则在复平面内所对应的点为，所以，
满足上式的有无数个，如，，等.
故答案为：（答案不唯一）
13. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km.
【答案】
【解析】由图知知，，
由正弦定理有.
故答案为：
14. 已知，，则______.
【答案】
【解析】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：
，
当，此时，不合题意；
当，符合题意；
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，，，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
解：（1）由，有，
有解得
故；
（2）由，，
又由，有，
解得，故．
16. 已知复数是一元二次方程的根.
（1）求的值；
（2）若复数（其中）为纯虚数，求复数的模.
解：（1）是实系数一元二次方程的根，
是该方程的另一个根，
，即.
（2）由（1）知：，
为纯虚数，，解得：，
，的模为.
17. 在中，角所对的边分别为，且满足
（1）求；
（2）若，求的最小值.
解：（1）
，即，
即；
（2）由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故a的最小值为1.
18. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1），，
，，
，，
，，
，
；
（2）
19. 如图，在矩形中，为的中点，为上靠近点的三等分点，与相交于点，记.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
解：（1）因为在矩形中，为的中点，为上靠近点的三等分点，
所以，，
因为点在上，所以设（），
因为，所以，
所以，
所以,
所以，解得，，
（2）由（1）可知，，
因为，所以，
所以
.