小学数学人教版（2024）六年级上册数学广角—数与形精品课后练习题

这是一份小学数学人教版（2024）六年级上册数学广角—数与形精品课后练习题，文件包含单元复习讲义专题08数学广角数与形考点梳理+例题讲解+考点练习-2025-2026学年六年级上册数学人教版原卷版docx、单元复习讲义专题08数学广角数与形考点梳理+例题讲解+考点练习-2025-2026学年六年级上册数学人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
（考点梳理+例题讲解+考点练习）
专题预览
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29014" 考点梳理 PAGEREF _Tc29014 \h 1
\l "_Tc29656" 考点一、核心思想：数形结合 PAGEREF _Tc29656 \h 1
\l "_Tc26725" 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) PAGEREF _Tc26725 \h 1
\l "_Tc20210" 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) PAGEREF _Tc20210 \h 2
\l "_Tc25947" 考点四、利用数形结合思想解决实际问题 PAGEREF _Tc25947 \h 3
\l "_Tc16357" 考点五、解题方法与策略 PAGEREF _Tc16357 \h 4
\l "_Tc9000" 考点六、易错点提示 PAGEREF _Tc9000 \h 4
\l "_Tc31790" 例题讲解 PAGEREF _Tc31790 \h 4
\l "_Tc5725" 一、数列中的规律 PAGEREF _Tc5725 \h 4
\l "_Tc3837" 二、算式的规律 PAGEREF _Tc3837 \h 5
\l "_Tc27333" 三、用图像表示变化关系 PAGEREF _Tc27333 \h 7
\l "_Tc29922" 四、数形结合规律 PAGEREF _Tc29922 \h 8
\l "_Tc29403" 考点练习 PAGEREF _Tc29403 \h 11
\l "_Tc1521" 一、数列中的规律 PAGEREF _Tc1521 \h 11
\l "_Tc16348" 二、算式的规律 PAGEREF _Tc16348 \h 13
\l "_Tc10755" 三、用图像表示变化关系 PAGEREF _Tc10755 \h 17
\l "_Tc3976" 四、数形结合规律 PAGEREF _Tc3976 \h 18
考点梳理
考点一、核心思想：数形结合
1.定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。
2.作用：
（1）以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。
（2）以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。
考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数)
1.这类题目通常给出一组按一定规律排列的图形，要求：
（1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。
（2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。
（3）预测后续图形的数量或画出后续图形。
2.用小棒摆正方形
摆1个正方形需要4根小棒
摆2个正方形需要7根小棒
摆3个正方形需要10根小棒

每个正方形共用一条边
第1个：4根 (3×1 + 1)
第2个：4 + 3 = 7根 (3×2 + 1)
第3个：7 + 3 = 10根 (3×3 + 1)

规律分析： 除了第一个正方形用4根，以后每增加一个正方形就增加3根小棒。图形的规律可以用代数式3n+1来表示。
3.点阵中的规律 (如从1开始的连续奇数之和)
第1个图形（点）：1点 → 1 = 1²
第2个图形（点阵）：1 + 3 = 4点 → 4 = 2²
第3个图形（点阵）：1 + 3 + 5 = 9点 → 9 = 3²
第n个图形：1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n²
规律分析： 从1开始的n个连续奇数相加的和等于n的平方。图形（正方形点阵）的点数之和与平方数紧密相关。
考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形)
1.这类题目通常给出一组有规律的数或算式，要求：
（1）找出数或算式的排列规律。
（2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。
（3）利用规律进行计算或预测。
2.分数加法的规律
12 + 14 = 34 → 可以用一个正方形先涂12，再涂剩下的12（即14），合起来是34。
12 + 14 + 18 = 78 → 继续用正方形涂色，发现和越来越接近1。
12 + 14 + 18 + ... + 12ⁿ = 1 - 12ⁿ
规律分析： 通过观察图形（如正方形或圆形的涂色部分），可以直观地理解当分数单位越来越小时，它们的和趋近于1的规律。
3.平方差公式的初步感知 (a² - b² = (a-b)(a+b))
例如：5² - 3² = (5-3)×(5+3) = 16。
可以用边长为5的大正方形面积减去边长为3的小正方形面积，剩余部分通过割补可以转化为一个长方形，其长为(5+3)，宽为(5-3)，面积即为(5-3)×(5+3)。
规律分析： 利用图形的面积关系来解释抽象的代数恒等式，体现了以形助数的思想。
考点四、利用数形结合思想解决实际问题
1.在解决一些复杂的数学问题时，特别是涉及到数量关系比较抽象时，可以通过画线段图、示意图、列表格等方式（形），将抽象的数量关系直观化，从而找到解题思路。
2.典型例题：行程问题、工程问题、分数应用题等，通过画线段图帮助分析数量关系。
3.规律分析： 虽然不是本单元的重点，但体现了数形结合思想的广泛应用。本单元更侧重于探索规律本身。
考点五、解题方法与策略
1.仔细观察： 认真观察图形或数列的特点，包括数量、大小、方向、颜色、位置等的变化。
2.寻找共性与差异： 比较相邻图形或数之间的异同，找出重复出现的模式或变化趋势。
3.动手操作与尝试： 对于图形类问题，可以动手画一画、摆一摆，亲身体验变化过程。
4.归纳与猜想： 根据观察到的部分现象，大胆猜想一般性的规律，并用代数式或文字描述出来。
5.验证规律： 用发现的规律去检验前面已知的图形或数据是否符合，或预测后面的图形或数据，并进行验证。如果不符合，及时调整猜想。
6.从简单入手： 如果规律不明显，可以从最简单的情况开始分析，逐步递推，发现规律。
考点六、易错点提示
1.规律找不准或不全面： 容易被局部现象迷惑，未能发现图形或数字变化的本质规律。
2.用字母表示规律困难： 难以将观察到的规律用含n的代数式准确表示出来。
3.数形脱节： 不能将数的规律与图形的变化有机结合起来，理解停留在表面。
4.对“无限”思想的理解困难： 如在分数求和“12 + 14 + 18 + ...”中，难以理解其结果趋近于1。
5.计算错误： 在根据规律进行计算时，特别是涉及到分数或较大数字时，容易出现计算失误。
6.忽略起始项： 在寻找第n个图形的数量时，容易忽略第一个图形的特殊性（如小棒摆正方形，第一个用4根，后续每个加3根）。
例题讲解
一、数列中的规律
【例题1】1，12，18，148……这一列数中，第6个数应该是（ ）。
A．164B．196C．1384D．13840
【答案】D
【解析】【解答】解：分子不变，只有分母发生变化
第五个数的分母为：48×8=384；
第六个数的分母为：384×10=3840。
故答案为：D。
【分析】这列数的分子均为1，第n个分数的分母=前一个分数的分母×(2n-2)。
【例题2】找规律填数：
（1）1、3、6、10、15、 。
（2）1、3、8、22、60、 、448。
【答案】（1）21
（2）164
【解析】【解答】（1）1=1；
3=1+2；
6=1+2+3；
10=1+2+3+4；
15=1+2+3+4+5；
1+2+3+4+5+6=21。
（2）第一个数：1
第二个数：3
第三个数：8 = (1 + 3) × 2
第四个数：22 = (3 + 8) × 2
第五个数：60 = (8 + 22) × 2
第六个数：164 = (22 + 60) × 2
第七个数：448 = (60 + 164) × 2
故答案为：（1）21；（2）164
【分析】(1)1，3，6，10，15，21，28，36的规律是第n个数等于从1加到n，即n(n+1)/2；
（2）‌数列1，3，8，22，60，（ ），448的规律是：每个数都是前两个数的和的二倍。‌
二、算式的规律
【例题1】与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是（ ）。
A．42B．32C．52+32D．52﹣32
【答案】C
【解析】【解答】解：1+3+5+7+9+5+3+1
＝（1+9）+（3+7）+5+（5+1）+3
＝（2×5+2×5+1×5）+（2×3+1×3）
＝5×5+3×3
＝52+32
故答案为：C。
【分析】利用乘法的意义，根据其中相等的数量关系进行转化。
【例题2】已知：2+ 23=22×23，3+ 38=32×38，4+ 415=42×415，5+ 524=52×524，按照这个规律，下一个式子是 。
【答案】6＋635=62×635
【解析】【解答】解：下一个式子是：6＋635=62×635。
故答案为：6＋635=62×635。
【分析】规律是：整数依次加1，分数的分子依次加1，分母比分子的平方少1。
【例题3】观察下面几个算式的规律，然后填空。
32﹣22＝（3+2）×（3﹣2）＝5
42﹣32＝（4+3）×（4﹣3）＝7
52﹣42＝（5+4）×（5﹣4）＝9
62﹣52＝（6+5）×（6﹣5）＝11
20232﹣20222＝ × ＝
【答案】（2023+2022）；（2023-2022）；4045
【解析】【解答】解：20232-20222
＝（2023+2022）×（2023-2022）
=4045×1
=4045。
故答案为：（2023+2022）；（2023-2022）；4045。
【分析】规律是：两个相邻自然数平方的差=这两个相邻自然数的和×这两个相邻自然数的差。
【例题4】请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题：
11×2 =1- 12 ， 12×3 = 12 - 13 ， 13×4 = 13 - 14 ，……
（1）把 14×5 写成分子都是1的两个分数的差的形式；
（2）根据你发现的规律计算： 12×3 + 13×4 + 14×5 +……+ 111×12
【答案】（1）14×5=14-15
（2）解： 12×3 + 13×4 + 14×5 +……+ 111×12
= 12 - 13+ 13 - 14 +14-15+……+111-112
=12-112
=512
【解析】【分析】（1）观察算式可得规律：分母是相邻的两个自然数，分子是1，可以写成两个分数差的形式，两个分母是相邻的两个自然数，分子都是1，据此规律解答；
（2）根据规律，将分数写成两个分数的差的形式，然后进行计算即可。
三、用图像表示变化关系
【例题1】周日早晨，龙龙到离家800 m的体育馆练习打羽毛球，走路用了10分钟，然后用20分钟时间练习打羽毛球，练完球后跑步回家，用了5分钟。下面的统计图中，能正确表示龙龙离家时间和离家距离关系的是（ ）。
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：能正确表示龙龙离家时间和离家距离关系的是C项中的图。
故答案为：C。
【分析】10+20+5=35（分钟），所以最后到家的时间应该是35分钟，据此作答即可。
【例题2】小红从家里出门散步，下图描述了她散步过程中离家的距离与散步所用时间之间的关系。据图判断，下面的描述符合小红散步情况的是（ ）。
A．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸就回家了。
B．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸后，继续向前走了一段，然后回家了。
C．从家出发， 一直散步(没有停留)，然后回家了。
D．从家出发，突然发现忘带手机了，就回家了。
【答案】B
【解析】【解答】解：A项：描述的是一种小红从家出发，到一个公共阅报亭停留后直接回家的情况。然而，图像显示小红在停留后继续前行了一段距离，原题干说法错误；
B项：描述小红从家出发，到一个公共阅报亭停留后，继续前行一段距离，然后回家。这与图像描述的行为完全一致，原题干说法正确；
C项：描述小红从家出发，一直散步，没有停留，然后回家。然而，图像清楚地显示了小红在散步过程中有过停留，原题干说法错误；
D项：描述小红从家出发后，因为发现忘带手机而立即回家。这种情景在图像中并未得到体现，小红在散步过程中有停留和继续前行的行为，原题干说法错误。
故答案为：B。
【分析】通过细致观察图像的每个阶段，我们可以明确判断出小红的散步模式与选项B描述的场景相匹配，描述了小红散步过程中的所有关键阶段，包括停留、继续前行和最终返回家中的行为，这与图像信息完全一致，所以此选项正确。
四、数形结合规律
【例题1】如图，按照这样的规律，第10个图形需要（ ）个小正方形。
A．10B．55C．54D．46
【答案】B
【解析】【解答】解：
10×（10+1）÷2=55（个）
故答案为：B。
【分析】根据图示，第n个图形需要小正方形的个数为：1+2+3+…+n=n(n+1)÷2。
【例题2】下面各图是由棱长1dm的小正方体拼成的，根据前4个图形表面积的排列规律，第6个图形的表面积是（ ）dm2。
A．26B．28C．32D．36
【答案】A
【解析】【解答】解：第6个图形由6个小正方体拼成，
表面积是：1×1×6×6-1×1×5×2
=36-10
=26（dm2）
故答案为：A。
【分析】观察图可得规律：第n个图形就有n个小正方体拼成，先求出n个小正方体的表面积总和，然后n个小正方体排成一行，则会减少（n-1）×2个面，用减法求出组合图形的表面积。
【例题3】照这样的规律，第20个图形有 个黑色小正方形。
【答案】41
【解析】【解答】解：212-202
=441-400
=41
第20个图形有41个黑色小正方形。
故答案为：41。
【分析】规律：
第1个图形黑色小正方形的个数是：22-12
第2个图形黑色小正方形的个数是：32-22
第3个图形黑色小正方形的个数是：42-32
第20个图形黑色小正方形的个数是：212-202
第n个图形黑色小正方形的个数是：n+12-n2
【例题4】观察下面的图形，想一想，按这样的规律，第7个方框里有 个点，第n个方框里有 个点，第 个方框里有201个点。
【答案】25；4n-3；51
【解析】【解答】第1个方框里有：4×1-3=1个点；
第2个方框里有：4×2-3=5个点；
第3个方框里有：4×3-3=9个点；
第4个方框里有：4×4-3=13个点；
第7个方框里有：4×7-3=25个点；
第n个方框里有：4n-3个点；
4n-3=201
解：4n-3+3=201+3
4n=204
4n÷4=204÷4
n=51
故答案为：25；4n-3；51。
【分析】 观察图形可得规律：第n个方框里面有1+4×（n-1）=4n-3个点，据此规律解答。
【例题5】用小棒按照如下方式摆图形(每边摆1根小棒)：
（1）摆第5个图形需用 根小棒；
（2）摆第n个图形需用 根小棒。
【答案】（1）36
（2）7n＋1
【解析】【解答】解：（1）摆第5个图形需用36根小棒；
（2）摆第n个图形需用7n+1根小棒。
故答案为：（1）36；（2）7n+1。
【分析】（1）摆第1个图形需用小棒的根数：8=7×1+1；
摆第2个图形需用小棒的根数：15=7×2+1；
摆第3个图形需用小棒的根数：22=7×3+1；
……
摆第n个图形需用小棒的根数：7n+1。
【例题6】按下图的方式摆放餐桌和椅子，8张这样的餐桌拼成一排可以坐多少人？ 52人用餐，需要多少张这样的餐桌拼成一排？
【答案】解：4+4×8=36(人)
(52-4)÷4=12(张)
答：需要12张这样的餐桌拼成一排。
【解析】【分析】观察发现，一张餐桌可以坐8人，每多一张餐桌就可以多坐4人。n张餐桌拼成一排，可以坐8+4(n--1)=(4n+4)人。要求8张这样的餐桌拼在一起可以坐多少人，即当n=8时，4×8+4=36(人)；要求 52人用餐需要多少张这样的餐桌拼在一起，即4n+4=52，由此求出n的值即可。
考点练习
一、数列中的规律
1．小红设计了一个计算程序，当输入数据为7时，则输出的数据是（ ）。
A．737B．748C．750D．752
【答案】C
【解析】【解答】解：26＋11＋13
=37＋13
=50，输出的数据是750。
故答案为：C。
【分析】规律是：分子依次是1、2、3、4、5、6、7······的自然数，分母依次加上3、5、7、9、11、13······。
2．进入迷宫后，已知地图藏在下图数字中最右边的位置，若地图代表的数字是2632，那么地图在第（ ）行。
A．876B．878C．879D．880
【答案】B
【解析】【解答】解：因为每一行的最后一个数分别是1、4、7、10，分析可知，1=3x1-2，4=3x2-2，7=3x3-2，10=3x4-2，……，所以第n行的最后一个数字是3n-2，地图藏在题图中最右边的位置，且代表的数字是2632，即3n-2=2632，n=878。
故答案为：B
【分析】因为每一行的最后一个数分别是1、4、7、10，分析可知，1=3x1-2，4=3x2-2，7=3x3-2，10=3x4-2，……，所以第n行的最后一个数字是3n-2，即可得出答案。
3．根据规律填空： 16 ， 12 ， ， 92 ， 272 ， 。
【答案】32；812
【解析】【解答】解：12×3=32，272×3=812。
故答案为：32；812。
【分析】观察已知数字可知，后面的数字是相邻前一个数字的3倍，所以用前一个数字乘3即可求出相邻的后一个数字。
4．13 ， 19 ， 127 ……按这组数的规律，第五个数应该是 ；如果这样一直写下去，那么这个数会越来越接近 。
【答案】1243；0
【解析】【解答】解：27×3×3
=81×3
=243，
第五个数是：1243，如果这样一直写下去，那么这个数会越来越小，越来越接近0。
故答案为：1243；0。
【分析】这组数的规律是：分子是1不变，后面一个分数的分母是前面一个分数分母的3倍；因为分子是1不变，分母越来越小，那么这个数会越来越小，越来越接近0。
5．找规律填空。
（1）1，14，19， ， ，136。
（2）23，1，32，94， 。
【答案】（1）116；125​​​​​​​
（2）278
【解析】【解答】解：(1)142=116，152=125；
(2)94×32=278。
故答案为：(1)116；125；(2)278。
【分析】(1)已知的几个数可以写成：112，122，132，___，___，162，可以发现规律是：分子都是1，分母依次是12，22，32……，据此填空；
(2)观察可以发现，每一项乘32都等于它的后一项，据此填空。
二、算式的规律
1．根据12 - 13 = 16，13 - 14 = 112，14 - 15 = 120，那么199 - 1100 =（ ）。
A．199 B．1990 C．19900D．199000
【答案】C
【解析】【解答】解：199-1100
=100−9999×100
=19900。
故答案为：C。
【分析】分子是1，分母是相邻的自然数（0除外），它们的差的分子是1，差的分母是这两个分数分母的积。
2．12 + 14 + 18 + 116 + 132 + 164 +…= 。
【答案】1
【解析】【解答】解：12 + 14 + 18 + 116 + 132 + 164 +…
= 34 + 18 + 116 + 132 + 164 +…
= 78 + 116 + 132 + 164 +…
= 1516 + 132 + 164 +…
= 3132 + 164 +…
= 6364 +…
=1
故答案为：1。
【分析】从左向右依次相加后发现，和越来越接近1，因为是无数个，所以和等于1。
3．1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52。从1开始， 个连续奇数相加的和是202。
【答案】20
【解析】【解答】解：从1开始，20个连续奇数相加的和是202。
故答案为：20。
【分析】从1开始：1个奇数是12；
2个连续奇数的和是22；
3个连续奇数的和是32；
4个连续奇数的和是42；
5个连续奇数的和是52；
……
n个连续奇数的和是n2。
4．观察右边四题的算式，你一定发现了一个规律，运用你发现的规律，直接写出下面两题的得数。
1＋3＝4＝22
1＋3＋5＝9＝32
1＋3＋5＋7＝16＝42
1＋3＋5＋7＋9＝25＝52
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝
1＋3＋5＋7＋……＋49＝
【答案】49；625
【解析】【解答】解：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72=49；
1＋3＋5＋7＋……＋49＝[（1+49）÷2]2=252=625。
故答案为：49；625。
【分析】这些算式都是从1开始加起，每个数都是连续增大的奇数，而且每个算式中加数的个数都是奇数，所以算式的结果=[（第一个加数+最后一个加数）÷2]2。
5．观察下列各式：
11×3=1−13×12，
13×5=13−15×12，
15×7=15−17×12,⋯
（1）照上面的规律再写出两个不同的算式。
（2）根据你发现的规律填一填，13+115+135+163+199= 。
（3）计算：112+56−712+920−1130。
【答案】（1）解：17×9=17−19×1219×11=19−111×12(答案不唯一)
（2）511
（3）解：112+56−712+920−1130
=32+56−712+920−1130
=3×1−12+5×12−13−7×13−14+9×14−15−11×15−16
=3−3×12+5×12−5×13−7×13+7×14+9×14− 9×15−11×15+11×16
=3+12×5−3−13×5+7+14×7+9−15× 9+11+11×16
=3+1−4+4−4+11×16
=116
【解析】【分析】依据规律计算时，把各个分数写成展开的形式，然后应用乘法分配律再计算。
6．先观察下面的算式，再回答问题。
我们知道： 3+2×3−2=32−22;
5+4×5−4=52−42;
12+7×12−7=122−72;
(100+98)×(100-98)=1002-982。
（1）请你根据上面的发现并填空：
(x+y)×(x-y)=( )
（2）请应用上面的发现简算 2001×1999。(写出计算过程)
（3）计算： 1−12×12×1−13×13×(1−14× 14)×⋯×1−12026×12026。(写出计算过程)
【答案】（1）解：根据运算规律，可知
(x+y)×(x-y)
=x2−y2​​​​​​​
（2）解：2001×1999
=(2000+1)×(2000-1)
=20002-1
=4000000-1
=3999999
（3）解：1−12×12×1−13×13×1−14×14×⋯× 1−12026×12026
=1−122×1−132×1−142×⋯×1−120262
=（1+12）×（1−12）×（1+13）×（1−13）×（1+14）×（1−14）×⋯×（1+12026）×（1−12026）
=32×12×43×23×54×34×⋯×20272026×20252026
=32×43×54×⋯×20272026×12×23×34×⋯× 20252026)
=20272×12026=20274052
【解析】【分析】（1）根据题干给出的算式运算法则，直接代入即可
（2）将2001和1999进行拆解成：（2000+1）和（2000-1），然后再根据题干的运算法则进行运算即可
（3）先对括号里面的分式进行运算：1−122×1−132×1−142×⋯×1−120262，然后再根据题干中的运算法则进行运算即可
三、用图像表示变化关系
1．明明坚持锻炼身体，星期天跑步到江滨公园，在江滨公园休息了一会后走回家。能比较准确描述明明行为的是（ ）。
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据分析可知，时间不断增加，路程随着时间先增加，再不变，最后再减少。
故答案为：C。
【分析】明明的行为可以分为三段，第一段：明明从家到公园，随着时间增加路程不断增加，到达公园后，路程停止；第二段：明明在公园休息，时间增加，路程不再增加；第三段：明明回家，随着时间增加路程不断减少，到家时，路程为0；据此解答。
2．下图表示的是淘气乘车去图书馆看书，然后返回家的过程。下面说法不正确的是（ ）。
A．淘气从家出发到图书馆用了0.5时
B．淘气在图书馆停留了1.5时
C．淘气的家与图书馆之间的距离是5千米
D．图中E点处速度是5千米/时
【答案】D
【解析】【解答】解：A项：淘气从家出发到达图书馆的时间的间隔，如图形显示这一段时间确实为0.5小时，原题干说法正确；
B项：2-0.5=1.5（小时），原题干说法正确；
C项：淘气从家出发到达图书馆的直线段长度来判断，这一距离正好是5千米，原题干说法正确；
D项：E点淘气在图书馆看书，没有速度，原题干说法错误。
故答案为：D。
【分析】A项：观察图像淘气从家出发到达图书馆的时间为0.5小时；
B项：淘气在图书馆停留的时间=离开的时刻-出发的时刻=2-0.5=1.5小时；
C项：淘气从家出发到达图书馆的直线段长度来判断，这一距离正好是5千米；
D项：E点淘气在图书馆看书，没有速度。
3．小明从家去图书馆看书，如图是他与家距离变化的情况。小明家到图书馆的距离是 千米，小明在图书馆停留了 分，返回时每分行 千米。
【答案】4；70；0.2
【解析】【解答】解：观察图可知，小明30分钟后到达图书馆，小明家到图书馆的距离是4千米，
100-30=70（分）
4÷（120-100）
=4÷20
=0.2（千米）
故答案为：4；70；0.2。
【分析】此题主要考查了用图像表示变化情况，根据图像可知，从小明家出发到学校走了30分钟，走了4千米，图中与时间轴平行的部分表示路程没有增加，也就是小明在图书馆的时间段，用减法计算；返回的路程÷返回的时间=返回的速度。
四、数形结合规律
1．如图是由大小相同的棋子按照一定规律排列组成的图形，摆第1个图需要6枚棋子，摆第2个图需要9枚棋子，摆第3个图需要12枚棋子，……按此规律，摆第32个图需要（ ）枚棋子。
A．93B．96C．99D．102
【答案】C
【解析】【解答】解：（32＋1）×3
=33×3
=99（枚）
故答案为：C。
【分析】看图可知：每一个图中棋子枚数都是3的倍数。第1个图6=2×3，第2个图9=3×3，第3个图12=4×3，通过观察3组式子不难发现前一个因数都比图形个数多1，因此本题规律为：（图形个数＋1）×3=棋子枚数。
2．如图，首先将平行四边形纸片剪成2个完全一样的等边三角形，然后将其中一个等边三角形剪成4个完全相同的小等边三角形，再把小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，如此循环下去。剪4次后剪出（ ）个三角形。
A．11B．13C．15D．17
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：
1+3+3+4
=4+3+4
=7+4
=11（个）
故答案为：A。
【分析】根据题意可知，第1次剪出2个大三角形，第2次将其中的一个等边三角形剪成4个完全相同的小等边三角形，第3次将其中的1个小等边三角形再剪成4个完全相同的等边三角形，第4次将其中的1个小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，然后相加即可。
3．请找到如下图中图形与数的规律，第10个图形中有（ ）个白色小正方形。
A．10B．20C．22D．26
【答案】D
【解析】【解答】解：第n个图形小正方形的总个数：3×(n+2)=3n+6
第n个图形黑色小正方形的个数：n
第n个图形白色小正方形的个数：3n+6-n=2n+6
当n=10时
黑色小正方形的个数：n=10(个)
白色小正方形的个数：2n+6=2×10+6=26(个)
故答案为：D。
【分析】分析题意，找出图形变化的规律，用含有字母的式子表示出第n个图形小正方形的总个数和黑色小正方形的个数；白色小正方形的个数=小正方形的总个数-黑色小正方形的个数，据此解答。
4．按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（ ）（图中每个圆的半径为r）。
A．40r2B．10×π−2r2C．9×4−πr2D．10×4−πr2
【答案】D
【解析】【解答】解：第n幅图阴影部分面积为：n×（4－π）r2；
10×（4－π）r2。
故答案为：D。
【分析】第n幅图阴影部分面积为：n×（4－π）r2；然后代入计算。
5．如图用小棒摆三角形，1个三角形 根小棒，2个三角形 根小棒，照这样摆10个三角形要 根小棒， 61根小棒可以摆 个连续三角形。
【答案】3；5；21；30
【解析】【解答】解：1个三角形3根小棒；
2个三角形需要：2×2＋1=5（根）；
10个三角形需要：10×2＋1=21（根）；
（61-1）÷2
=60÷2
=30（个）。
故答案为：3；5；21；30。
【分析】照这样摆n个三角形需要小棒的根数=（2n＋1） 根；61根小棒可以摆这样连续三角形的个数=（小棒的根数-1根）÷2。
6．小芳用小棒摆了一组有规律的图形，按照这样的规律，第5个图形需要 根小棒，第n个图形需要 根小棒。
【答案】26；（1+5n）
【解析】【解答】解：第5个图形需要：1+5×5=1+25=26（根）
第n个图形需要：（1+5n）根小棒。
故答案为：26；（1+5n）。
【分析】规律：
第1个图形需要（1+5）根小棒，
第2个图形需要（1+5×2）根小棒，
第3个图形需要（1+5×3）根小棒，
第4个图形需要（1+5×4）根小棒，
... ...
第n个图形需要（1+5n）根小棒。
7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起。下图是用“形”来表示“数”，请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9……依次排下去，第10幅图的点数为 ，第n 幅图的点数为 。
【答案】37；4n-3
【解析】【解答】解：第1幅图的点数为1+4×0=0，
第2幅图的点数为1+4×1=5，
第3幅图的点数为1+4×2=9，
第4 幅图的点数为1+4×3=13，……
第n幅图的点数为1+4(n-1)=4n-3；
当n=10时，4n-3=4×10-3=37，所以第10幅图的点数为37。
故答案为：37；4n-3。
【分析】此题主要考查了数形结合的规律，观察图可得规律：第n幅图的点数为1+4(n-1)=4n-3；据此规律解答。
8．如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画4个正方形能得到 个直角三角形，画n个正方形能得到 个直角三角形。
【答案】12；（4n-4）
【解析】【解答】解：（4-1）×4
=3×4
=12（个）
（n-1）×4=（4n-4）（个）。
故答案为：12；（4n-4）。
【分析】画n个正方形能得到直角三角形的个数=（n-1）×4=（4n-4）个。
9．聪聪用小棒摆了4个树状图，以下是树状图变化的规律：
（1）按此规律继续摆下去，第5个树状图要用 根小棒。
（2）按此规律继续摆下去，第 个树状图要用1023根小棒。
【答案】（1）31
（2）10
【解析】【解答】解：（1）2×2×2×2×2－1
＝32－1
＝31（根）；
（2）2n－1＝1023，那么2n＝1024。
210＝1024，那么n＝10。
故答案为：（1）31；（2）10。
【分析】（1）观察图形：第1个图用（2－1）根小棒，第2个图用（2×2－1）根小棒，第3个图用（2×2×2－1）根小棒，第4个图用（2×2×2×2－1）根小棒，那么第5个图需要用（2×2×2×2×2－1）根小棒······；
（2）第n个图需要（2n－1）根小棒。当2n－1＝1023时求出n的值。
10．观察下列图形（每个小正方形的边长为1），找规律，并填空。
图① 图② 图③
（注：尝试将图中的涂色部分转化成长方形进行计算）
22−12=2+1×2−1
32−22=3+2×3−2
42-32= × 。
根据上面的规律，第ⓝ张图涂色部分的面积可以列式为： 。
【答案】4+3；4-3；(n+1)2-n2=(n+1+n)x(n+1-n)
【解析】【解答】 解：根据题中所给算式：
22−12=2+1×2−1
32−22=3+2×3−2表示大正方形面积-小正方形面积=将上方单位正方形移到下方拼成长方形面积。
进行推测 42-32= （4+3）×（4-3）；
进而推测其通项式：(n+1)2-n2=(n+1+n)x(n+1-n)。
故答案为：4+3；4-3；(n+1)2-n2=(n+1+n)x(n+1-n)
【分析】根据题目所给式子进行推测，再从题目中所给图片进行验证。从而验证其正确性以及所代表含义。
11．在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b