2025年中考数学专项复习讲义专题05 二次函数（解析版）

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题型01 二次函数的图象与性质
题型02 二次函数图象与系数的关系
题型03 二次函数与方程、不等式
题型04 二次函数图象的变换
题型05 二次函数的应用
题型06 二次函数的实际应用
题型01
二次函数的图象与性质
1．（2025·四川成都·一模）二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．对称轴为直线B．的最小值为
C．对应的函数值为D．当时，则
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是关键．
根据二次函数与坐标轴的交点，对称轴直线的计算判定A选项；运用待定系数法得到解析式，将一般式化为顶点式可判定B选项；根据自变量值求函数值可判定C选项；根据最值的计算可判定D选项；由此即可求解．
【详解】解：二次函数与轴的两个交点为，
∴对称轴直线为，故A选项正确，不符合题意；
根据题意，二次函数经过，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为，
∴的最小值为，故B选项正确，不符合题意；
当时，，故C选项正确，不符合题意；
当时，，当时，，当时，，
∴当时，则，故D选项错误，符合题意；
故选：D ．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线的解析式为：，则该抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点为即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点左边为．
故选：B
3．（2025·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于点和点，其中a为常数，则该二次函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质；根据题意得到展开整理成顶点式即可求出．
【详解】解：根据题意得，
当时，有最大值；
故选：C．
4．（2025·陕西咸阳·一模）若抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，
∴，
解得：，
故选：D．
5．（2025·陕西咸阳·一模）关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点坐标在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
二次函数的性质：，开口向上，在对称轴左侧图像y随x的增大而减小，在对称轴的右侧图像y随x的增大而增大，，开口向下，在对称轴左侧图像y随x的增大而增大，在对称轴的右侧图像y随x的增大而减小，
根据二次函数的确定顶点坐标，即可判断本题答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
∵抛物线开口向上，
∴时，y随x的增大而增小，
又∵当时，y随x的增大而增小，
∴，
故选：D
6．（2025·江苏徐州·一模）将二次函数化为的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，∵二次函数为，
∴二次函数化为顶点式为．
故选：D．
7．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，存在抛物线和抛物线，则两个抛物线所形成图形的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标及对称问题，解题的关键是求解析式的顶点坐标．把两个抛物线的顶点坐标求出来，求这2点连线的中点坐标．
【详解】解：抛物线，
抛物线顶点为．
抛物线，
抛物线顶点为．
则两个抛物线所形成图形的对称中心为即．
故选：A．
8．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查绝对值二次函数图象与一次函数图象的交点个数判断，掌握函数图象的画法，数形集合是解题的关键．先画出两个函数的图象，然后数形结合就可以得出答案．
【详解】解：，
或时，，当时，，
过、、
，
其开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
将的图象在轴下方的部分对称到上方，得到的图象，
一次函数，当时，，当时，，当时，，故一次函数过和和，如图所示：
从图象可知，交点个数为3个，
故选：C．
9．（2025·四川资阳·一模）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程的实数根的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的解，数形结合是解题的关键．画出的图象与的图象，观察交点情况，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，，那么设和，
对于，那么顶点坐标为，
当时，，，那么该抛物线过，，
当时，，那么该抛物线过，
对于，时，，
时，，
时，
那么该双曲线过，，，如图所示：
从图象可知，和的交点有3个，那么方程的实数根的个数有3个．
故选：D．
10．（2025·江苏淮安·一模）已知二次函数（为常数，且，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大．上述结论中正确结论的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．先求得，可判断①错误；②正确；由抛物线对称轴为，可判断③正确；④错误．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
综上，正确的有②③，共2个，
故选：B．
11．（2025·河南许昌·一模）已知函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧随的增大而增大，在对称轴的左侧随的增大而减小是解题的关键．
根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随的增大而增大，可得到答案．
【详解】解：由题意可知：函数，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，
又 ∵对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
故答案为：增大．
12．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线．
（1）当时，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】（1）配方成顶点式求解即可；
（2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）当时，
∴抛物线的顶点坐标为
故答案为：；
（2）∵抛物线
∴对称轴为直线
当时，抛物线开口向上
∴时，y随x的增大而增大
∵点，为抛物线上两点，若，总有，
∴
∴；
当时，抛物线开口向下
∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；
∵点，为抛物线上两点，若，总有，
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
13．（2025·河南南阳·一模）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍．
(1)b的值为 ．
(2)已知点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，，求m的值；
②若，且，求t的最小值．
【答案】(1)8
(2)①或；②当时，t有最小值，最小值为
【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像和性质是解题的关键．
（1）先求出抛物线的顶点横坐标，再根据题意求出抛物线的顶点横坐标，即可得到答案；
（2）①根据题意求出，根据题意得到，即可得到答案；
②由题意得，，得到，解得，当时，t有最小值，最小值为．
【详解】（1）解：的顶点横坐标为，
抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍，
抛物线的顶点横坐标为，
，
；
故答案为：．
（2）解：①点在抛物线上，，
．
点在抛物线上，，
，
整理，得，
解得或．
②由题意得，．
．
．
，
．
，
，解得．
易得对称轴为直线．
，且．
当时，t有最小值，最小值为．
14．（2025·河北邢台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，过作平行轴的直线交轴于点，已知点．
(1)求点的横坐标；
(2)若抛物线经过点，当时，抛物线的最大值为，求的值；
(3)若点、位于抛物线对称轴右侧图象的两侧．确定的取值范围．
【答案】(1)2
(2)6或
(3)或
【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征，有一定的综合性，运用数形结合、分类讨论的思想是解决第(2) (3)小题的关键．
（1）将化成顶点式即可求解；
（2）将点代入求出，进而可得其对称轴为，
当时，即时，，当时，即，，分别求解即可；
（3）分两种情况：①当时，抛物线经过点时，可得；②当时，抛物线过点时结合性质可得，又，即可求解．
【详解】（1）解：
的坐标为，
点的横坐标为2；
（2）解：当时，，
解之得，，
所以其对称轴为，
由题意知最大值为，
当时，即时，
，
解得（舍去），
当时，即，，
解得不合题意舍去．
综合以上可得的值为6或．
（3）解：①当时，抛物线经过点时，
，解得．
又点、分别位于抛物线对称轴右半部分的两侧，
；
②当时，抛物线过点时可得，又，即，
综上所述：的取值范围为或．
15．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，（为常数，且）图象经过点．
(1)求二次函数图象的对称轴；
(2)若，当时，的最大值为，求的值；
(3)已知，是该二次函数图象上的两点．若对于，，总有，求的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数图形的性质，掌握二次函数图形的开口，最值的计算，对称轴直线的计算等知识，数形结合分析，分类讨论是解题的关键．
（1）把点代入，运用对称轴直线的计算公式求解即可；
（2）二次函数图象的对称轴是，则，，根据二次函数图象的性质得到当时，的值最大，代入计算即可求解；
（3）分类讨论：当时，，当时，或，数形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：二次函数，则对称轴直线为，
由题意知，二次函数的图象过，
，则，
，
二次函数图象的对称轴是；
（2）解：二次函数图象的对称轴是，
，
，
当时，二次函数的图象草图如图1，
由图象可以看出：在范围内，点的位置最高，
∴当时，的值最大，
此时，．
解得；
（3）解：当时，函数图象草图如图2，
点在，之间的抛物线上，此时当点在点的位置时的值最小，
点关于直线的对称点为点，由于，
点在直线下方的抛物线上，
，
又，
，
解得，
又，
，
当时，函数图象的草图如图3，
点在之间的抛物线上，此时点在点处的值最小，
点关于直线的对称点为点，由于，
点在直线下方的抛物线上，
或，
又，
或，
解得或（不合题意舍去），
综上所述，的取值范围是或．
题型02
二次函数图象与系数的关系
1．（2025·广西河池·一模）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，即可判断a，c的符号，然后求出即可求解．
【详解】解：建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，
∵根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，则．
故选：A．
2．（2025·四川达州·一模）如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，时，y随x的增大而增大，可得，可判断⑤．即可得到答案．
【详解】解：①∵对称轴为直线，
∴，
∴，
故①正确；
②根据函数图象可得抛物线开口向上，
∵由图可知抛物线的顶点坐标为，
∴时，函数有最小值，
∴，
故②错误；
③若且，则，
∴，
故③正确；
④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或，
故④错误；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故⑤正确．
综上所述，正确选项有3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握原式知识点是关键．
3．（2025·陕西渭南·一模）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下：
四位同学根据表格得到结论如下：
甲：该函数图象的对称轴为直线；
乙：当时，随的增大而减小；
丙：；
丁：图象开口向下．
针对四人的说法，其中不正确的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可．
【详解】解：将、代入得：
，
解得：，
二次函数的解析式为，
该函数图象的对称轴为直线，故甲正确；
又，函数图象的对称轴为直线，
二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确；
当时，，即，故丙正确；
故选：B．
4．（2025·山东青岛·一模）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据开口方向和二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴有两个不同的交点，得到，则点在第二象限，点在x轴坐标轴，据此可得答案．
【详解】解：∵函数开口向下，二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴在x轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当时，，
∴点在第二象限，
∵二次函数与x轴有两个不相同的交点，
∴，
∴点在x轴正半轴上，
∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
5．（2025·广东中山·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点．
A．①②B．①③④C．②③④D．①③
【答案】D
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故②错误；根据对称轴求出，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为，
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴，故②错误；
∵中，，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∵图像与轴交于点，
∴将图象向上平移2个单位后图像与轴交于点，且对称轴为直线，
∴将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点，故④错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，与x轴交点问题及二次函数图像的平移，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
6．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法：
①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数的对称轴和开口方向，可判断①④，根据二次函数与轴的交点可判断②③；根据二次函数的最值可判断⑤．
【详解】解：二次函数开口向上，对称轴是直线，
，，
，
，①正确；
二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点为，
二次函数与轴的一个交点为，
，
，②正确；
二次函数与轴的交点为和，
关于x的一元二次方程的两个根为，3，③正确；
二次函数开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
二次函数的对称轴是直线，，
，④错误；
二次函数的对称轴是直线，
当是，二次函数有最小值为，
对任意实数m，都有，即
对任意实数m，不等式恒成立，⑤正确，
故选：C．
7．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意．
故选：D．
8．（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图像，熟练掌握一次函数与二次函数的图像特点是解题关键．分两种情况：①当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上；②当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，由此即可得．
【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上，
当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
9．（2025·安徽合肥·一模）二次函数与一次函数的图象交点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，根据题意分两种情况讨论：和，然后分别判断出一次函数和二次函数的图象所在的象限，进而求解即可．
【详解】当时，二次函数图象在第一象限和第二象限，一次函数的图象在第一，三，四象限，
∴二次函数与一次函数的图象交点不可能在第二，四象限；
当时，二次函数图象在第三象限和第四象限，一次函数的图象在第二，三，四象限，
∴二次函数与一次函数的图象交点不可能在第一，二象限；
综上所述，二次函数与一次函数的图象交点不可能在第二象限．
故选：B．
10．（2025·安徽宣城·一模）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数和一次函数图象的综合判断，解题的关键是根据图象获得各部分系数的符号．
根据已知一次函数图象得到a，b的符号，据此判断二次函数图象即可．
【详解】解：根据的图象可知：，，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴二次函数图象过原点，
综上可知，符合要求的图象为D，
故选：D
11．（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定k的取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征．
先由一次函数图象得出的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开口方向等特征，从而确定符合条件的选项．
【详解】解：对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距，
当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数的图象在一，三象限，
，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交．
综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确，
故选：A．
12．（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．
根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解．
【详解】解：二次函数，对称轴直线为，
当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限；
当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限；
只有B选项符合题意，
故选：B ．
13．（2025·山东潍坊·一模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．多项式可因式分解为
D．
【答案】AC
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可．
本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，且开口向下，
∴对称轴为直线，，
∴
∵，
∴，即，
∴，
故A选项正确，B选项错误；
∵抛物线开口向下，与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为，且对称轴为直线，
∴，
解得，
∴另一个交点为，
∴多项式可因式分解为，
故C选项正确；
根据题意，得，
，
∴，
故D选项错误．
故选：AC．
14．（2025·山东烟台·一模）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有 ．（填序号）
①；②抛物线的顶点坐标为；
③；④当时，．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的图像与性质等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
首先将代入一元二次方程，可求得，即可判断①；确定，即可确定该抛物线的对称轴，再求得，，可确定顶点坐标为，即可判断②；结合，，，可知，即可判断③；由题意易知该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，且当时和当时，函数值相等，易得，进而可得当时，，即可判断④．
【详解】解：由题意，一元二次方程有两实根，
∴得，由②①，可得．
∴，故①正确；
由可得，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线的顶点为，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴顶点坐标为，故②不正确；
∵，
∴，
又∵，，
∴，故③正确；
∵，且抛物线的对称轴是直线，
∴该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
又∵，
∴当时和当时，函数值相等，
∴当时，可有，
即当时，，故④正确．
综上，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
15．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点，
，
结论不正确．
抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点，
，
结论正确．
抛物线与轴的一个交点A在点和之间，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
当时，，
结论正确．
的最大值是，
方程没有实数根，则，
结论正确．
抛物线的对称轴，
，
，
，
，
结论正确．
综上，可得正确结论的序号是：．
故答案为：．
题型03
二次函数与方程、不等式
1．（2025·江苏宿迁·一模）抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数图象和性质．掌握根与系数的关系是解题的关键．依据题意，抛物线与直线交于两点，分别为和，且，再根据解得即可．
【详解】解：抛物线与直线交于两点，分别为和，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，
设，
，，
，
．
是方程的两根
，
，
．
故选：C．
2．（2025·宁夏吴忠·一模）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题，根据二次函数与x轴有交点得到，列不等式求解即可，注意二次项系数不为零这一隐含条件．
【详解】解：∵二次函数的图象和轴有交点，
∴方程有实数解，
∴且，
解得且，
故选：C．
3．（2025·湖北恩施·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则． 其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数图象的对称轴为直线得出，即可判断①；由图象可得当时，，即可判断②；由图象得出，，从而可得，即可判断③；求出图象与轴的另一个交点为，即可判断④；由，是抛物线上两点，且，，得出，即可判断⑤；采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由图象可得：当时，，
∴，故②错误；
∵函数图象开口向下，与轴交于正半轴，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
∵图象过点，对称轴为，
∴图象与轴的另一个交点为，
由图象可得，当时，或，故④错误，
∵，是抛物线上两点，且，，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤；共个，
故选：B．
4．（2025·广东湛江·一模）抛物线过点，与轴交于，两点（点在的左侧），若为轴上的一点，在在平面内且满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查二次函数的性质、度的圆周角所对的弦是直径、勾股定理，解题的关键是熟悉圆周角定理．根据抛物线解析式，求得点，根据题意可知点在以为直径的圆周上，设线段的中点为，则，半径，作点关于轴的对称点，过点作轴，则点，，，有，当点、、、三点共线时取的最小值，利用勾股定理求得，则．
【详解】解：抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），
∴，
解得，
则点，
∵点满足，
∴点在以为直径的圆周上，
设线段的中点为M，
∴，半径，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴，
则点，，，
∴，
当点、、、共线时取的最小值，
∵，
∴，
则，
故答案为：．
5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ．
【答案】直线
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴二次函数与轴的两个交点的横坐标为分别为 1 和5．
∴抛物线的对称轴为直线．
故答案为：直线．
6．（2025·宁夏银川·一模）若抛物线的图象与轴有交点，则的值可能是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查方程与二次函数的关系，根的判别式，数形结合思想是解这类题的关键．
根据抛物线与x轴有交点，的方程就有两个的实数根，根的判别式．据此列不等式即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴有交点，
∴方程有两个的实数根，
∴，
解得：．
∴的值可能是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
7．（2025·辽宁·一模）已知函数，其中为常数．若该函数的图像显示随着的增大而增大，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数解不等式，将原函数分左右两端，根据二次函数的性质解答即可，熟练利用二次函数解不等式是解题的关键．
【详解】解：左段函数为，
该函数开口向下，对称轴为直线，
要使该函数的图像显示随着的增大而增大，
则，
右段函数为，
该函数开口向上，对称轴为直线，
要使该函数的图像显示随着的增大而增大，
则，解得，
当时，左段函数值要小于等于右段函数，
即，
整理可得，
令，
解得，，
根据二次函数的图象可得的解集为或（舍去），
综上，，
故答案为：．
8．（2025·吉林长春·一模）已知直线经过抛物线的顶点．若当时总有，则当时，的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，由直线经过拋物线的顶点得到，，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
将代入并整理得：，
∴，
∵当 时，，
∴，
当时，则或，
∴函数图象大致如下：
结合函数图象知，当时，x的取值范围是：，
故答案为：．
9．（2025·山东聊城·一模）已知关于x的二次函数，
(1)若二次函数图象与x轴有两个不同的交点，并且这两个交点的横坐标之和为4，
①求二次函数的表达式；
②当时，求函数值y的取值范围；
(2)若对称轴为直线，当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，求n的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，分类讨论是解答本题的关键．
（1）①根据两个交点的横坐标之和为4求出即可；
②根据二次函数的增减性求解即可；
（2）由对称轴为直线求出，从而可求出当时函数取得最小值，然后分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：①设两个交点的坐标为，
两个交点的横坐标之和为4，
，
，
，
二次函数的解析式为．
②∵，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x增大而增大，
当时，当时；
取值范围为：．
（2）解：对称轴为直线，
，
；
二次函数关系式为；
当时取最小值．
①若，
则当时，，
当时，．
；
即，
（舍）；
②若，则最小值为时取得．
若时取最大值，则，
即，
（舍），，
的取值范围为，
若时取最大值，，
有，符合题意，
综上所述n的取值范围为．
10．（2025·河南洛阳·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为，不等式的解集为或
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）将点分别代入抛物线和直线的解析式计算即可得；
（2）先联立两个函数的解析式即可得点的坐标，再根据不等式表示的是抛物线位于直线的上方，结合函数图象即可得；
（3）先求出，抛物线的顶点坐标为，再画出函数图象，由此即可得．
【详解】（1）解：将点代入抛物线得：，
解得，
将点代入直线得：，
解得．
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，一次函数的解析式为，
联立，解得或，
所以点的坐标为，
不等式表示的是抛物线位于直线的上方，
则结合函数图象可知，不等式的解集或．
（3）解：由题意得：，
∵，，
∴，点之间的水平距离为3，
抛物线化成顶点式为的顶点坐标为，
画出图象如下：

当点与抛物线的顶点重合时，，解得，此时线段与抛物线恰好只有一个公共点，
则由函数图象可知，当时，线段与抛物线没有公共点，
当时，线段与抛物线只有一个公共点，
当时，线段与抛物线有两个公共点，
当时，线段与抛物线恰好只有一个公共点，
当时，线段与抛物线没有公共点，
综上，若线段与抛物线有两个公共点，点的横坐标的取值范围为．
题型04
二次函数图象的变换
1．（2025·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（a为常数，且）向左平移6个单位长度得到抛物线，当时，抛物线的最低点到x轴的距离为13，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移等知识，确定平移后的抛物线的对称轴是解题关键．首先确定抛物线的开口向下，对称轴为，则平移后的抛物线的对称轴为，易得当时，抛物线上的点为最低点，此时，进而可得，求解即可获得答案．
【详解】解：∵抛物线（a为常数，且），
∴其开口向下，对称轴为，
根据题意，将抛物线向左平移6个单位长度得到抛物线，
则，
∴抛物线的对称轴为，
∵，，且，
∴若，当时，抛物线上的点为最低点，
此时，
∴可有，解得或（舍去），
∴a的值为．
故选：B．
2．（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小．
下列说法正确的是（ ）
A．只有①正确B．只有②正确C．只有③不正确D．①②③都正确
【答案】C
【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案．
【详解】解：，
，
，
无论取何值，总是负数，故①正确；
抛物线与交于点，
当时，，即，解得：，
，
可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确；
，
随着的增大，的值减小；故③错误．
故选：C．
3．（2025·西藏拉萨·一模）把二次函数的图像先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图像的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．根据二次函数图像的平移规律即可得．
【详解】解：把二次函数的图像先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为，
故答案为：．
4．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程．
先根据旋转180°后图象开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标纵坐标为，设旋转后的图象解析式为，由当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，即关于x的方程有两个相等的根，进而求解.
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
∴当旋转后的图象顶点纵坐标为，
设将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象顶点坐标为
即旋转后的图象解析式为，
∵横、纵坐标相等的点在函数的图象上，
∴当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，
∴关于x的方程有两个相等的根，
∴有两个相等的根，
∴，
解得，，
即旋转后的图象顶点坐标为，
∴点的坐标为，即
故答案为：．
5．（2025·浙江温州·一模）已知抛物线（a，b为常数）经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
(3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式计算解题即可；
（3）求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性结合图象解题即可．
【详解】（1）解：把，代入，
得解得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴解得
（3）令，则，解得．
令，则，解得．
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴由图象可得，的取值范围是或．
6．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数
(1)若二次函数过点
①求此二次函数表达式．
②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离．
(2)如果，，都在这个二次函数上，且，求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)或
【分析】（1）①直接把点代入，求出的值，再代回即可；
②先求出向下平移2个单位长度后的函数表达式，再令得到，然后解方程得，最后利用两个交点之间的距离公式求出即可；
（2）先根据点、的纵坐标相同可知这两点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求出对称轴，再利用对称性确定点关于对称轴的对称点为，最后对点分类讨论，根据函数的单调性列出不等式，解出的取值范围．
【详解】（1）解：①把点代入二次函数得：，解得，
二次函数表达式为；
②将二次函数向下平移2个单位，函数表达式为：，
令，得：，解得，
两交点间距离为：，
∴平移后二次函数与轴的两个交点之间的距离为；
（2）解：，在二次函数上，
对称轴为直线，点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧，
当时，，
点在二次函数上，
点关于对称轴直线的对称点为，
，
点在对称轴的左侧，
当在对称轴右侧时，
则，，都在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，
，
，解得；
当在对称轴左侧时，则，，都在对称轴左侧，y随着x的增大而增大，
，
，解得，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数的表达式求解，平移变换，与轴交点距离计算，以及利用函数性质分析变量范围．解题的关键是懂得利用二次函数的对称性，结合点的坐标进行分类讨论．
7．（2025·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧），与y轴交于点，连接、，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，交抛物线于点，连接交于点，当面积最大时，线段在直线上移动，求的周长最小值及此时点的坐标；
(3)抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，点是新抛物线对称轴左侧的一个动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交与点，连接，将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，请直接写出点的坐标，并写出一个点的求解过程．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）先令求出，再利用，求出，利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴交于点，交于点，设与轴交于点，求出直线的解析式为，利用，求出直线的解析式为，利用平行线判定，是定值，是定值，，可知当最大时，最大，设，则，可知，利用二次函数的性质可知面积最大值时；过点作交于点，求出直线的解析式为，则可求出直线的解析式为，联立与，求出，由线段在直线上移动，点不动，利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动，判定，则，在上取点，使得，则，则的周长为，当且仅当，，依次共线时取最小值，利用中点求出，即可求解；
（3）先由抛物线绕着原点旋转求出新抛物线解析式为，利用轴，轴，将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，得出四边形是正方形，当点在上方时，直线的解析式为，与联立求出，即可求解；当点在下方时，同理可得．
【详解】（1）解：令，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
得，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴交于点，交于点，设与轴交于点，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
令，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
将代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
则，
∵与分别以、为底，且等高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，其中，，是定值，
则是定值，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴是定值，
∴当最大时，最大，
设，则，
∴，
∵，
当时，最大，
此时最大，
将代入，得，
即此时；
如图，过点作交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：，
∴，
由线段在直线上移动，点不动，
利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取点，使得，
∴，
∴的周长为，
利用两点之间线段最短，得，当且仅当，，依次共线时取最小值，如图，
由，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长最小值为；
（3）解：由抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，即两抛物线关于原点对称，
设是新抛物上任意一点，则是原抛物上任意一点，
则，
化简新抛物线解析式为，
∵轴，轴，轴与轴垂直，
∴轴，，
∵将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，
∴， ，
∴四边形是矩形，，
∴，四边形是正方形，
∴，
①当点在上方时，
设与轴交于点，如图，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴；
②当点在下方时，
同理可得直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数，三角函数，正方形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关于原点对称的点的坐标，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
8．（2025·广西南宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)当时，求的最小值；
(3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值．
【答案】(1)
(2)当时，函数最小值为；当时，函数最小值为
(3)
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、待定系数法求函数表达式，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）根据题意分和两种情况分别求解即可；
（3）由函数的对称性知，，则，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，当时，函数取得最小值，即；
当时，抛物线在顶点处取得最小值，即，
综上，当时，函数最小值为；当时，函数最小值为；
（3）解：由函数的对称性知，，则，
即，
解得：．
9．（2025·吉林·一模）如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点．
(1)①求抛物线的解析式；
②求二次函数的最小值．
(2)①直接写出图象的解析式；
②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围．
(3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值．
【答案】(1)①；②
(2)①；②或
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意数形结合是解题的关键．
（1）①根据待定系数法直接求解即可；②根据二次函数的图象性质即可求解；
（2）①先根据反转的性质求出点坐标，再根据待定系数法求解析式即可；②根据的图象性质求解即可；
（3）结合图像，分两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过和两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式，
②，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴二次函数的最小值为．
（2）解： ①当时，，由对称性可得，
当时，，
解得，，
，，
设图象的解析式为，
将代入，得，
，
，
图象位于线段上方部分对应的函数关系式为，
∴图象的解析式为；
②对于，对称轴为，时，随增大而增大；
对于，对称轴为，时，随增大而增大，
∴随增大而增大时的取值范围是或．
（3）解：如图，直线与图象有个交点时，有两种情况，
一种情况是直线过点，把代入，得，解得；
另一种情况是直线与相切，
联立方程，消去得，即，
令判别式，解得；
综上所述，或．
10．（2025·广东深圳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
【答案】(1)
(2)①，81；②，方案二的矩形面积更小
【分析】（1）将点和代入抛物线，利用待定系数法求解即可；
（2）①将抛物线化为顶点式，可得到顶点坐标；连接抛物线和直线，得到，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，根据轴对称的性质，得到，从而的得到，即可求出矩形的面积；
②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，求出，再根据平行设直线的解析式为，根据边与心形图的左、右边缘各相切于一点，利用，求出，进而得出，求出，从而得到，同理可求，，即可求出矩形的面积，再比较大小即可．
【详解】（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，一次函数的图象和性质以及一次函数的平移，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握二次函数的性质是解题关键．
题型05
二次函数的应用
1．（2025·安徽合肥·一模）如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长至，使，连接，连接交于， 当、、三点共线时，最小，即最小，当运动到时，最小，由图得当时，，此时与重合，与重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解．
【详解】解：延长至，使，连接，连接交于，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
当运动到时，最小，
由图得：当时，，
此时与重合，与重合，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
当时，
，
函数图象最低点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，线段和最小值的典型问题，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键．
2．（2025·四川南充·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与点A重合），过点D作交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，交于点H，连接，则下列结论：①；②当点恰好落在的延长线上时，；③当点在边上运动时，为定值；④当点在边上运动时，长度的最大值为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】证出，根据相似三角形的性质即可判断①正确；先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可判断②正确；过点作于点，设，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，然后根据正切的定义即可判断③正确；先求出，，再证出，根据相似三角形的性质可得，利用二次函数的性质即可判断④正确．
【详解】解：∵四边形和都是矩形，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，则结论①正确；
如图，点恰好落在的延长线上，
∵四边形和都是矩形，
∴，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴当点恰好落在的延长线上时，，则结论②正确；
如图，过点作于点，
∵四边形和都是矩形，，
∴，，
设，
由上已证：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即当点在边上运动时，为定值，则结论③正确；
设，则，
由上可知，，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为，
即当点在边上运动时，长度的最大值为，则结论④正确；
综上，正确结论的个数是4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质、二次函数的应用、正切等知识点，综合性强，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
3．（2025·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论：
①若点坐标为，则点的等和点在直线上；
②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为；
③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点：
④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】本题考查了新定义下的阅读理解能力。函数与方程的综合运用。对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则结合函数与方程的有关知识解题．
根据新定义的运算规则，结合函数与方程的有关知识，逐项判断即可．
【详解】解：①设点，
，
故①正确；
②设，
，
，
，
，
故②正确；
③设，
，
，
点的等和点在直线上，
当时，直线解析式为，
而直线与直线平行，
点的等和点一定不在直线上，
故③错误；
④设，
，
，
代入得，
即，
对于任意实数，二次函数的图象上总存在点的等和点；
故④正确；
故选：B ．
4．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键.
根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象．
【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1，
由平移得：，
，
，
图像为开口向上的抛物线，A选项不符合题意；
②当时，与重叠部分为四边形，如图2，
由平移得：，，，
，
，
，
在中，，
；
图像为开口向下的抛物线；C选项不符合题意；
③当时，与重叠部分为，如图3，
则，且，
是等边三角形，作于，
，
，
，
图像为开口向上的抛物线，B选项符合题意；
故答案为：B．
5．（2025·江西·一模）如图，已知抛物线，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点，且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图像中，能表示s与m的函数关系的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的平移和几何面积问题，根据题意得到阴影面积为两个平行四边形的面积之和，进而求解即可．
【详解】如图所示，
图中所求阴影的面积相对于抛物线向上平移m个单位时，
抛物线在范围内扫过的面积，即两个平行四边形的面积之和，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴阴影的面积，
∵，
∴能表示S与m的函数关系的图象大致是B．
故选：B．
6．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】A
【分析】首先求出抛物线表达式，连接， 得到点的坐标， 利用得出的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得根据三角形的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】解：∵抛物线，可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令，则 ，
∴点的坐标为；
连接，
设点的横坐标为，
，

，
如图， 过点作于，
，，，
满足，
，
又，，
，
，
，
，
．
∴当时，存在最大值．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合．
题型06
二次函数的实际应用
1．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域）
【答案】
【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
2．（2025·江西景德镇·一模）在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材．
素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5，且最高点到立柱的水平距离为1．
素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为3.5的支架．
小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题：
(1)求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）．
(2)求与之间的距离．
(3)若是第二象限的抛物线上一点，是点关于立柱的对称点，且在点的下方，的上方，过点分别作于点，于点．为迎接春节，在上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带长的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，得出二次函数的解析式以及利用数形结合思想进行分析解决是关键．
（1）由题意设抛物线的顶点式为，代入A点坐标即可得出答案；
（2）由题意得支架高度为3.5，代入得，解出方程即可进一步得出与之间的距离；
（3）先设，与x轴交于点H，表示出，即可得出，注意配方法的使用，进一步分析即可得出的最大值．
【详解】（1）解：，
∴A点坐标为，
∵最高点距离地面4.5，且最高点到立柱的水平距离为1，
∴最高点坐标为，
设抛物线的顶点式为，
将代入，得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）∵支架高度为3.5，即，
当时，有，
解得，，
∴与之间的距离为：；
（3）设，与x轴交于点H，
，
，
，，
，
，
当时，，
∵是点关于立柱的对称点，
∴，
∴，
∴彩带长最大值为．
3．（2025·广东清远·一模）综合与实践：矩形种植园最大面积探究．
在某实践基地中，有一面长度为12米的墙，研究小组计划利用这面墙（不可拆）以及长度为40米的篱笆，在墙前方的空地上围成一个矩形种植园，墙可部分使用，或作为矩形某一条边的一部分．如何设计方案，才能够使围成的矩形种植园面积达到最大．请你完成以下任务：设计出合理的方案，画出相应的草图，并求出矩形种植园面积的最大值．
【答案】最大值为169平方米
【分析】已知，篱笆共40米，米，可求得的长，根据矩形面积公式可得S，由自变量x的取值范围确定S的最大值，判断思考一与思考二两种方案中的S的最大值可得．
本题考查了二次函数的应用，关键是根据自变量范围确定最大值．
【详解】解：假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．
方案一：将墙的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）
∵，篱笆共40米，米，
∴米，
∴化为顶点式可得：，
∵，
∴当时，S取最大值为168平方米，
方案二：将墙的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）
米，
∴米，，
∴，
∴当时，S取最大值为169平方米，
∵，
∴最大值为169平方米．
4．（2025·江西抚州·一模）【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案．
如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下：
第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花；
第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花．
【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式；
(2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离；
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)与之间的距离为1．
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
（1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解；
（2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可．
【详解】（1）解：解法一：
平面直角坐标系如图所示，
设抛物线的解析式为（），
由题意知，，对称轴为直线，
即，，
则，解得，
∴抛物线的解析式为；
解法二：
平面直角坐标系如图所示，
由题意知，，，对称轴为直线，
设抛物线的解析式为（），
则，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，之间的距离等于，
设C的横坐标为m，E的横坐标为，
∴，，
设直线解析式为，代入得：，解得：，
∴直线解析式为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，解得或．
∵在的左侧，
∴与之间的距离为1．
5．（2025·广西河池·一模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：支撑柱的最小高度为米．任务3：横幅能按计划悬挂．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立坐标系、求得函数解析式成为解题的关键．
任务1：先根据题意建立直角坐标系，然后运用待定系数法求解即可；
任务2：先求出支撑柱到的距离至少为8米，再令，求得y的值即可解答；
任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米，令，求得x的值，进而求得当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米，据此即可即可．
【详解】解：任务1：根据题意建立直角坐标系如下：顶点坐标为：，点，
设该抛物线的解析式为：，
则，解得：，
所以该抛物线形彩虹桥的解析式为．
任务2：∵要确保道路的正常通行，
∴两个支撑柱之间的距离最少为，
∴支撑柱到的距离至少为8米，
令，则．
所以支撑柱的最小高度为米．
任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米，
令，则，解得：，
∴当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米，
∵，
∴横幅能按计划悬挂．
6．（2025·山西临汾·一模）学科实践
驱动任务：
“天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究．
研究步骤：
（1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面．
（2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道．
问题解决：
（1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式．
（2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到）
【答案】（1）所求抛物线的表达式为；（2）通过隧道的车辆应限制高度为．
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据题意，建立平面直角坐标系．设所求抛物线的表达式为．根据题意可得．得出点的坐标为，点的坐标为．再根据待定系数法即可求出抛物线的表达式．
（2）分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G．由题可知，，求出点G，H的坐标分别为．再根据该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求解即可．
【详解】（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系．
设所求抛物线的表达式为．
根据题意可得．
点的坐标为，点的坐标为．
将点的坐标分别代入．得，
解得，
所求抛物线的表达式为．
（2）解：如图，分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G．
由题可知，，
点G，H的横坐标分别为．
当时，．
点G，H的坐标分别为．
该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，
．
答：通过隧道的车辆应限制高度为．
7．（2025·湖南常德·一模）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克．
(1)当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？
(2)当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值．
【答案】(1)16000元
(2)22500元
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键．
（1）根据利润的表示方法代数求解即可；
（2）根据题意表示出一次性销售量时的利润，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，当时，，
当一次性销售量为800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量时，
销售价格为，
，
，，
当时，有最大值，最大值为，
一次性销售量时的最大利润为22500元．
8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）春节期间，电彩《哪吒之魔童闹海》在各大影院精彩上映．某影院每日的运营成本为2000元，该影院每日售出的电影票数量y（张）与售价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系；
(2)该影院将每张电影票售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)该影院将每张电影票售价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）设y与x之间的函数关系为，由图知，过点，，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据“每天获得的利润每天的营业额每日的运营成本”建立利润与售价x的函数关系式，再结合二次函数的最值情况求解，即可解题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系为，
由图知，过点，，
，
解得，
y与x之间的函数关系为；
（2）解：影院每日的运营成本为2000元，
每天获得的利润
，
，
该影院将每张电影票售价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
9．（2025·四川成都·一模）春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件．
(1)求出与的函数关系式；
(2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)当定价为50元时，商家每天获得的最大利润为1800元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）分情况列出一次函数关系式即可；
（2）根据题意，求出每种情况的最大利润，再比较即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，每天的销量为，
当时，日销量为，
∴；
（2）解：设商家获得的利润为w元，
当时，则，
对称轴为，
，且x为整数，此时w随x的增大而增大，
故当时，则最大利润，
当时，则，
对称轴为，
，且x为整数，此时w随x的增大而增大，
当时，则最大利润，
综上所述：当定价为50元时，商家每天获得的利润最大，最大利润为1800元．
10．（2025·河南南阳·一模）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米．
①求函数解析式（不写x的范围）；
②石块能否飞越防御墙？请说明理由．
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围．
【答案】(1)①；②石块能飞跃防御墙，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键；
（1）①由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式；
②确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能；
（2）分别把B、C两点坐标代入函数式中，求得a的值，即可确定a的范围；
【详解】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，且，
∴函数的最大值为10，即；
∵抛物线经过原点，
∴，
解得：，
∴；
②石块能飞跃防御墙；
理由如下：由题意知，点B的坐标为；
由于防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，则；
对于，当时，，
∴石块能飞跃防御墙；
（2）解：由于抛物线过原点，则，
即；
∴，
当抛物线过点时，，解得，
当抛物线过点时，，解得，
∴，
故要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），a的取值范围为．
11．（2025·陕西汉中·一模）2025年3月21日，谷神星一号运载火箭在酒泉卫星发射中心的成功发射标志着我国在商业航天事业方面的持续进步和突破．王飞同学酷爱航天与科技，他某次在对一架无人机进行试飞时，发现无人机飞行的路线近似呈抛物线形，如图，点A为始发点，点B为落地点，点P为抛物线的最高点．根据数据显示，始发点A到地面的竖直高度为2米，最高点P到始发点A的水平距离为4米，以所在水平直线为x轴，所在竖直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a、c为常数，且）．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求抛物线的最高点P到地面的高度；
(3)求无人机落地点B到始发点A的水平距离．
【答案】(1)
(2)抛物线的最高点P到地面的高度为10米
(3)无人机落地点B到始发点A的水平距离为米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解题关键．
（1）首先确定点坐标，进而确定，再根据抛物线的对称轴计算的值，即可获得答案；
（2）令，求得的值，即可获得答案；
（3）令，求得的值，根据题意即可获得答案．
【详解】（1）解：∵米，
∴，
将点代入，可得，
∵最高点P到始发点A的水平距离为4米，
∴抛物线的对称轴为，即，
∴，
∴抛物线的函数关系式为；
（2）当时，，
∴抛物线的最高点P到地面的高度为10米；
（3）令，得，
解得（不合题意，舍去），，
∴无人机落地点B到始发点A的水平距离为米．
12．（2025·山西·一模）项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度．
（3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解．
（1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式；
（2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度．
（3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度．
【详解】解：（1），点与点到点的距离相等，
，
点的坐标为．
，
点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．
解得．
点所在抛物线的函数表达式为．
（2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，
喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
点的坐标为．
此时无人机摄像头距离地面的高度为．
．
答∶ 无人机应该下降的高度为．
（3） ∵，点坐标为，
∴点坐标为 ．
∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同，
设所在抛物线表达式为
∵无人机高度为，
∵抛物线是从点（相对高度），
∴代入到中，得
．
解得， ．
，
关于y轴对称，
，
长
13．（2025·河北保定·一模）如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼米的位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿处达到最高点后进入失火房间．已知消防人员所在的消防车上点距离地面米，窗上沿距离地面米．
(1)如图，以消防员脚下地面为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式；
(2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿水平距离米处，且比窗上沿低米的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据：，结果精确到米）
【答案】(1)
(2)消防员把喷水头向下平移米，或向左平移米，可以使水流刚好落在失火中心
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据待定系数法求抛物线解析式；
（2）把和代入函数解析式，分别求解对应的值和值，即可求解：
【详解】（1）解：由题意知，，
设水流抛物线的解析式为，
代入，得，解得，
∴水流抛物线的解析式是
（2）解：由题意知，失火中心点坐标是．
方案一：水流抛物线的解析式是，
当时，，
即抛物线向下平移（米）．
抛物线正好经过失火中心；
方案二：水流抛物线的解析式是，
当时，，
解得，（舍去），
，
即抛物线向左平移（米），
抛物线正好经过失火中心．
所以消防员把喷水头向下平移米，或向左平移米，可以使水流刚好落在失火中心．
14．（2025·江西景德镇·一模）滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线．
(1)求“U”型碗池最低点到地面的距离；
(2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式；
②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围．
【答案】(1)“U”型碗池最低点到地面的距离为米
(2)①；②
【分析】（1）根据题意可得，可得两点关于抛物线对称轴对称，利用抛物线的对称性质即可求出，将代入，求出k的值，即可解答；
（2）①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，根据题意设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，过点作于点H，证明，推出，求出米米，得到，结合，利用待定系数法求解即可；
②由①知，结合，根据题意：，解不等式组即可解答．
【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称，米，米，
∴米，
∴米，
∵米，
∴，
∴两点关于抛物线对称轴对称，
∴，
将代入，则，
解得：，
则“U”型碗池最低点到地面的距离为米；
（2）解：①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，
∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，
设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，
过点作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵点为斜坡的中点，
∴，即，
∴米，米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴此抛物线的解析式为；
②由①知，
∵，
根据题意：，
解得：；
∴若此次挑战成功，b的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
15．（2025·河南许昌·一模）U型池是一种专为滑板运动设计的U型滑道，连续的U型池滑道挑战不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换，脱离滑道起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
(1)某次挑战时，滑手小文从滑道①转换到滑道②，测得他的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出小文竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
(2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则滑手成功完成转换．已知滑道②与滑道①同等高度，距离7.8m，那么在（1）的情况下，请通过计算说明小文能否转换成功？
【答案】(1)5.4m，
(2)小文能成功转换
【分析】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意直接写出小文竖直高度的最大值，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）当时，，解方程比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：小文竖直高度的最大值为：5.4m，
由表格知抛物线的顶点坐标
则：，
又因为抛物线过点
则
解得：
所以函数关系为：
（2）当时，
解得，（舍去）
因为
所以小文能成功转换．…
…
…
…
材料
如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为．
任务1
以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式．
任务2
按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最小高度．
任务3
若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽、高的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明．
水平距离x/m
0
2
4
6
7
竖直高度y/m
3.0
4.8
5.4
4.8
4.1