苏教版 (2019)必修 第二册向量的数乘精练

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册向量的数乘精练，共28页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
1 (a＋2b)＋2(a－b)等于( )
A. 2a B. 3a
C. －b D. 0
2 (2024郑州期中)已知点C在线段AB上，且 eq \f(AC,CB)＝ eq \f(5,2)，则下列结论中正确的是( )
A. eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(5,7) eq \(AB,\s\up6(→)) B. eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \(CB,\s\up6(→))
C. eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,7) eq \(AB,\s\up6(→)) D. eq \(BC,\s\up6(→))＝－ eq \f(5,2) eq \(BA,\s\up6(→))
3 在△ABC中，D为边BC上的一点，且BD＝2DC，则 eq \(AD,\s\up6(→)) 等于( )
A. eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) B. eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C. eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) D. eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))
4 (2024河北期中)若向量a，b，e1，e2在正方形网格中的位置如图所示，则向量a－b等于( )
A. 2e1＋4e2 B. e1＋4e2
C. 2e1－3e2 D. 2e1＋3e2
5 (2024抚州期中)如图，某广场的六边形停车场由4个全等的等边三角形拼接而成，则 eq \(BA,\s\up6(→))等于( )
A. 3 eq \(BD,\s\up6(→))－2 eq \(BC,\s\up6(→)) B. 2 eq \(BD,\s\up6(→))－3 eq \(BC,\s\up6(→))
C. 2 eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)) D. eq \(BD,\s\up6(→))－2 eq \(BC,\s\up6(→))
6 在△ABC中，点G，M满足 eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(GB,\s\up6(→))＋ eq \(GC,\s\up6(→))＝0， eq \(AG,\s\up6(→))＝3 eq \(AM,\s\up6(→))，则下列结论中正确的是( )
A. eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(7,9) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,9) eq \(BC,\s\up6(→))
B. eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(7,9) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,9) eq \(BC,\s\up6(→))
C. eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \(BC,\s\up6(→))
D. eq \(BM,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \(BC,\s\up6(→))
二、 多项选择题
7 (2024台州月考)下列结论中，正确的有( )
A. 对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb
B. 对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na
C. 对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b
D. 对于实数m，n和向量a，若ma＝na，则m＝n
8 (2024丹东期末)在△ABC中，点D在边AB上，且 eq \(AD,\s\up6(→))＝2 eq \(DB,\s\up6(→))，E是CD的中点，则下列结论中正确的是( )
A. eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))
B. eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CB,\s\up6(→))
C. eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))
D. eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(CB,\s\up6(→))－3 eq \(CD,\s\up6(→))
三、 填空题
9 (2023天津一中期中)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若 eq \(OA,\s\up6(→))－4 eq \(OB,\s\up6(→))＋3 eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则 eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CA,\s\up6(→))|)＝________．
10 若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
11 (2023上海大同中学期中)若O是△ABC所在平面内的一点，且满足| eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))|＝|( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＋( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))|，则△ABC的形状为________．
四、 解答题
12 (1) 化简： eq \f(3,5)[(2a－3b)＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,4)(3a－5b)]；
(2) 设向量a＝3i＋5j，b＝i－2j，用i，j表示( eq \f(1,3)a－2b)－( eq \f(1,2)a＋ eq \f(4,7)b)＋(a＋3b).
13 如图，在平行四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，BM＝ eq \f(2,3)BC，AN＝ eq \f(1,4)AB，试用向量a，b来表示 eq \(DN,\s\up6(→))， eq \(AM,\s\up6(→)).
9．2.2 向量的数乘(2)
一、 单项选择题
1 (2023台州书生中学期中)平面上四点O，A，B，C满足 eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(CB,\s\up6(→))，则下列关系中正确的是( )
A. eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))
B. eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))
C. eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))
D. eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))
2 (2024顺义月考)设O，A，B，C为平面上四个不同的点，它们满足3 eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝4 eq \(OA,\s\up6(→))，则下列结论中正确的是( )
A. A，B，C三点共线
B. O，B，C三点共线
C. A，O，C三点共线
D. A，B，O三点共线
3 (2024新乡期中)在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足 eq \(AO,\s\up6(→))＝3 eq \(OD,\s\up6(→))，则 eq \(OC,\s\up6(→)) 等于( )
A. － eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(5,8) eq \(AC,\s\up6(→)) B. － eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(5,8) eq \(AC,\s\up6(→))
C. eq \f(5,8) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(3,8) eq \(AC,\s\up6(→)) D. － eq \f(5,8) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,8) eq \(AC,\s\up6(→))
4 (2023山东期末)衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中△ABC为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且BC＝2DE，AB＝AC，∠CDE＝ eq \f(3π,4)，则 eq \(CE,\s\up6(→)) 等于( )
A. eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋2 eq \(CD,\s\up6(→))
B. eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(CD,\s\up6(→))
C. eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))＋2 eq \(CD,\s\up6(→))
D. eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(CD,\s\up6(→))
5 (2024保山期中)已知平面向量a，b不共线， eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋λb， eq \(AC,\s\up6(→))＝(λ－1)a＋2b，若A，B，C三点共线，则实数λ等于( )
A. eq \f(1±\r(15),2) B. eq \f(－1±\r(17),2)
C. eq \f(－1±\r(15),2) D. eq \f(1±\r(17),2)
6 (2023镇江期中)在△ABC中，D是AB的中点，点F 在AC上，且 eq \(AF,\s\up6(→))＋2 eq \(CF,\s\up6(→))＝0，记 eq \(CB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则 eq \(DF,\s\up6(→)) 等于( )
A. － eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,6)b B. eq \f(1,2)a－ eq \f(1,6)b
C. eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,6)b D. － eq \f(1,2)a－ eq \f(1,6)b
二、 多项选择题
7 已知△ABC，则下列各式中可以确定点P在线段BC的延长线上的是( )
A. eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x) eq \(AC,\s\up6(→))
B. eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x) eq \(AC,\s\up6(→))(x0，μ>0，求λ＋μ的最小值．
13 (2023长沙长郡中学期中)
(1) 如图， eq \(OP,\s\up6(→))， eq \(OQ,\s\up6(→))不共线，R是直线PQ上的动点，证明：存在实数λ，μ，使得 eq \(OR,\s\up6(→))＝λ eq \(OP,\s\up6(→))＋μ eq \(OQ,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1；
(2) 用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
9．2.2 向量的数乘(1)
1. B (a＋2b)＋2(a－b)＝a＋2b＋2a－2b＝3a.
2. A 因为点C在线段AB上，且 eq \f(AC,CB)＝ eq \f(5,2)，所以 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(5,5＋2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(5,7) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(5,2) eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,2＋5) eq \(BA,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,7) eq \(AB,\s\up6(→))，故A正确，B，C，D错误．
3. D 因为在△ABC中，D为边BC上的一点，且BD＝2DC，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)).
4. D 如图，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(CB,\s\up6(→))＝b，则a－b＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＝2e1＋3e2.
5. C eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))＝2 eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)).
6. A 因为 eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(GB,\s\up6(→))＋ eq \(GC,\s\up6(→))＝0，所以点G为△ABC的重心，所以 eq \(AG,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))).又因为 eq \(AG,\s\up6(→))＝3 eq \(AM,\s\up6(→))，所以 eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AG,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)× eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \f(1,9) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,9) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(8,9) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,9)( eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→)))＝ eq \f(7,9) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,9) eq \(BC,\s\up6(→)).
7. AB 由数乘向量的运算律可知A，B均正确；对于C，若m＝0，则ma＝mb＝0，未必有a＝b，故C错误；对于D，若a＝0，则ma＝na＝0，未必有m＝n，故D错误．故选AB.
8. BCD 对于A， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))，故A错误；对于B， eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CB,\s\up6(→))，故B正确；对于C， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(CA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(CB,\s\up6(→))))＝ eq \f(5,6) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))，又 eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(5,6) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(5,6) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))，故C正确；对于D， eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))－3 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))－3( eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→)))＝2 eq \(CB,\s\up6(→))－3 eq \(CD,\s\up6(→))，故D正确．故选BCD.
9. eq \f(3,4) 由 eq \(OA,\s\up6(→))－4 eq \(OB,\s\up6(→))＋3 eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))＝3 eq \(OB,\s\up6(→))－3 eq \(OC,\s\up6(→))，即 eq \(BA,\s\up6(→))＝3 eq \(CB,\s\up6(→))，所以点C在线段BA的反向延长线上，且 eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CA,\s\up6(→))|)＝ eq \f(3,4).
10. － eq \f(5,7) 因为|a|＝5，|b|＝7，且b与a的方向相反，所以a＝－ eq \f(5,7)b.
11. 直角三角形 取BC的中点D，因为| eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))|＝|( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＋( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))|，所以| eq \(CB,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝|2 eq \(AD,\s\up6(→))|＝2| eq \(AD,\s\up6(→))|，即AD＝DB＝DC，所以∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA，所以∠BAC＝∠ABC＋∠ACB.又三角形的内角和为180°，所以∠BAC＝90°，所以△ABC为直角三角形．
12. (1) 原式＝ eq \f(3,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－3b＋\f(1,2)b－\f(3,4)a＋\f(5,4)b))
＝ eq \f(3,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)a－\f(5,4)b))
＝ eq \f(3,4)a－ eq \f(3,4)b.
(2) 原式＝ eq \f(1,3)a－2b－ eq \f(1,2)a－ eq \f(4,7)b＋a＋3b
＝ eq \f(5,6)a＋ eq \f(3,7)b＝ eq \f(5,6)(3i＋5j)＋ eq \f(3,7)(i－2j)
＝ eq \f(5,2)i＋ eq \f(25,6)j＋ eq \f(3,7)i－ eq \f(6,7)j
＝ eq \f(41,14)i＋ eq \f(139,42)j.
13. 由AN＝ eq \f(1,4)AB，得 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))，
所以 eq \(DN,\s\up6(→))＝ eq \(AN,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)a－b.
由BM＝ eq \f(2,3)BC，得 eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))，
所以 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(2,3)b.
9．2.2 向量的数乘(2)
1. B 因为 eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(CB,\s\up6(→))，所以 eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝2( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))，即3 eq \(OC,\s\up6(→))＝2 eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OA,\s\up6(→))，所以 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→)).
2. A 因为3 eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝4 eq \(OA,\s\up6(→))，所以3 eq \(OB,\s\up6(→))－3 eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))，即3 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))，所以 eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(CA,\s\up6(→)).又 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(CA,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，C三点共线．
3. A 如图，因为D为BC的中点，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)).又 eq \(AO,\s\up6(→))＝3 eq \(OD,\s\up6(→))，所以 eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,8) eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)\(AB,\s\up6(→))＋\f(3,8)\(AC,\s\up6(→))))＝－ eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(5,8) eq \(AC,\s\up6(→)).
4. C 如图，延长CD和BE交于点F.由题意，得∠A＝∠F＝∠FCA＝∠FBA＝90°，所以四边形ABFC为矩形．又AB＝AC，所以四边形ABFC为正方形．又BC＝2DE，所以D，E分别是CF，BF的中点，所以 eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(CF,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))＋2 eq \(CD,\s\up6(→)).
5. D 若A，B，C三点共线，则 eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(AC,\s\up6(→))，故存在唯一的实数x，使得 eq \(AC,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－1＝2x，,2＝λx，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1＋\r(17),2)，,x＝\f(4,1＋\r(17))))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1－\r(17),2)，,x＝\f(4,1－\r(17))．))
6. A 因为D是AB的中点，所以 eq \(DA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→)).因为点F在AC上，且 eq \(AF,\s\up6(→))＋2 eq \(CF,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(AF,\s\up6(→))＋2( eq \(AF,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，即 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \(DF,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(－a－b)＋ eq \f(2,3)b＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,6)b.
7. BC 由题意，得 eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x) eq \(AC,\s\up6(→))，即x eq \(AP,\s\up6(→))＋(1－x) eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x) eq \(AC,\s\up6(→))，即x eq \(BP,\s\up6(→))＝(1－x) eq \(PC,\s\up6(→))，当0≤x≤1时，点P在线段BC上；当x1时，点P在线段CB的延长线上，故B正确，A错误；当 eq \(PB,\s\up6(→))＝2 eq \(PC,\s\up6(→))时，点P在线段BC的延长线上，此时C是PB的中点，故C正确；当 eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(CP,\s\up6(→))时，点P在线段CB的延长线上，故D错误．故选BC.
8. AC eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OG,\s\up6(→))＋ eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(OG,\s\up6(→))＋ eq \(GB,\s\up6(→))＋ eq \(OG,\s\up6(→))＋ eq \(GC,\s\up6(→))＝3 eq \(OG,\s\up6(→))＋ eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(GB,\s\up6(→))＋ eq \(GC,\s\up6(→))，因为点G为△ABC的重心，所以 eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(GB,\s\up6(→))＋ eq \(GC,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(OP,\s\up6(→))＝3 eq \(OG,\s\up6(→))，所以O，P，G三点共线，故A正确，B错误； eq \(AP,\s\up6(→))＋ eq \(BP,\s\up6(→))＋ eq \(CP,\s\up6(→))＝ eq \(AO,\s\up6(→))＋ eq \(OP,\s\up6(→))＋ eq \(BO,\s\up6(→))＋ eq \(OP,\s\up6(→))＋ eq \(CO,\s\up6(→))＋ eq \(OP,\s\up6(→))＝( eq \(AO,\s\up6(→))＋ eq \(BO,\s\up6(→))＋ eq \(CO,\s\up6(→)))＋3 eq \(OP,\s\up6(→))，因为 eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))，所以( eq \(AO,\s\up6(→))＋ eq \(BO,\s\up6(→))＋ eq \(CO,\s\up6(→)))＋3 eq \(OP,\s\up6(→))＝－ eq \(OP,\s\up6(→))＋3 eq \(OP,\s\up6(→))＝2 eq \(OP,\s\up6(→))，即2 eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(AP,\s\up6(→))＋ eq \(BP,\s\up6(→))＋ eq \(CP,\s\up6(→))，故C正确；因为 eq \(OP,\s\up6(→))＝3 eq \(OG,\s\up6(→))，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误．故选AC.
9. － eq \f(5,2) 由题意知，M，N，P的位置如图所示，则 eq \(MP,\s\up6(→))＝－ eq \f(5,2) eq \(NP,\s\up6(→)).
10. 2 因为a＝e1－e2与b＝－2e1＋ke2共线，所以可设b＝λa，即－2e1＋ke2＝λ(e1－e2).又e1，e2不共线，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝λ，,k＝－λ，))解得k＝2.
11. λ(b－a) 因为 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，所以| eq \(AP,\s\up6(→))|＝λ|b－a|.又点P在边AD上，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ(b－a).
12. (1) 因为a＝－2e1，b＝2e1，
所以a＝－b，故a，b共线．
(2) 因为a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)，
所以b＝－2a，故a，b共线．
(3) 假设a，b共线，则由向量共线定理可知，
存在λ∈R，使a＝λb，即－2e1＋3e2＝2λe1，
所以e2＝ eq \f((2λ＋2),3)e1，
故e1，e2共线，
这与已知条件e1，e2不共线矛盾，
所以假设不成立，即a，b不共线．
13. 因为 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
所以 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a.
因为N是BD上靠近点B的三等分点，
所以 eq \(BN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)(b－a).
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
可得 eq \(CN,\s\up6(→))＝ eq \(BN,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)(b－a)－b＝－ eq \f(1,3)a－ eq \f(2,3)b.①
因为M为AB的中点，所以 eq \(MB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a，
可得 eq \(CM,\s\up6(→))＝－ eq \(MC,\s\up6(→))＝－( eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))＝－ eq \f(1,2)a－b.②
由①②可得 eq \(CM,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \(CN,\s\up6(→))，
则由向量共线定理可知 eq \(CM,\s\up6(→))∥ eq \(CN,\s\up6(→)).
又因为 eq \(CM,\s\up6(→))， eq \(CN,\s\up6(→))有公共点C，
所以M，N，C三点共线．
9．2.2 向量的数乘(3)
1. A 在△ABC中，因为 eq \(BD,\s\up6(→))＋4 eq \(CD,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(BD,\s\up6(→))＝4 eq \(DC,\s\up6(→))，可得 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \(BC,\s\up6(→))，则 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(4,5) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(4,5)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,5) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(4,5) eq \(AC,\s\up6(→)).
2. A 因为c与d方向相反，所以存在k