专题16 全等三角形的辅助线问题学案-【一遍过】2023年暑假七年级升八年级数学考点衔接（人教版）（原卷版+解析版）

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2．【倍长中线】（2021·湖北襄阳·模拟预测）【问题提出】
如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围.
（1）【问题解决】
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BC（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线AD的取值范围.
（2）【应用】
如图②，在△ABC中，D为BC的中点，已知AB=5，AC=3，AD=2，求BC的长.
（3）【拓展】
如图③，在△ABC中，∠A=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连接EF．已知BE=4，CF=5，求EF的长.
3．【截长补短】（2023秋·山西朔州·八年级校考期末）（1）问题背景：如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___________；
（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E,F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
4．【作垂线】（2022秋·重庆江津·八年级统考期末）（1）问题：如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，AB+BP=BC．求证：∠APD=90°；
（2）问题：如图②，在三角形ABC中，∠B=∠C=45°，P是AC上一点，PE=PD，且∠EPD=90°．求AE+APPC的值．
5．【作平行线】（2022秋·八年级课时练习）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
6．【作垂线】（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！
【探究一】如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．
【探究二】阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高，那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．
【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=______度．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图，当点D在线段BC上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点D在线段BC的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
8．【截长补短】（2023秋·上海浦东新·八年级校考期中）在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点E在直线BC上（B，C除外），AE的垂线EF与AB的垂线BF交于点F，研究AE和EF的数量关系.
（1）在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图），通过推理证明就可以得到AE=EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系：_____________________
（2）当点E是线段BC上（B，C除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；
（3）点E在线段BC的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论.

9．【截长补短】（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
10．【截长补短】（2022秋·八年级课时练习）（1）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，求证：EF=BE+DF；
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF=12∠BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
11．【作平行线】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
12．【作平行线】（2022秋·八年级课时练习）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．
13．【倍长中线】（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝12∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
14．【倍长中线】（2022秋·江苏镇江·八年级阶段练习）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
15．【截长补短】（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．
(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
(2)求证：AB＝DG+FC．
16．【截长补短】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，EF⊥AE交∠DCE外角的平分线于F．
（1）求证：AE=EF；
（2）如图，当E是BC上任意一点，而其它条件不变，AE=EF是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
17．【角平分线】（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
18．【作垂线】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD=CD．2 求证：∠A+∠C=180°．
19．【作垂线】（2022秋·新疆克孜勒苏·八年级校考阶段练习）如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE≌△ADC；
(2)求∠EFC的度数；
(3)求证：AF平分∠DFE．
20．【补全图形】（2023春·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论