第01讲 与三角形有关的线段【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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知识点1、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【例1-1】一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（ ）
A．B．
C． D．
【例1-2】如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ．
【例1-3】（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
【例1-4】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示：
(1)图中有几个三角形？把它们一一说出来．
(2)写出的三个内角．
(3)含边的三角形有哪些？
【例1-5】图中的锐角三角形有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点2、三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
【例2-1】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
【例2-2】有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）

A．①对，②不对B．②对，①不对C．①、②都不对D．①、②都对
【例2-3】如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
知识点3、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
【例3-1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm
【例3-2】一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
【例3-2】已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．
【例3-3】若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
知识点4、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
【例4-1】画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )
【例4-2】下列说法中正确的是( )
A．直角三角形的高只有一条B．锐角三角形的三条高交于三角形内部
C．直角三角形的高没有交点D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点
【例5-1】在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
【例5-2】如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
【例6-1】如图，，下列结论中错误的是（ ）
A．是的角平分线B．是的角平分线
C．D．是的角平分线
【例6-2】．如图，在中，，是的角平分线，则（ ）

A．B．C．D．
【例6-3】如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
知识点5、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【例7-1】下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形B．长方形C．五边形D．正六边形
【例7-2】如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?
【例7-3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？
易错点 解决求等腰三角形边长的问题时，忽略分类讨论，未用三边关系检验致错
特别提醒:解决求等腰三角形边长的问题时,要注意:当腰和底不确定时，必须进行分类讨论;②得出边长后，要用三角形三边关系检验是否能够组成三角形.
考点一：三角形三边关系的应用
考查角度1：求等腰三角形的边长或周长
1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）若一个三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是（ ）
A．9B．12C．15D．12或15
2．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？
3．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知的三边a，b，c满足，，且．
(1)求c的取值范围；
(2)若的周长为，求c的值．
4．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，．
(1)求的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的周长为多少？
考查角度2：与绝对值有关的综合应用
5．（23-24八年级上·广西玉林·阶段练习）若a、b、c是的三边的长，化简．
6．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长．
7．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)若a，b，c满足，试判断的形状；
(2)若，，且c是奇数，试判断的形状；
(3)化简：．
考查角度3：比较线段和差的大小
8．（23-24八年级上·四川南充·期末）已知点A，B，C是不在同一条直线上的三点，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：．
10．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）数学课本第29页复习题的第9题如下：
如图1，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________．
(1)补全上面步骤；
(2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：．
考查角度4：线段最值问题
11．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已如三角形的三条边长为3、5和.
(1)若3是该三角形的最短边长，求的取值范围；
(2)若为整数，求三角形周长的最大值.
12．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．

(1)若，，，试求的最大值和最小值；
(2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗?
考点二：三角形高的应用
考查角度1：利用三角形高的性质作图
13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，是的两条高，，．

(1)请画出，；
(2)若，求的长．
14．（22-23八年级上·江西九江·期中）如图，为的中线，为的中线．
(1)作的边上的高线；
(2)若的面积为，，求的边上的高线长．
15．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）画图并回答：在如图所示的的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点，，都在正方形网格的格点上．

(1)作点到的垂线段；
(2)求的面积．
16．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，，．
(1)画出中边上的高；
(2)求的长．
17．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，过点C作于D，

(1)在图1中，若，，，则 ，边上的高 ；
(2)在图2中，若点P是B，C所在直线上的一点（不与点B，C重合），过点P作于E，作于F，请你补齐图形，尝试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
考查角度2：利用等面积法计算线段长度
18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．

(1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______．
(2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长．
(3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值．
19．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，中，，，，，是边上的高
．求的长．

20．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，与是的高．
(1)若，求；
(2)若的高与的比是多少？
21．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的两条高，已知，，．
(1)求的面积；
(2)求的长．
22．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，分别是的高和中线，若，．
(1)求的长；
(2)求与的周长差．
23．（21-22八年级上·广西南宁·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．

(1)如图1，在中，，则长为 ；
(2)如图2，在中，，则的高与的比是 ；
(3)如图3，在中，，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F．若，求的值．
考查角度3：与高有关的分类讨论问题
24．（22-23七年级下·广东广州·期中）如图，为轴正半轴上一动点，，，且，满足，．

(1)求的面积；
(2)求点到的距离；
(3)如图，若，轴于点，点从点出发，在射线上运动，同时另一动点从点出发向点A运动，到点A时两点停止运动，，的速度分别为个单位长度秒，个单位长度秒，当时，求点的坐标．
考点三：三角形中线的应用
考查角度1：三角形的面积问题
25．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积．
26．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，已知中，，．

(1)画边上的中线，并求长；
(2)画边上的高，若，求的面积．
27．（23-24八年级上·广东韶关·期中）图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且．求

(1)的面积；
(2)的面积．
28．（23-24八年级上·广东潮州·阶段练习）已知，是的中线，是的中线，求．

29．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．
(1)画出的边上的高；
(2)画出的边上的中线；
(3)的面积为______．
30．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，、、分别是的三边的延长线上一点，且，，，，求的值．

31．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求：
(1)作出的边上的中线，并求出的面积；
(2)作出的边边上的高，当时，试求出的长．
考查角度2：三角形的周长问题
32．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，是的边的中线，已知，求和的周长之差．

33．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，是中线，是高，且，，．

(1)______；______；
(2)求和的周长差．
34．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，

(1)若是偶数，求的长；
(2)已知是的中线，若的周长为，求的周长．
35．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，中，，于点D，为的中线，，，．求：

(1)的长
(2)的面积
(3)和
的周长的差
36．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度．
(2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求．
(3)小宇：如图3，已知平分，，，求．
考点四：与三角形有关的设计问题
37．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）发现与探究：三角形的重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．
图3中，若三条中线、、交于点G，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
(1)若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想．
(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为m，用含有m的式子表示的面积为 ， =
(3)图4中点D、E在的边上，交于G，G是重心，，，，求四边形的面积．
考点五：动点问题与三线综合
38．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，到点B停止运动；同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿运动，到点A停止运动．设点P运动的时间为t秒．

(1)点P在上运动时， ， （用含t的式子表示）；点Q在上运动时， ， （用含t的式子表示）．
(2)当t值为 （秒）时，．
(3)当t为何值时，P，Q两点在运动路线上相距的路程为4个单位长度．
(4)当t为何值时，．
39．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图，中，，，，，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．

(1)当 时，把的周长分成相等的两部分？
(2)当 时，把的面积分成相等的两部分？
(3)当t为何值时，的面积为4？
一、单选题
1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·山西长治·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（ ）
A．三角形三条中线的交点处B．三角形三条角平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处D．三角形三条边的垂直平分线的交点处
3．（23-24八年级上·云南·阶段练习）由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性B．两点之间，线段最短
C．三角形的内角和为180°D．垂线段最短
4．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部
C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点
D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部
5．（22-23八年级上·湖北咸宁·期中）如图，是的高的线段是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
6．（22-23八年级上·海南三亚·期中）若三角形的两条边长分别为和，且第三边长为偶数，则第三边长为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24八年级上·山西吕梁·阶段练习）已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
8．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（ ）

A．B．是的角平分线
C．是的中线D．
二、填空题
9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ．
10．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，以为边的三角形有 个．
11．如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ．
12．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为 ．
13．（23-24七年级下·江苏·周测）设、、是的三边，化简： ．
14．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ．
三、解答题
15．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点

(1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来．
(2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？
16．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
17．（23-24八年级上·河南信阳·期中）小华尝试用长分别为、、和的四根小铁棒中的三根焊接成三角形天线．
(1)他能焊接几种不同规格的天线？
(2)如果周长越大，天线接收信号的效果越好，那么小华该取哪些铁棒作为焊接的材料？
18．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长．
19．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足．
(1)求c的取值范围；
(2)若第三边长c是整数，求c的值．
20．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，是的中线，若，，，求的长．
21．（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.了解三角形的概念及基本要素(边、角、顶点).
2.掌握三角形的分类方法.
3.理解三角形的三边关系,并能运用它解决问题
4.理解三角形中线、高、角平分线和重心的概念,
会画三角形的“三线
5.了解三角形的稳定性,会解释生活中与三角形稳
定性有关的现象,并在运用三角形稳定性解决生活
中的问题时,体会数学的转化思想,增强数学应用
意识.
方法总结：数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有eq \f(n（n－1）,2)条线段，也可以与线段外的一点组成eq \f(n（n－1）,2)个三角形．
方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．
方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．
线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差．
方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．
方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．