专题01 平行线四种常见模型解题技巧【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

这是一份专题01 平行线四种常见模型解题技巧【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版），文件包含专题01平行线四种常见模型解题技巧原卷版docx、专题01平行线四种常见模型解题技巧解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。

题型一：“猪蹄”模型 题型二：“铅笔”模型
题型三：“鸡翅”模型 题型四：“骨折”模型
模型一：“猪蹄”模型
如图，若 AB // CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？
解：∠B＋∠D＝∠DEB．
理由如下：
过点E 作 EF // AB
又 ∵ AB//CD．
∴ EF//CD．
∴ ∠D =∠DEF．∠B=∠BEF．
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB
即∠B＋∠D＝∠DEB．
猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．
思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．
思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．
小结
证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。
猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）
结论：∠B+∠D=∠E
步骤总结
步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线
步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角
步骤三：推导出角的数量关系
模型二、“铅笔”模型
如图，AB // CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系 ？
解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
理由如下：
过点E 作 EF // AB．
又 ∵AB//CD．
∴EF//CD．
∴ ∠B+∠BEF＝180°．
∠D+∠DEF＝180°．
∴ ∠B＋∠D+∠DEB
＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°．
即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：
那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°
二、模型证明
如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°
证明一：如图，过点E作FG//AB
∵ AB//FG，AB//CD
∴ FG//CD
∵ AB//FG
∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ FG//CD
∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°
∴ ∠B+∠D+∠BED=360°
证明二：如图，连接BD，
∵ AB//CD
∴ ∠ABD+∠BDC=180°
在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°
∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°
∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°
∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360°
证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。
三、猪蹄模型和铅笔头模型关系
1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型
ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED
∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°
∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴ 180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED
∴ ∠FBE+∠GDE+∠BED=360°
2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型
ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得，
∠ABE+∠BED+∠CDE=360°
∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°
∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE
∴ 180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360°
∴ ∠FBE+∠GDE=∠BED
模型三、“鸡翅”模型
如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C 的关系，并说明理由．
解：∠AEC=∠A-∠C,
理由如下：
过点E 作 EF // AB
又 ∵AB//CD．
∴EF//CD．
∴∠A+∠FEA=180°，
∠C+∠FEC=180°
∴ ∠AEC＝ ∠FEC- ∠FEA= 180°- ∠C –(180°-∠A)=∠A-∠C
即：∠AEC=∠A-∠C
模型四、“骨折模型”
如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D 的关系，并说明理由．
解：∠BAD=∠D-∠B ,
理由如下：
过点A 作 AG // BC
又 ∵CB//DE．
∴AG//DE
∴∠GAB+∠B=180°，
∠GAD+∠D=180°
∴ ∠BAD＝ ∠GAB- ∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B
即：∠BAD=∠D-∠B
注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！
题型归纳
题型一：猪蹄模型
【例1】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则 度．
【变式1-1】（2022春•铁东区校级月考）感知与填空：如图①，直线．来证：．
（1）阅读下面的解答过程，请填上适当的理由．
证明：过点作直线

（已知），



（2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，
求的度数．
（3）方法与实践：如图③，直线．若，，
则 度．
【变式1-2】．（2023春•仪征市期末）如图1，已知线段、线段被直线所截于点、点，，的度数是的3倍少．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，沿方向平移得到，点在上，点是上的一点，连接、，，，求的度数；
（3）如图3，点是线段上一点，点是射线上一点，度数为，度数为，度数为，请直接写出、、之间的数量关系．（本题的角均小于
【变式1-3】．（2022春•赣榆区期末）已知：如图，，．求证：．
（1）下面是小明同学的推理过程，请按先后顺序填写空格：
解：连接．
（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
，
（已知），
（两直线平行，内错角相等）
，
即．
（2）试用其他方法进行推理，并书写证明过程．
题型二：“铅笔”模型
【例2】（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，点在直线上，且，求证：；
（3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数．
【变式2-1】请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知//，则．
解：过点作直线//．
∴（ ）．（ ）
∵//，//，
∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴（ ）．（ ）．
∴．
∴．
（2）如图②，如果//，则（ ）
【变式2-2】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．
（1）试问：，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________．
（2）如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则的度数为______；
②猜想与的数量关系，并说明理由；
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【变式2-3】已知，连接A，C两点．
(1)如图1，与的平分线交于点E，则等于 度；
(2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数；
(3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）．
题型三：“鸡翅”模型
【例3】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为
【变式3-1】如图所示，，，，求的度数.
【变式3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
【变式3-3】问题探究：
如下面四个图形中， ABCD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
题型四：“骨折”型
【例4】已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
【变式4-1】探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．
发现：在图1中，；如图5
小明是这样证明的：过点Р作
∴___________
∵，．
∴__________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2中，与、的数量关系为_____________________；
②在图3中，若，，则的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．
【变式4-2】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【变式4-3】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，

(1)求证：：
(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ．
过关检测
1.为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条、，、，做成折线，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．
（1）如图2，小明将折线调节成，判别是否平行于，并说明理由；
（2）如图3，若，调整线段、使得，求出此时的度数，要求画出图形，并写出计算过程．
（3）若，求出此时的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．
2.如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
3．已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且．
（1）如图①，求证：．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作，因为，
所以__________（ ）
所以，（ ）
所以．
（2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分．
求证：；
（3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由．
4.已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P．
(1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
5．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．

6.已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
7.已知，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．