2024-2025学年山东省青岛市第六十六中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市第六十六中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足z+2z=6+i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=3，b= 6，C=60°，则A=( )
A. 45°B. 75°C. 105°D. 135°
3.如图所示，正方形A′B′C′O′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )
A. 6cmB. 8cmC. 1+ 2cmD. 21+ 3cm
4.在▵ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足DF=2FA，则EF=( )
A. 13AB+16ACB. 13AB−16ACC. 16AB+13ACD. 16AB−13AC
5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上(即∠BAC=30°).行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度DC=( )．
A. 100 3mB. 100mC. 50 6mD. 50 2m
6.已知向量a、b满足a⋅a−2b=0，则b在a上的投影向量为( )
A. 2aB. 2aC. 12aD. 2 2a
7.将一个半径为2cm的金属球熔化后，先浇铸成6个半径为1cm的小球，再把剩余材料铸成1个正方体，则该正方体的棱长大约为( )
A. 1.5cmB. 2cmC. 2.5cmD. 3cm
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若平面AEF，则线段PA1的长度的最小值是( )
A. 3 22B. 2C. 5D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(x,3)，b=(5,2)，则下列结论正确的是( )
A. 若，则x=152B. 若a⊥b，则x=−65
C. 若a=5，则x=4D. 若x=3，则a⋅b=21
10.若复数z=3−5i1−i，则( )
A. z=4−i
B. |z|= 17
C. z在复平面内对应的点位于第四象限
D. 复数ω满足|ω|=1，则|ω−z|的最大值为 17+1
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点P，使得FP//平面ABC1D1
B. 过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 三棱锥C1−A1B1P的体积为定值
D. 三棱锥F−ACD的外接球表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量m=(3,−2),3m+n=(−1,4)，则n= ．
13.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为 2，则该圆台的侧面积为 ．
14.在圆内接四边形ABCD中，已知AB=2，AD=3，AC平分∠BAD.则AC⋅BD的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−1,3),b=(x,2)，且a−2b⊥a．
(1)求a+b；
(2)求a−b与a的夹角．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．
(1)若E、F分别是PD和BC中点，求证：EF//平面PAB；
(2)若PB//平面AEC，求证：E是PD中点．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为▵ABC三个内角A，B，C的对边，且asinB=bcsA+π6．
(1)求角A；
(2)若b= 3c，且a=2，求▵ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=2,B1B=3,D是棱AC的中点．
(1)若平面BDC1∩平面A1B1C1=l，求证：；
(2)求AB1与BD所成角的余弦值；
(3)该正三棱柱被平面BDC1截去一个棱锥C1−BDC，求剩余部分的体积．
19.(本小题17分)
为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ//OA．
(1)当OQ=50米时，求PQ的长；
(2)综合考虑到成本与美观原因，要使郁金香种植区▵OPQ的面积尽可能的大，设∠AOP=θ，求▵OPQ面积的最大值与面积最大值时的角θ．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.D
5.C
6.C
7.B
8.A
9.ABD
10.BCD
11.ACD
12.10 2
13.7 2π/7π 2
14.52
15.(1)因为向量a=(−1,3),b=(x,2)，所以a−2b=(−1−2x,−1)，
由a−2b⊥a得1+2x−3=0，解得x=1，所以b=(1,2)．
又a+b=(0,5)，所以a+b= 02+52=5．
(2)设向量a−b与向量a的夹角为θ，
因为a=(−1,3),a−b=(−2,1)，则csθ=a−b⋅aa−b⋅a=5 10× 5= 22，
又0°≤θ≤180°，所以θ=45°，
即向量a−b与向量a的夹角是45°．

16.(1)证明：取PA中点G，连接BG，EG，
在▵PAD中，因为E，G分别为所在边的中点，所以EG//AD，且EG=12AD，
又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点，
所以BF//AD，且BF=12AD，
所以EG//BF，且EG=BF，
所以四边形BFEG为平行四边形，
所以EF//BG，因为EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，
所以EF//平面PAB；
(2)连接BD，交AC于H，连接EH，
因为PB//平面ACE，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE=EH，
所以PB//EH，在▵PBD中，H为BD中点，
所以E为PD中点．

17.(1)因为asinB=bcsA+π6，所以asinB=bcsAcsπ6−sinAsinπ6，
所以asinB= 32bcsA−12bsinA，由正弦定理可得sinAsinB= 32sinBcsA−12sinBsinA，
因为0