2024-2025学年山东省青岛市青岛第九中学高一下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市青岛第九中学高一下学期期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足2z+z=21+i，则z=( )
A. −1+13iB. 13−iC. 1−13iD. −13+i
2.已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面，a⊂α，则“b // α”是“a，b无公共点”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.如图的平面直角坐标系xOy中，线段AB长度为2，且∠ABO=60°，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为A′B′，则A′B′2=( )
A. 4B. 7−2 64C. 7+2 64D. 4+ 6
4.如图，已知直角梯形ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AB=2AD=2CD=2，点F是CD中点，点E是线段BC靠近B点的三等分点，则AF⋅AE=( )
A. 56B. 76C. 54D. 43
5.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为( )
A. 6πB. 16πC. 26πD. 32π
6.已知平面向量a,b满足a=b=1，且向量a在向量b上的投影向量为12b，则2a−3b的值为( )
A. 2 5B. 2 3C. 7D. 6
7.筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，下列结论错误的是( )

A. t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为π3t−π6
B. t分钟时，该盛水筒距水面距离为sinπ3t−π6+32米
C. 1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等
D. 1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米
8.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米(米均匀分布在米斗中)，则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为( )
A. 392−1B. 372−1C. 2 33−1D. 142−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.要得到函数y=sin2x+π3的图象，只要将函数y=sinx的图象( )
A. 每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位长度
B. 每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度
C. 向左平移π3个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)
D. 向左平移π6个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 不存在点P，使得FP//平面ABC1D1
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C. 三棱锥C1−A1B1P的体积为4
D. 三棱锥F−ACD的外接球表面积为9π
11.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 若函数f(x)=AD−xAB，则函数f(x)的最小值为2+ 2
B. PA⋅PB的最大值为12+8 2
C. AG在AB方向上的投影向量为−AB2
D. OA+OC= 3OB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知e1→,e2→是两个不共线的单位向量，a⃗=e1→−e2→,b→=−2e1→+ke2→，若a与b共线，则k= ．
13.复平面上两个点Z1，Z2分别对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：①z2=z1⋅ 3i；②两点Z1，Z2连线的中点对应的复数为2i，若O为坐标原点，则▵Z1OZ2的面积为 ．
14.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知▵ABC的外接圆的半径为1，且cbcsC+c2b2csB=1，a2+c2=9sin2B，则▵ABC的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a,b满足|a|=2,|b|= 3．
(1)若a⋅b=3，求向量a与a−b的夹角；
(2)若a+b=3.求a−2b的值．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，asinA−sinCa−b=sin(A+C)，a≠b．
(1)求▵ABC的外接圆半径；
(2)若▵ABC为锐角三角形，求▵ABC周长的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在▵ABC中，AE=EB, CD=2DB，点O为AD和CE的交点，设BA=a, BC=b．
(1)若BO=xa+yb，求x, y的值；
(2)若F在AC上，OF⊥AC，且a=2b=10，求CFCA的取值范围．
18.(本小题17分)
如图已知四棱锥S−ABCD，底面ABCD为梯形，AD/\!/BC，SA=AB=BC=2，AD=3，P、Q为侧棱SD上的点，且DP:PQ:QS=3:2:4，点M为SA上的点，且3AM=AS．

(1)求证：CP//平面SAB；
(2)求证：平面BMQ//平面ACP；
(3)平面BMQ与侧棱SC相交于点E，求SEEC的值．
19.(本小题17分)
如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员．
(1)划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
(2)求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角．
(3)若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.B
5.C
6.C
7.B
8.A
9.BC
10.BD
11.AB
12.2
13.2 3
14.39 39256
15.解：(1)由|a|=2,|b|= 3,a⋅b=3，得|a−b|= a2+b2−2a⋅b=1，a⋅(a−b)=a2−a⋅b=1，
因此cs〈a,a−b〉=a⋅(a−b)|a||a−b|=12，而0≤〈a,a−b〉≤π，则〈a,a−b〉=π3，
所以向量a与a−b的夹角为π3．
(2)由|a+b|=3，得a2+b2+2a⋅b=9，则22+( 3)2+2a⋅b=9，解得a⋅b=1，
所以|a−2b|= a2+4b2−4a⋅b= 22+4×( 3)2−4×1=2 3．

16.解：(1)由asinA−sinCa−b=sin(A+C)可得asinA−sinCa−b=sin(A+C)=sinB⇒a2−ca−b=b，
故a2+b2−c=ab，由于c=1，故a2+b2−c2=ab
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=12
由于C∈0,π，所以C=π3，
sinC= 32，根据2R=csinC解得R= 33，
所以▵ABC的外接圆半径为 33．
(2)由(1)知，C=π3，B+A=2π3，B≠π3，
由正弦定理有csinC=asinA=bsinB=1 32=2 33，
所以b+a=2 33sinB+2 33sinA=2 33sinB+2 33sinπ3+B
=2 33sinB+2 33 32csB+12sinB= 3sinB+csB=2sinB+π6，
因为▵ABC为锐角三角形，所以0