2024-2025学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z=2−1i，则z−的虚部为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.若数据x1，x2，…，xn的方差为1，则数据3x1−1，3x2−1，…，3xn−1的方差为( )
A. 1B. 3C. 8D. 9
3.已知向量a=(1,2)，b=(−2,t)，若a/​/b，则t=( )
A. −4B. 1C. 2D. 4
4.已知△ABC的面积为 3，BC=2AB，B=π3，则AC=( )
A. 6B. 3C. 2D. 1
5.所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为ℎ.“拟柱体”Ω的统一体积公式为V=16ℎ(L+4M+N)(其中L，M，N分别为Ω的上底面面积、中截面(与上下底面平行且距离相等的截面)面积、下底面面积，如图.在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，AB//EF，EF=4，点E到底面ABCD的距离是2，则该多面体的体积为( )
A. 5B. 163C. 173D. 6
6.α，β为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列判断正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//n，n⊂α，则m//α
C. 若m⊥α，n⊥α，则m//nD. 若m⊥α，n⊥m，则n//α
7.在复平面内，复数1+2i， 2+ 3i， 3− 2i，a+i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4在同一个圆周上，则实数a=( )
A. −2B. −1C. −1或2D. −2或2
8.已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycsθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(2,1)，B(3,1+ 3)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点P的坐标为( )
A. (1,1+ 3)B. (1,2)C. (2,0)D. (4,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校举办了数学知识竞赛，已知该校有1000名学生，随机抽取100名学生的成绩，整理成如图所示的频率分布直方图，则( )
A. a=0.025
B. 估计该校学生成绩的众数为70
C. 估计该校学生成绩的中位数为68.3
D. 估计该校学生成绩的平均数在65到75之间
10.假设P(A)=0.2，P(B)=0.5，P(C)=0.8，则( )
A. A与C互为对立
B. 若P(A∪B)=0.6，则P(AB)=0.1
C. 若A⊆B，则P(AB)=0.5
D. 若A，B相互独立，则P(A−B)=0.4
11.已知正四棱台的上、下底面的边长之比为1：2，其内切球的半径为1，则该正四棱台( )
A. 上底面边长 2B. 下底面边长 2C. 高为2D. 体积为283
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据1，2，4，6，7，8，11，12的第25百分位数是______．
13.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)在[0,π2]上的最小值为______．
14.已知三棱锥P−ABC的体积为V，PA⊥平面ABC，PA=2，∠ACB=π3，若三棱锥P−ABC的外接球半径最大值为 5，则V的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某企业拟招聘部分技术人员，有200人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人，现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩(满分10分)进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，9，9．
(1)请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差；
(2)若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数ω和方差s2．
参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x−，s12；n，y−，s22.记总的样本平均数为ω−，样本方差为s2，则ω−=mx−+ny−m+n，s2=1m+n{m[s12+(x−−ω−)2]+n[s22+(y−−ω−)2]}．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点．
(1)证明：AE⊥平面PBC；
(2)求AC与平面PBC所成角的大小．
17.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，△ABC是等边三角形，点E，F分别是CD，AC的中点，AD=1，CD=2，∠ADC=120°．
(1)求AC；
(2)求sin∠CAD；
(3)求FE⋅FB．
18.(本小题17分)
如图，由三棱锥P−ABC顶点P出发的三条棱两两垂直.设PA=a，PB=b，PC=c．
(1)若a=b=c=2，求点P到平面ABC的距离；
(2)若△ABC的面积为8，二面角A−BC−P的大小为60°．
(ⅰ)求△PBC的面积；
(ⅱ)求三棱锥P−ABC体积的最大值．
19.(本小题17分)
在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“⊗”传输，每个符号(⊙或⊗)的传输可能出错，传输结果相互独立.系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为1−p；当发送“⊗”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为1−q.模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，r=max{1−p,1−q}.假设p，q，r∈(0,1)，已知字母A的密码为“⊙⊗”，字母G的密码为“⊗⊗⊙”．
(1)若p=0.6，q=0.8.求字母A正确接收的概率；
(2)若p+q=1，在字母G接收的3个符号中，记B=“收到⊙的个数为1”，C=“收到⊙的个数为2”，试比较P(B)和P(C)的大小．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.A
5.B
6.C
7.D
8.D
9.ABD
10.BD
11.ACD
12.3
13.− 32
14.2 3
15.(1)平均数为x−=7+7+8+9+95=8，方差为：s12=15(12+12+02+12+12)=0.8；
(2)因为研究生有50人，本科生150人，且研究生抽取5人，
由于采用分层抽样的方式，所以本科生抽取15人，
故整体样本数据的平均数ω=120×(5×8+15×6)=6.5，
整体样本数据的方差s2=520[0.8+(8−6.5)2]+1520[1+(6−6.5)2]=1.7，
所以整体样本数据的平均数为6.5，方差为1.7．
16.(1)证明：因为PA=AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，
又PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，
又AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
又AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC，PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，
所以AE⊥平面PBC；
(2)由(1)知，AE⊥平面PBC，
所以∠ACE为直线AC与平面PBC所成的角，
设PA=AB=BC=2，则AC=2 2，AE= 2，
在直角三角形AEC中，
则sin∠ACE=AEAC=12，
所以直线AC与平面PBC所成角为30°．
17.(1)在△ACD中，AD=1，CD=2，∠ADC=120°，
由余弦定理，可得AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cs∠ADC
=1+4−2×1×2×(−12)=7，
所以AC= 7；
(2)在△ADC中，由正弦定理得CDsin∠CAD=ACsin∠ADC，
又AC= 7，CD=2，∠ADC=120°，
所以sin∠CAD=CDsin∠ADCAC=2× 32 7= 217；
(3)因为△ABC是等边三角形，所以BF= 32AC= 212，
因为点E，F分别是CD，AC的中点，AD=1，所以EF=12，
所以FE⋅FB=|FE|⋅|FB|⋅cs∠BFE
= 214cs(90°+∠CFE)= 214cs(90°+∠CAD)
=− 214sin∠CAD=− 214× 217=−34．
18.(1)因为a=b=c=2，
所以AB=AC=BC=2 2，S△ABC= 34×(2 2)2=2 3．
设P到平面ABC的距离为ℎ，
则VP−ABC=13S△ABC⋅ℎ=13×2 3×ℎ=2 33ℎ．
又VP−ABC=13S△PBC⋅PA=13×12×2×2×2=43，
所以2 33ℎ=43，
解得ℎ=2 33，
所以P到平面ABC的距离为2 33．
(2)(ⅰ)在三棱锥P−ABC中，过P作PD⊥BC于D，连接AD，
因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，
所以AP⊥平面PBC，故AP⊥BC．
又因为PD⊥BC，PD∩AP=P，
所以BC⊥平面PAD，所以BC⊥AD，
因此∠ADP为二面角A−BC−P的平面角，
所以∠ADP=60°，在直角△PAD中，AD=2PD，
因为S△ABC=12AD⋅BC=2×12PD⋅BC=2S△PBC=8，
所以S△PBC=4．
(ⅱ)在△PBC中，因为S△PBC=12bc=4，所以bc=8，
所以BC= b2+c2≥ 2bc=4，当且仅当b=c=2 2时等号成立．
又因为S△PBC=12BC⋅PD=4，所以PD=8BC≤2，
在直角△PAD中，AP= 3PD≤2 3，
所以VP−ABC=13S△PBC⋅AP≤8 33，当且仅当b=c=2 2时等号成立．
综上，三棱锥P−ABC体积的最大值为8 33．
19.(1)字母A的密码为“⊙⊗”，一共接收2个符号，2个都正确，
则字母A正确接收，
∵p=0.6，q=0.8，
∴字母A正确接收的概率为pq=0.6×0.8=0.48；
(2)若p+q=1，在字母G接收的3个符号中，
记B=“收到⊙的个数为1”，C=“收到⊙的个数为2”，
r=max{1−p,1−q}=1−q,p≥q1−p,p