山东省青岛第六十六中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．二项式的展开式中的系数为（ ）
A．60B．C．D．12
3．语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．某校6名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为（ ）
A．180B．360C．540D．670
6．投掷一枚正方体骰子两次，则在第一次正面朝上的点数为奇数的条件下，第二次正面朝上的点数大于4的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（ ）
A．0.54B．0.56C．0.58D．0.6
8．设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．函数，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．没有零点D．最大值为2
10．现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3张和方块有2张．从中不放回地抽取2次，每次抽取一张，则下列说法正确的有（ ）
A．第二次抽到黑桃的概率为
B．在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为
C．若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为
D．设抽到黑桃的次数为
11．下列说法正确的是（ ）
A．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则
B．的展开式中二项式系数和为32
C．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
D．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好
三、填空题
12．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么 .
13．甲、乙两个小朋友做游戏，游戏规则：用0，1两个数字从左往右排成一个五位数（允许第一位为0，数字可重复使用），若五位数中的1的个数比0的个数多，则甲胜，反之，乙胜，胜方得2分，另一方得分，重复100次这样的游戏，甲得分的均值为 .
14．设，若函数在内存在极值点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．
（1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；
（2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望．
16．随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
（1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．）
（2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．
参考数据：，，
参考公式：相关系数；
线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，．
17．某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）：
已知调查了400个学校和150个自由开发者.
（1）求和的值；
（2）估计目标用户对该设备有需求的概率；
（3）是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？
附：.
18．甲、乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有8个红球和2个白球，乙箱中有5个红球和5个白球．
（1）现从甲、乙两个箱子中各摸出1球，记摸到红球的个数为，求的分布列．
（2）现做如下试验：先在两个箱子中选择一个并从中随机摸一球，若摸出的球是白球，则该试验结束；若摸出的球是红球，则从另一个箱子中再随机摸一球，无论摸出的球是白球还是红球，该试验都结束．假设从甲箱子中摸出一球是红球得奖金100元，否则不得奖金；从乙箱子中摸出一球是红球得奖金200元，否则不得奖金．为使累计得奖金额的均值最大，如果摸球顺序由你选择，你应该先从哪个箱子开始摸球？并说明理由．
19．已知函数，.
（1）求函数的单调区间.
（2）若对任意成立，求正实数的取值范围.
（3）证明：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由得
所以
又，∴切点为
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选D.
2．【答案】C
【详解】展开式的通项，
令，解得，所以，即的系数为.
故选C
3．【答案】D
【详解】从10篇课文中随抽3篇不同的课文，总共的选法为种，
该同学能及格的情况有种，
由古典概型可知，该同学能及格的概率为.
故答案为：.
4．【答案】C
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，
则，所以，
所以.
故选C
5．【答案】C
【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种；
当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种；
当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种；
故不同方案的种数为（种），
故选C
6．【答案】C
【详解】记事件“第一次正面朝上的点数为奇数”，事件“第二次正面朝上的点数大于4”．
投掷一枚正方体骰子两次，所有的样本点（x为第一次正面朝上的点数，y为第二次正面朝上的点数）共36个，
其中事件A包含的样本点有18个事件AB包含的样本点有6个，,
所以.
故选C．
7．【答案】A
【详解】记小李一家去张家界为事件，去长沙为事件，去徒步爬山为事件，
则、、、，
所以，
即小李一家旅游时去徒步爬山的概率为.
故选A
8．【答案】C
【详解】令，
∵函数在上是可导的偶函数，
∴在上也是偶函数
又当时，，∴，
∴，
∴在上是增函数
∵，
由得
即不等式转化为，
∴x不为0时有，
而x为0时，不等式显然成立，
∴不等式的解集为.
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】的定义域为，因为，所以，故A正确；
令得，即，令得，即，
因此在单调递增，在单调递减，且，
因此没有零点，即BC正确，D错误.
故选ABC
10．【答案】ACD
【详解】第二次抽到黑桃的概率为，故A正确；
因为两次都抽到黑桃的概率为，
所以至少有一次抽到方块的概率为，故B错误；
第二次抽到方块的概率为，两次都抽到方块的概率为，
所以已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为，故C正确；
X可能取值为0，1，2，，，，
故，故D正确．
故选ACD．
11．【答案】ABD
【详解】对于A中，将样本点中心点代入回归方程为，
可得，解得，所以A正确；
对于B中，二项式的展开式中二项式系数和为，所以B正确；
对于C中，在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，所以C错误；
对于D中，根据决定系数的含义知：决定系数越大，模型拟合效果越好，
由，所以模型甲的拟合效果更好，所以D正确.
故选ABD.
12．【答案】0
【详解】因为随机变量X服从两点分布，，
所以，
所以，
因为，所以
13．【答案】50
【详解】方法一:根据题意，每个数位是“0”或“1”的机会均等，
且事件“五位数中1的个数比0的个数多”与事件“五位数中0的个数比1的个数多”包含的样本点个数相同，
因此甲胜的概率为，重复100次这样的游戏，则甲获胜的次数服从二项分布，
则甲获胜的次数的均值为，因此甲得分的均值为.
方法二: 记“一次游戏中，甲获胜”为事件，因为每个数位是“0”或“1”的概率均为，
所以，
故一次游戏中甲得分的均值为，
重复100次这样的游戏，甲得分的均值为.
14．【答案】
【详解】因为，则，
令，则函数在区间内存在异号零点，
对任意的恒成立，
所以，函数在区间上单调递增，
由题意可得，解得，
因此，实数的取值范围是.
15．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件，
则，
所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．
（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且
，
，
所以的分布列为
所以．
16．【答案】（1）0.92，线性相关性程度很强．
（2），15.9百亿．
【详解】（1）由已知得，，
，，
，
故，
，所以线性相关性程度很强；
（2），，
则，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿．
17．【答案】（1）
（2）；
（3）有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异.
【详解】（1）由题得；
（2）由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为；
（3）列出列联表：
零假设学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异.
由表格得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异.
18．【答案】（1）答案见详解；
（2）从甲箱开始摸球，理由见详解.
【详解】（1）记从甲箱摸出1个球是红球为事件，从乙箱摸出1个球是红球为事件，
则，
从甲、乙两个箱子中各摸出1球，摸到红球的个数的取值有，
易知事件、相互独立，则，
，，
所以的分布列为：
（2）记从甲箱开始摸球所得奖金为，其所有可能取值为，
，
，
分布列为：
所以（元）；
记从乙箱开始摸球所得奖金为，其所有可能取值为，
，
，
分布列为：
所以（元）.
因为，所以先从甲箱开始摸球.
19．【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）；（3）证明见解析.
【详解】解析：（1），.
令，解得；，解得，
的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）“对任意成立”等价于“对任意恒成立”.
令，则.
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
又，.
即所求实数的取值范围是.
（3）证明：“”等价于“”.
据（1）求解知，
令，则.
分析知，在上单调递减，在上单调递增，
.对恒成立
即.年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码
1
2
3
4
5
交易额（单位：百亿）
1.5
2
3.5
8
15
学校
企业
自由开发者
有需求
170
无需求
120
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
0
1
2
3
学校用户
非学校用户
总计
有需求
300
270
570
无需求
100
170
270
总计
400
440
840
0
1
2
0
100
300
0
200
300