高一下学期数学精品期末模拟试卷（含详细解析）

这是一份高一下学期数学精品期末模拟试卷（含详细解析），共50页。
2．在正四面体A﹣BCD中，P是AB的中点，Q是直线BD的动点，则直线PQ与AC所成角可能为（ ）
A．π12B．π4C．5π12D．π2
3．从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，每个个体被抽到的概率是15，则N的值是（ ）
A．20B．40C．80D．100
4．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A．100B．150C．200D．250
二．填空题（共9小题）
5．已知顶点为P的圆锥有且仅有一条母线PA在平面α内，B是母线PA的中点，点C∈α．若PA与圆锥底面所成的角为60°，圆锥外接球的表面积为256π3，且圆锥底面圆心O到直线BC的距离为13，则BC与圆锥底面所成角的正弦值为 ．
6．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为菱形，其中∠BCD＝120°，SA=SB=2AB=263SC，点H在线段SB上，若平面SAB⊥平面CDH，则BHBS= ．
7．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为 ；若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为 ．
8．在三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=2，AB＝2，BC＝1，AB⊥BC，若SC与平面SAB所成角的最大值为θ，则sin2θ的值为 ．
9．三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=6，点Q为平面ABC内的动点，且满足PQ=3，记直线PQ与直线AB的所成角为θ，则sinθ的最小值为 ．
10．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ．
11．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．
12．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 人．
13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
三．解答题（共9小题）
14．如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面EAB⊥底面ABCD，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；
（2）求二面角B﹣AC﹣E大小的正切值；
（3）试探求点D到平面ACE的距离d与四面体ACED外接球半径R的大小关系，并说明理由．
15．如图，在四面体PADE中，C为棱PD上一点，AC＝1，AE=233，CE=33，且AC⊥PD，PD⊥DE，二面角C﹣AE﹣D的大小为π6．
（1）证明：AC⊥平面PDE；
（2）求四面体ACDE的外接球的体积；
（3）求DE的长．
16．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点．
（1）若C1M＝1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）若C1M＝2，求证BM⊥平面A1B1M．
17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
18．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）
（1）求x，y；
（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
19．为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂，
（Ⅰ）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
20．为了了解一个小鱼塘里的总产量，从这个小鱼塘中的不同位置捕捞出12条鱼，称得重量如下（单位：千克）：
1.15，1.04，1.11，1.07，1.10，1.02，
1.05，1.16，1.09，1.13，1.10，1.18．
将上面捕捞出来的12条鱼分别作一记号后再放回鱼塘，几天后从鱼塘中的不同地方捕捞出108条鱼，其中带有记号的鱼有3条，则鱼塘中的总产量约为多少？
21．从2016年3月8日起，进行自主招生的高校陆续公布招生简章，某市教育部门为了调查几所重点高中的学生参加今年自主招生的情况，选取了文科生与理科生的同学作为调查对象，进行了问卷调查，其中，“参加自主招生”、“不参加自主招生”和“待定”的人数如表：
（1）在所有参加调查的同学中，用分层抽样方法抽取n人，其中“参加自主招生”的同学共36人，求n的值；
（2）在“不参加自主招生”的同学中仍然用分层抽样方法抽取5人，从这5人中任意抽取2人，求至少有一个是理科生的概率．
22．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC＝60°．∠BAC＝60°，
（Ⅰ）求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）已知点D满足BD→=BA→+BC→，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
一．选择题（共4小题）
1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段A1B1，AB的中点，O为四棱锥E﹣C1D1DC的外接球的球心，点M，N分别是直线DD1，EF上的动点，记直线OC与MN所成角为θ，则当θ最小时，tanθ＝（ ）
A．22111B．423C．11205205D．112142
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；数形结合；向量法；空间角；逻辑思维．
【答案】D
【分析】设P，Q分别是棱CD和C1D1的中点，则四棱锥E﹣C1D1DC的外接球即三棱柱DFC﹣D1EC1的外接球，其外接球球心O为上、下底面三角形外心G和H连结的中点，θ的最小值是直线OC与平面DD1EF所成角，问题转化为求直线OC与平面DD1EF所成角的正切值．
【解答】解：如图，设P，Q分别是棱CD和C1D1的中点，
则四棱锥E﹣C1D1DC的外接球即三棱柱DFC﹣D1EC1的外接球，
∵三棱柱DFC﹣D1EC1是直三棱柱，
∴其外接球球心O为上、下底面三角形外心G和H连结的中点，
由题意，MN是平面DD1EF内的一条动直线，
记直线OC与MN所成角为θ，
则θ的最小值是直线OC与平面DD1EF所成角，
即问题转化为求直线OC与平面DD1EF所成角的正切值，
不妨设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则EQ＝2，ED1=5，
∵△EC1D1为等腰三角形，∴△EC1D1外接圆直径为2GE=ED1sin∠EC1D1=525=52，
则GE=54，GQ＝2−54=34=PH，
如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），F（2，1，0），O（34，1，1），
DD1→=（0，0，2），DF→=（2，1，0），OC→=（−34，1，−1），
设平面DD1EF的法向量n→=（x，y，z），
则n→⋅DD1→=2z=0n→⋅DF→=2x+y=0，取x＝1，得n→=（1，﹣2，0），
则sinθ=|n→⋅OC→||n→|⋅|OC→|=115×41，tanθ=112142．
故选：D．
【点评】本题考查㫒面直线所成最小角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2．在正四面体A﹣BCD中，P是AB的中点，Q是直线BD的动点，则直线PQ与AC所成角可能为（ ）
A．π12B．π4C．5π12D．π2
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；数形结合法；空间角；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】取BD的中点E，连接AE，设正四面体A﹣BCD的棱长为2，由余弦定理得∠CAE＞π4，而∠CAE为直线AC与平面ABD内所有直线所成角中最小的角，排除A，B；
在平面ABD中，PQ不可能与AE垂直，可得直线PQ与AC所成角不可能为π2，排除D，从而得答案．
【解答】解：取BD的中点E，连接AE，CE，
设正四面体A﹣BCD的棱长为2，
则AE=CE=3，cs∠CAE=4+3−32×2×3=33＜22，
∴∠CAE＞π4，
正四面体的结构特征可知AC在平面ABD上的射影落在直线AE上，
∴∠CAE为直线AC与平面ABD内所有直线所成角中最小的角，排除A，B，
不妨设三角形ABD的外心为点O，
则由正四面体的结构特征可知OC⊥平面ABD，
∵AE⊂平面ABD，PQ⊂平面ABD，
∴OC⊥AE，OC⊥PQ，
若PQ⊥AC，则结合OC，AC⊂平面OAC，OC∩AC＝C，可得PQ⊥平面AOC，
∵AO⊂平面OAC，∴PQ⊥AO，
而在平面ABD中，PQ不可能与AE垂直，
∴直线PQ与AC所成角不可能为π2，排除D．
故选：C．
【点评】本题考查了异面直线所成角，正四面体的结构特征，线面的位置关系，属于较难题．
3．从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，每个个体被抽到的概率是15，则N的值是（ ）
A．20B．40C．80D．100
【考点】简单随机抽样．
【专题】计算题；运算求解；数据分析．
【答案】D
【分析】根据从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，表示出每个个体被抽到的概率表示式，使得这个表示式同所给的概率相等，解出关于变量N的方程，得到结果．
【解答】解：∵从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本
∴每个个体被抽到的概率是20N，
∵每个个体被抽到的概率是15，
∴20N=15，
∴N＝100，
故选：D．
【点评】频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．
4．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A．100B．150C．200D．250
【考点】分层随机抽样．
【专题】概率与统计．
【答案】A
【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量＝总体个数×抽取比例计算n值．
【解答】解：分层抽样的抽取比例为703500=150，
总体个数为3500+1500＝5000，
∴样本容量n＝5000×150=100．
故选：A．
【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．
二．填空题（共9小题）
5．已知顶点为P的圆锥有且仅有一条母线PA在平面α内，B是母线PA的中点，点C∈α．若PA与圆锥底面所成的角为60°，圆锥外接球的表面积为256π3，且圆锥底面圆心O到直线BC的距离为13，则BC与圆锥底面所成角的正弦值为 34 ．
【考点】几何法求解直线与平面所成的角；球内接多面体．
【专题】转化思想；综合法；空间角；运算求解；空间想象．
【答案】34．
【分析】先根据球的表面积公式求得外接球半径，再在平面α内过点P作直线l∥BC，取AB的中点M，连接OM，由面面垂直的性质定理证明OM⊥平面α，过M作垂线，分别交BC，l于点N和Q，连接ON，OQ，结合平行线的性质和勾股定理，求出cs∠OPQ的值，最后根据线面角的定义与求法，即可得解．
【解答】解：设圆锥外接球的球心为G，半径为R，圆锥底面圆的半径为r，
由圆锥外接球的表面积为256π3，知4πR2=256π3，解得R=83，
因为PA与圆锥底面所成的角为60°，所以PA＝2r，OP=3r，
在Rt△OAG中，AG2＝OA2+OG2，即R2＝r2+（3r﹣R）2，整理得r=234R=4，
在平面α内过点P作直线l∥BC，取AB的中点M，连接OM，则OM⊥PA，且OM＝23，
因为顶点为P的圆锥有且仅有一条母线PA在平面α内，
所以平面α⊥平面PAO，
又平面α∩平面PAO＝PA，OM⊂平面PAO，
所以OM⊥平面α，
因为BC⊂平面α，所以OM⊥BC，
过M作垂线，分别交BC，l于点N和Q，连接ON，OQ，即MN⊥BC，
又OM∩MN＝M，OM、MN⊂平面OMN，所以BC⊥平面OMN，
又ON⊂平面OMN，所以BC⊥ON，即O到BC的距离为ON，所以ON=13，
所以MN=ON2−OM2=13−(23)2=1，
因为l∥BC，所以MNMQ=MBMP=13，所以MQ＝3，
在Rt△OMQ中，OQ=OM2+MQ2=(23)2+32=21，
在Rt△OQP中，PQ=OP2−OQ2=(43)2−(21)2=33，
设BC与圆锥底面所成角为θ，
则sinθ＝cs∠OPQ=PQOP=3343=34，
即BC与圆锥底面所成角的正弦值为34．
故答案为：34．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握圆锥的结构特征，直线与平面垂直的判定与性质定理，线面角的定义与求法，以及外接球球心与半径的求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
6．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为菱形，其中∠BCD＝120°，SA=SB=2AB=263SC，点H在线段SB上，若平面SAB⊥平面CDH，则BHBS= 25 ．
【考点】平面与平面垂直；点、线、面间的距离计算．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】25．
【分析】设平面CDH与直线SA交于点G，连接DG，HG，取AB中点M，连接SM，CM，SM与GH交于点E，连接CE，证明CD∥HG∥AB，然后证明AB⊥平面SCM，得证CE⊥HG，从而由面面垂直的性质定理得CE⊥平面SAB，得CE⊥SM，设出AB＝1，计算出SM，EM后可得结论．
【解答】解：设平面CDH与直线SA交于点G，连接DG，HG，取AB中点M，连接SM，CM，SM与GH交于点E，连接CE，
因为CD∥AB，CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，
所以CD∥平面SAB，
又平面SAB∩平面CDH＝HG，CD⊂平面CDH，
所以CD∥HG，从而CD∥HG∥AB，
又菱形ABCD中，∠BCD＝120°，
所以△ABC是等边三角形，
则CM⊥AB，而SA＝SB，
所以SM⊥AB，
又SM∩CM＝M，SM，CM⊂平面SCM，
所以AB⊥平面SCM，而CE⊂平面SCM，
所以CE⊥AB，从而CE⊥HG，
因为平面SAB⊥平面CDH，平面SAB∩平面CDH＝HG，CE⊂平面CDH，
所以CE⊥平面SAB，又因为SM⊂平面SAB，
所以CE⊥SM，
设AB＝1，则由已知得SA＝SB＝2，SC=62，
CM=32，SM=SA2−AM2=152，
△SCM中，cs∠SCM=64+34−1542×62×32=−22，
从而∠SCM＝135°，sin∠SCM=22，
CE=S△SCM12SM=12SC⋅CMsin∠SCM12SM=62×32×22152=1510，
EM=CM2−CE2=155，
所以BHBS=MEMS=155152=25．
故答案为：25．
【点评】本题考查空间线面关系以及点线距的计算，属于难题．
7．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为 34 ；若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为 25+2133 ．
【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】34，25+2133．
【分析】取CC1的中点M，连接EM，FM，则可得∠FEM为异面直线EF与直线BC所成角，然后在△FEM中求解，连接AE并延长交A1B1的延长线于点G，连接FG交B1C1于点D，连接ED，则四边形AEDF为截面四边形，然后求解其周长即可．
【解答】解：取CC1的中点M，连接EM，FM，
因为点E为棱BB1的中点，所以BC∥EM，BC＝EM＝2，
所以∠FEM为异面直线EF与直线BC所成角，
连接B1F，因为BB1⊥平面A1B1C1，B1F⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥B1F，
因为△A1B1C1为边长是2的正三角形，F为A1C1的中点，所以B1F=3，
所以EF=B1F2+B1E2=3+1=2，
MF=C1F2+C1M2=2，
所以由余弦定理得cs∠FEM=EF2+EM2−FM22EF⋅EM=4+4−22×2×2=34，
所以直线EF与直线BC所成角的余弦值为34，
连接AE并延长交A1B1的延长线于点G，连接FG交B1C1于点D，连接ED，
所以过点A，E，F的截面为四边形AEDF，
因为点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，所以AE=AF=1+4=5，
过F作FN∥B1C1，交A1B1于点N，则N为A1B1的中点，
因为AA1∥BB1，所以△GB1E∽△GA1A，
所以GB1GA1=B1EA1A=12，所以B1为GA1的中点，所以GB1＝A1B1＝2，
因为FN∥B1C1，所以△GB1D∽△GNF，
所以B1DNF=GB1GN，B1D1=23，所以B1D=23，则C1D=2−23=43，
所以DE=B1E2+B1D2=1+49=133，
在△DFC1中由余弦定理得DF2=C1D2+C1F2−2C1D⋅C1Fcs60°
=(43)2+12−2×43×1×12=139，
所以DF=133，
所以四边形AEDF的周长为AE+AF+DE+DF=25+2133，
即截面的周长为25+2133，
故答案为：34，25+2133．
【点评】此题考查异面直线所成的角，考查几何体的截面问题，解题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，考查空间想象能力，属于难题．
8．在三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=2，AB＝2，BC＝1，AB⊥BC，若SC与平面SAB所成角的最大值为θ，则sin2θ的值为 3−52 ．
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；运算求解．
【答案】3−52．
【分析】取AB的中点E，AC的中点F，易证AB⊥平面SEF，分别以BC，BA所在直线为x轴，y轴，以过B且垂直平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设∠SEF＝α，然后再利用向量法构建SC与面SAB所成角的正弦值关于α的函数模型，接着利用换元法，基本不等式，即可求出SC与平面SAB所成角的正弦值的最大值，从而可求解问题．
【解答】解：如图，取AB的中点E，AC的中点F，则EF∥BC，
又AB⊥BC，∴AB⊥EF，
又SA＝SB，E为AB的中点，
∴AB⊥SE，又AB⊥EF，EF∩SE＝E，
∴AB⊥平面SEF，
设∠SEF＝α，则α∈（0，π），
如图，分别以BC，BA所在直线为x轴，y轴，以过B且垂直平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
根据题意易知AE=12AB＝1，又AB＝2，BC＝1，
∴B（0，0，0），A（0，2，0），C（1，0，0），S（csα，1，sinα），
∴SC→=（1﹣csα，﹣1，﹣sinα），BA→=（0，2，0），BS→=（csα，1，sinα），
设平面SAB的法向量为n→=（x，y，z），
则n→⋅BA→=2y=0n→⋅BS→=xcsα+y+zsinα=0，取n→=（sinα，0，﹣csα），
∴SC与平面SAB所成角的正弦值为：
|cs＜SC→，n→＞|=|SC→⋅n→||SC→|⋅|n→|=sinα(1−csα)2+1+sin2α=1−cs2α3−2csα，α∈（0，π），
令t＝3﹣2csα，则csα=3−t2，
∵α∈（0，π），∴csα∈（﹣1，1），∴t∈（1，5），
设SC与平面SAB所成角的正弦值为f（t），
则f（t）=1−(3−t2)2t=−14(5t+t)+32≤−14×25+32=3−52，
当且仅当5t=t，即t=5时，等号成立，
又SC与平面SAB所成角的最大值为θ，∴sinθ=3−52．
故答案为：3−52．
【点评】本题考查向量法求解线面角问题，函数建模，函数思想，换元法的应用，基本不等式的应用，属难题．
9．三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=6，点Q为平面ABC内的动点，且满足PQ=3，记直线PQ与直线AB的所成角为θ，则sinθ的最小值为 63 ．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】63．
【分析】以BC中点O为原点，分别以AO、BC所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系，设Q（x，y，0），通过csθ＝|cs＜PQ→，AB→＞|可求得θ取值范围，即可求得sinθ的最小值．
【解答】解：如图所示：
以BC中点O为原点，分别以AO、BC所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系，
三棱锥P﹣ABC中，∵PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC=6，
∴AB＝BC＝CA＝23，点P在平面ABC上射影为等边△ABC的中心．
则A（﹣3，0，0），B（0，−3，0），C（0，3，0），P（﹣1，0，2），
设Q（x，y，0），
∵PQ=3，∴PQ2＝3，则（x+1）2+y2+2＝3，即（x+1）2+y2＝1，
∴可设Q（sinβ﹣1，csβ，0），β∈[0，2π]，
则PQ→=（sinβ，csβ，−2），AB→=（3，−3，0），
∴csθ＝|cs＜PQ→，AB→＞|＝|PQ→⋅AB→|PQ→|⋅|AB→|=|3sinβ−3csβ3⋅23|=33|sin（β−π6）|，
∵β∈[0，2π]，∴β−π6∈[−π6，11π6]，得|sin（β−π6）|∈[0，1]，
∴csθ∈[0，33]，
又∵θ∈[0，π2]，∴sinθ∈[63，1]．
即sinθ的最小值为63．
故答案为：63．
【点评】本题考查空间向量应用、异面直线所成角，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．
10．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 15 ．
【考点】分层随机抽样．
【专题】概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分层抽样的定义和方法，先求出每个个体被抽到的概率，再根据用样本容量除以个体总数得到的值就等于每个个体被抽到的概率，由此求得样本容量．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率等于 7350=150．
设样本容量等于n，则有 n750=150，解得n＝15，
故答案为15．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
11．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 182 人．
【考点】分层随机抽样．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可先计算抽样比，再由抽样比求总人数．
【解答】解：设该校其他教师有x人，则x26+104+x=1656，∴x＝52，故全校教师共有26+104+52＝182人．
故答案为：182
【点评】本题考查基本的分层抽样，统计是高考的新增内容，要求不高，但概念要清晰．
12．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 60 人．
【考点】简单随机抽样．
【答案】见试题解答内容
【分析】在抽取的500人的样本中，有23名男性不能自理，有21名女性不能自理，所以500人中，男性比女性多2人，而总人数是15000，是样本的30倍，所以男性比女性多60人．
【解答】解：由表得(23−21)×15000500=2×30=60．
故答案为：60
【点评】在抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在调查某一事件时，若总体的个体较多，不能一一考查，通常采用抽取样本来调查．
13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 120 ．
【考点】简单随机抽样．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．
【解答】解：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为1100，
∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为1100×5=120．
故填：120．
【点评】不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．
三．解答题（共9小题）
14．如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面EAB⊥底面ABCD，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；
（2）求二面角B﹣AC﹣E大小的正切值；
（3）试探求点D到平面ACE的距离d与四面体ACED外接球半径R的大小关系，并说明理由．
【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；空间中点到平面的距离；平面与平面垂直．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）2；（3）d＜R，理由见解析．
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而BC⊥AE，又BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，得到AE⊥平面BCE，得到面面垂直；
（2）作出辅助线，证明出线线垂直，得到∠BOF或其补角为二面角B﹣AC﹣E的平面角，求出各边长，得到正切值；
（3）作出辅助线，由等体积法求出点D到平面ACE的距离d=233，并找到四面体的外接球球心，求出半径，比较出大小．
【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是边长为2的正方形，
∴BC⊥AB，
∵平面EAB⊥底面ABCD，交线为AB，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面EAB，
∵AE⊂平面EAB，∴BC⊥AE，
∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCE，
∴AE⊥平面BCE，
又AE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCE；
（2）连接BD，交AC于点O，连接OF，
∵底面ABCD是边长为2的正方形，
∴AC⊥BO，由勾股定理得BD=AC=22+22=22，故BO=2，
∵BF⊥平面ACE，AC，OF⊂平面ACE，
∴BF⊥AC，BF⊥OF，
∵BO∩BF＝B，BO，BF⊂平面OBF，
∴AC⊥平面OBF，
∵OF⊂平面OBF，∴AC⊥OF，
∴∠BOF或其补角为二面角B﹣AC﹣E的平面角，
由（1）知，AE⊥平面BCE，
BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE，
又AE＝BE，AB＝2，由勾股定理得AE=BE=2，
由（1）知，BC⊥平面EAB，EB⊂平面EAB，
∴BC⊥EB，
由勾股定理得CE=BC2+BE2=6，
∴BF=BE⋅BCCE=233，
∵BF⊥OF，
∴OF=BO2−BF2=63，
∴tan∠BOF=BFOF=23363=2，
∴二面角B﹣AC﹣E大小的正切值为2；
（3）d＜R，理由如下：
取AB的中点G，连接EG，OG，OE，
∵AE＝BE，∴EG⊥AB，∴EG为三棱锥E﹣ACD的高，
又AE⊥BE，∴EG=12AB=1，
VD−ACE=VE−ACD=13S△ACD⋅EG=13×12×2×2×1=23，
由CE=6，AC=22，AE=2，
得CE2+AE2＝AC2，
由勾股定理逆定理得CE⊥AE，
∴S△AEC=12AE⋅CE=3，
∴点D到平面ACE的距离d=3VD−ACES△AEC=23=233，
∵O为BD中点，∴OG=12AD=1，OG∥AD，
∴OG⊥平面ABE，∵EG⊂平面ABE，∴OG⊥EG，
由勾股定理得OE=OG2+GE2=12+12=2，
又OA=OB=OC=OD=2，
故点O为四面体ACED外接球球心，
故外接球半径R=2，
显然233＜2，故d＜R．
【点评】本题考查面面垂直的判定以及二面角的计算，属于难题．
15．如图，在四面体PADE中，C为棱PD上一点，AC＝1，AE=233，CE=33，且AC⊥PD，PD⊥DE，二面角C﹣AE﹣D的大小为π6．
（1）证明：AC⊥平面PDE；
（2）求四面体ACDE的外接球的体积；
（3）求DE的长．
【考点】球的体积；直线与平面垂直；球内接多面体．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）43π27；
（3）21515．
【分析】（1）利用勾股定理可证得AC⊥CE，再结合AC⊥PD以及线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）推导出AC⊥平面PDE，PD⊥DE，将四面体ACDE补成长方体ANST﹣CMED，计算出长方体外接球的半径，再结合球体体积公式可求得结果；
（3）以点C为坐标原点，CA→、DE→、CP→的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设∠ECD＝α，α∈(0，π2)，利用空间向量法求出sinα的值，即可求出线段DE的长．
【解答】解：（1）证明：因为AC＝1，AE=233，CE=33，
所以CE2+AC2＝AE2，所以AC⊥CE，
又AC⊥PD，PD∩CE＝C，
所以AC⊥平面PDE；
（2）因为AC⊥平面PDE，DE⊂平面PDE，所以AC⊥DE，
由题可知PD⊥DE，CD⊥DE，又AC∩CD＝C，
所以DE⊥平面ACD，又AD⊂平面ACD，
所以DE⊥AD，
又AC⊥平面PDE，即AC⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，
所以AC⊥CE，又DE⊥AD，
所以该球的直径2R为AE的长度，
所以2R=233，所以R=33，
所以四面体ACDE的外接球的体积为43πR3=43π×(33)3=43π27．
（3）因为AC⊥平面PDE，CD⊥DE，
以点C为坐标原点，CA→、DE→、CP→的方向分别为x、y、z轴的正方向，建系如图：
设∠ECD＝α，α∈(0，π2)，
则C（0，0，0），E（0，33sinα，−33csα），A（1，0，0），D（0，0，−33csα），
所以DA→=(1，0，33csα)，EA→=(1，−33sinα，33csα)，CE→=（0，33sinα，−33csα），
设平面ACE的法向量为m→=(x，y，z)，
则m→⋅CE→=33ysinα−33zcsα=0m→⋅EA→=x−33ysinα+33zcsα=0，取m→=(0，csα，sinα)，
设平面ADE的法向量为n→=(a，b，c)，
则n→⋅DA→=a+33ccsα=0n→⋅EA→=a−33bsinα+33ccsα=0，取n→=(csα，0，−3)，
则|cs＜m→，n→＞=|m→⋅n→||m→||n→|=3sinαcs2α+3=csπ6，解得sinα=255，
所以DE=33sinα=21515．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，属难题．
16．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点．
（1）若C1M＝1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）若C1M＝2，求证BM⊥平面A1B1M．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直．
【专题】空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由C1D1∥B1A1，得∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成角，由此能示出异面直线A1M和C1D1所成角的正切值．
（2）C1M＝2时，由勾股定理得B1M⊥BM，A1M⊥BM，由此能证明BM⊥平面A1B1M．
【解答】（1）解：∵C1D1∥B1A1，
∴∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成角，
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥B1M，
∵AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点，C1M＝1，
∴B1M=B1C12+MC12=4+1=5，
∴tan∠B1A1M=B1MA1B1=52，
∴异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为52．
（2）证明：C1M＝2时，B1M＝BM=BC2+CM2=22，
∴B1M2+BM2=BB12，∴B1M⊥BM．
∵A1M2=A1C12+MC12=4+4+4＝12，
A1B2=16+4=20，
∴A1M2+BM2=A1B2，
∴A1M⊥BM，
又A1M∩B1M＝M，∴BM⊥平面A1B1M．
【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查直线与平面的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．
17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
【考点】直线与平面垂直；直线与平面所成的角；直线与平面平行．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；
（2）利用线线垂直证明线面垂直；
（3）由（2）知BC⊥面PAC，可得∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC、PB的值可得结论．
【解答】（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA …（1分）
因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．…（2分）
因为OM∥AC，因为AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC．…（3分）
因为OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面PAC …（5分）
（2）证明：因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．…（7分）
因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC；…（9分）
（3）解：由（2）知BC⊥面PAC，∴∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角．…（10分）
在Rt△PAC中，PC=PA2+AC2=5，
在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=3，
在Rt△PBC中，P=PC2+BC2=22⋯（12分）
∴sin∠BPC=BCPB=322=64．
∴直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为64⋯（14分）
【点评】本题考查面面平行，考查线面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面平行、线面垂直的判定方法，属于中档题．
18．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）
（1）求x，y；
（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
【考点】分层随机抽样；等可能事件和等可能事件的概率．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的方法，有x18=236=y54，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，可得从5人中抽取两人的情况数目与二人都来自高校C的情况数目，根据等可能事件的概率公式，计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，有x18=236=y54，解可得x＝1，y＝3；
（Ⅱ）根据题意，从高校B、C抽取的人共有5人，从中抽取两人共C52=10种，
而二人都来自高校C的情况有C32=3种；
则这二人都来自高校C的概率为310．
【点评】本题考查分层抽样的方法与等可能事件概率的计算，难度不大，注意组合数公式的运用．
19．为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂，
（Ⅰ）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
【考点】分层随机抽样；古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先计算A，B，C区中工厂数的比例，再根据比例计算各区应抽取的工厂数．
（2）本题为古典概型，先将各区所抽取的工厂用字母表达，
分别计算从抽取的7个工厂中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．
【解答】（1）解：工厂总数为18+27+18＝63，
样本容量与总体中的个体数比为763=19，
所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2、
（2）设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，
B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，
C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，
这7个工厂中随机的抽取2个，
全部的可能结果有：C72种，
随机抽取2个工厂至少有一个来自A区的结果有
（A1，A2），（A1，B2）（A1，B1）（A1，B3）（A1，C2）（A1，C1），
同理A2还能组合5种，一共有11种．
所以所求的概率为11C72=1121
【点评】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．
20．为了了解一个小鱼塘里的总产量，从这个小鱼塘中的不同位置捕捞出12条鱼，称得重量如下（单位：千克）：
1.15，1.04，1.11，1.07，1.10，1.02，
1.05，1.16，1.09，1.13，1.10，1.18．
将上面捕捞出来的12条鱼分别作一记号后再放回鱼塘，几天后从鱼塘中的不同地方捕捞出108条鱼，其中带有记号的鱼有3条，则鱼塘中的总产量约为多少？
【考点】收集数据的方法．
【专题】计算题；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】鱼塘中的鱼有n条，则12n=3108，由此能估计鱼塘中鱼的条数，计算x，即可求得结论．．
【解答】解：设鱼塘中的鱼有n条，则12n=3108，
解得n＝432．
∵x=112（1.15+1.04+…+1.18）＝1.10千克，
∴鱼塘中的总产量约为432×1.10＝475.2千克．
【点评】本题考查收集数据的方法的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
21．从2016年3月8日起，进行自主招生的高校陆续公布招生简章，某市教育部门为了调查几所重点高中的学生参加今年自主招生的情况，选取了文科生与理科生的同学作为调查对象，进行了问卷调查，其中，“参加自主招生”、“不参加自主招生”和“待定”的人数如表：
（1）在所有参加调查的同学中，用分层抽样方法抽取n人，其中“参加自主招生”的同学共36人，求n的值；
（2）在“不参加自主招生”的同学中仍然用分层抽样方法抽取5人，从这5人中任意抽取2人，求至少有一个是理科生的概率．
【考点】收集数据的方法；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层随机抽样．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据分层抽样原理，列出方程求出n的值；
（2）求出所抽取的5人中文科生、理科生各有多少人，用列举法计算所有的基本事件数，求出对应的概率即可．
【解答】解：（1）由题意，120+780120+780+300+200+180+420=36n，解得n＝80；
（2）设所抽取的5人中，文科生有5×300300+200=3人，记为a、b、c，
理科生有2人，记为D、E；
所以从这5人中任取2人的所有基本事件为
ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种，
其中至少有1个理科生的基本事件是
aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE共7种，
故所求的概率为P=710．
【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．
22．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC＝60°．∠BAC＝60°，
（Ⅰ）求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）已知点D满足BD→=BA→+BC→，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】压轴题；探究型；转化思想；待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出AA1向量，平面AA1C1C的法向量，然后求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求出BD→=BA→+BC→，设出P的坐标，使DP∥平面AB1C，即DP→与法向量共线，再求出P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，
∴A1O⊥平面ABC．又∠ABC＝∠A1AC＝60°，且各棱长都相等，
∴AO＝1，OA1＝OB=3，BO⊥AC．（2分）
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则
A（0，﹣1，0），B（3，0，0），A1（0，0，3），
C（0，1，0），AA1→=(0，1，3)；
∴AB1→=(3，2，3)，AC→=(0，2，0)．（4分）
设平面AB1C的法向量为n→=（x，y，1）
则n→⋅AB1→=3x+2y+3n→⋅AC→=2y=0，
解得n→=（﹣1，0，1）．（6分）
由cs＜AA1→，n→＞=AA1→⋅n→|AA1→|⋅|n→|=322=64．
而侧棱AA1与平面AB1C所成角，
即是向量AA1→与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为64．（6分）
（Ⅱ）∵BD→=BA→+BC→，
而BA→=(−3，−1，0)，BC→=(−3，1，0)．
∴BD→=(−23，0，0)．（8分）
又∵B（3，0，0），∴点D的坐标为D（−3，0，0）．
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z）．
∴DP→=(3，y，z)
∵DP∥平面AB1C，n→=（﹣1，0，1）为平面AB1C的法向量，
∴由AP→=λAA1→，得y+1=λ3=λ3，∴y＝0．（11分）
又DP⊄平面AB1C，
故存在点P，使DP∥平面AB1C，其坐标为（0，0，3），即恰好为A1点．（12分）
【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，具有探索性特点，是难度较大题目．
考点卡片
1．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
棱柱1．两个底面互相平行2．侧面都是四边形3．侧棱互相平行
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
2．球内接多面体
【知识点的认识】
1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球．
球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球．
2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）球心与多面体中心的位置关系；
（2）球的半径与多面体的棱长的关系；
（3）球自身的对称性与多面体的对称性；
（4）能否做出轴截面．
3、球与多面体的接、切中有关量的分析：
（1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：
①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；
②正方体的四个顶点都在球面上；
③球半径和正方体棱长的关系：r=32a．
（2）球外切正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：
①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；
②球与正方体每个面的切点都是每个面的中心点；
③球半径和正方体棱长的关系：r=12a．
3．球的体积
【知识点的认识】
球的体积依赖于球的半径r，计算公式为43πr3．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为43πr3．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行体积计算．
【命题方向】
﹣球的体积计算：考查如何根据球的半径计算体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的体积计算．
4．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
5．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
6．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
7．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
8．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
9．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，π2）；直线和平面所成的角的范围为[0，π2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为a→，平面的法向量为u→，直线与平面所成的角为θ，a→与u→的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|=|a→⋅u→||a→||u→|．
10．几何法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，π2）；直线和平面所成的角的范围为[0，π2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．
【解题方法点拨】
具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算直线与平面之间的夹角．
11．几何法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
【解题方法点拨】
求二面角的平面角：在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算两平面之间的夹角．
12．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
13．空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：
d=|Ax1+By1+Cz1+D|A2+B2+C2
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离．
14．等可能事件和等可能事件的概率
【知识点的认识】
等可能事件：如果一个事件中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，这种事件叫等可能事件．比方说买彩票，那么你每买一张彩票，在没看之前它们中奖的概率是相等的，也就是说每张彩票中奖的概率是等可能事件．
【解题方法点拨】
例：判断下列事件是否为等可能事件：
（1）买一张体育彩票，有中奖和没中奖两种可能；
（2）小丽被选为班长与没有被选为班长；
（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上
解：（1）买一张体育彩票，没中奖的可能较大，不是等可能事件；
（2）小丽没有被选为班长的可能较大，不是等可能事件；
（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上的可能相等，是等可能事件．
这里面的第一问是不是感觉不对呢？其实它问的是中奖和不中奖的概率是不是相等的，并不是说每一张彩票中奖的概率是否相等，所以解答是正确的．通过这个例题，可以用一句话来概括：概率相等的两个事件就是等可能事件．
例：甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（ ）
A：先抽的概率大些 B：三人的概率相等 C：无法确定谁的概率大 D：．以上都不对
解：∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是13，
故选：B．
比较常见的等概率事件一般为购买彩票、抽签等等．这个例题可以看出等概率事件并不会因为顺序的改变而改变其发生的概率，同时也通过这个例题我们也知道了如何求这个概率（1n）．
【命题方向】
等可能事件应该说初中就已经学过了，我们只要知道它的概念就可以了．
15．古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=mn=A中所含的基本事件数基本事件总数．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）=mn求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
16．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的认识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
【解题方法点拨】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2=137144的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A．（−518，+∞） B．（﹣∞，718） C．（−718，518） D．（−518，718）
解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P=236=118
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，
∴直线l1、l2相交的概率P=3336=1112，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2=137144的内部，
∴（118−m）2+（1112）2＜137144，
解得−518＜m＜718
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即 m+n＝0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 n=220=0.1．…（4分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 P(A)=410=0.4．…（13分）
17．简单随机抽样
【知识点的认识】
1．定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．特点：
（1）有限性：总体个体数有限；
（2）逐个性：每次只抽取一个个体；
（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；
（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则每个个体被抽取的概率等于nN）
3．适用范围：总体中个数较少．
4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．
【解题方法点拨】
1．抽签法（抓阄法）
一般地，从个体总数为N的总体中抽取一个容量为k的样本，步骤为：
（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为1﹣N）；
（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；
（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；
（4）抽签：每次从箱中取出1个号签，连续抽取k次；
（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．
2．随机数表法．
〇随机数表：由0﹣9十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．
〇随机数表法：按一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法叫做随机数表法．
实现步骤：
（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；
（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；
（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；
（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．
【命题方向】
以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．
（1）考查简单随机抽样的特点
例：用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（ ）
A.1100 B.120 C.199 D.150
分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．
解答：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为1100，
∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为1100×5=120．
故选：B．
点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．
（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样
常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．
例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．
分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C不是简单随机抽样，D是简单随机抽样．
解答：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；
D是简单随机抽样．
故选D．
点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．
（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作
例：利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）
C.014 D.146
分析：从随机数表12行第5列数开始向右读，最先读到的1个的编号是389，再向右三位数一读，将符合条件的选出，不符合的舍去，继续向右读取即可．
解答：最先读到的1个的编号是389，
向右读下一个数是775，775它大于499，故舍去，
再下一个数是841，舍去，
再下一个数是607，舍去，
再下一个数是449，
再下一个数是983．舍去，
再下一个数是114．
读出的第3个数是114．
故选B．
点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．
18．分层随机抽样
【知识点的认识】
1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”．
2．三种抽样方法比较
【解题方法点拨】
分层抽样方法操作步骤：
（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；
（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（3）确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．
【命题方向】
（1）区分分层抽样方法
例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．
故选D
点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．
（2）求抽取样本数
例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ）
A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4
分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．
解答：每个个体被抽到的概率等于1654+42=16，54×16=9，42×16=7．
故从一班抽出9人，从二班抽出7人，
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．
例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A.35 B.25 C.15 D.7
分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．
解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，
所以样本容量为7715=15．
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．
19．收集数据的方法
【知识点的认识】
数据收集的基本方法：
（1）做试验：通过设计一些合适的试验，能够直接地获得样本数据，如统计一颗骰子各点出现的频率，就可做抛掷骰子试验．
（2）查阅资料：有些数据不易直接调查到，可通过查阅图书馆文献或通过搜索因特网上的相关资料等办法获得所需数据或相关数据．
（3）设计调查问卷：问卷一般由一组有目的、有系统、有顺序的题目组成．
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性别
人数
生活能否自理
男
女
能
178
278
不能
23
21
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
参加
不参加
待定
文科生
120
300
180
理科生
780
200
420
题号
1
2
3
4
答案
D
C
D
A
性别
人数
生活能否自理
男
女
能
178
278
不能
23
21
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
参加
不参加
待定
文科生
120
300
180
理科生
780
200
420
位置关系
共面情况
公共点个数
图示
相交直线
在同一平面内
有且只有一个

平行直线
在同一平面内
无

异面直线
不同时在任何一个平面内
无

等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的
从总体中逐个抽取

总体中的个体数较少
系统抽样
将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成