数学高二下学期精品期中模拟试卷（含详细解析）

这是一份数学高二下学期精品期中模拟试卷（含详细解析），共111页。试卷主要包含了已知函数f，在100件产品中，有3件是次品，设函数f，若函数f，已知向量a→=等内容，欢迎下载使用。
1．等差数列{an}中，a1+a7＝20，S5＝35，则a20＝（ ）
A．54B．56C．58D．61
2．已知函数f（x）的导数为f'（x），且满足f（x）＝x2+3xf'（3），则f'（3）＝（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
3．某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（ ）
A．21种B．30种C．42种D．60种
4．在100件产品中，有3件是次品．现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（ ）
A．C32C973
B．C32C973+C33C972
C．C1005−C31C974
D．C1005−C975
5．若(x−2x)n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ）
A．160B．60C．﹣160D．﹣60
6．在正项等比数列{an}中，已知a2＝1，a3+a4＝6，则a1a4＝（ ）
A．1B．2C．4D．8
7．设函数f（x）＝lnx﹣ax2在（1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0，12]B．[12，+∞)C．（0，1]D．[1，+∞）
8．若函数f（x）＝ex+ax恰有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1e)B．（﹣e，0）
C．(−e，0)∪(0，1e)D．（﹣∞，﹣e）
9．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣2，t），且a→∥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．2B．5C．10D．5
10．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝an+2n﹣1，则a7＝（ ）
A．43B．46C．37D．36
11．已知随机变量X的概率分布如表则E（5X+4）＝（ ）
A．1B．2.2C．11D．15
12．某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（ ）
A．37B．47C．57D．67
13．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的右支上有一点A，AF1与双曲线的左支交于B，线段AF2的中点为M，且满足BM⊥AF2，若∠F1AF2=π3，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3B．5C．6D．7
14．设平面向量a→，b→满足|a→|=12，b→=(1，22)，a→⋅b→=18，则b→在a→方向上的投影向量为（ ）
A．18a→B．18b→C．12a→D．12b→
15．已知函数f（x）＝x+sinx，则f'（0）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足DP→=13DD1→，则直线AP与直线D1B所成角的余弦值为（ ）
A．−23015B．23015C．3015D．3020
17．已知函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x2）是极小值B．f（x3）是极小值
C．f（x4）是极大值D．f（x5）是极大值
18．在数列{an}中，若a1＝1，an+1=42−an，则a12＝（ ）
A．﹣2B．−43C．1D．4
19．已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f'（1）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
20．二项式(2x3−1x)8的展开式的常数项是（ ）
A．﹣112B．112C．﹣122D．122
21．侧面积为2π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．2155B．155C．2D．1
22．已知抛物线x2＝﹣2py（p＞0）的准线平分圆x2+（y﹣2）2＝1，则p＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
二．多选题（共6小题）
（多选）23．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
（多选）24．设复数z=1+2i1+i，则（ ）
A．z的实部为32B．z=32−12i
C．z的虚部为12iD．|z|＝1
（多选）25．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)=2cs(2x−π3)
B．满足f（x）＞1的x的取值范围为（kπ，kπ+π3）（k∈Z）
C．将函数f（x）的图象向右平移π12个单位长度，得到图象的一条对称轴x=π3
D．函数f（x）与g（x）＝﹣2cs2x的图象关于直线x=π3对称
（多选）26．如图所示是y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，下列结论中正确的有（ ）
A．f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数
B．f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数
C．x＝2是f（x）的极大值点
D．x＝﹣1是f（x）的极小值点
（多选）27．设a＝lg32，b＝lg43，c＝lg54，则（ ）
A．a＜bB．b＜cC．a＞cD．无法确定
（多选）28．设z为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．|z|2＝zz
B．若z＝（1﹣2i）2，则复平面内z对应的点位于第二象限
C．z2＝|z|2
D．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2
三．填空题（共10小题）
29．若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，则C的离心率为 ．
30．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，D是AB边上一点，CD⊥AB，则CD＝ ．
31．(1x−2x)6的展开式的第四项为 ．
32．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b=22，A＝45°，则B＝ ．
33．如图，表面积为100π的球面上有四点S，A，B，C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥C﹣SAB体积的最大值为 ．
34．已知函数f（x）＝lnx+x，则f（x）在x＝1处切线斜率为 ．
35．在四棱锥P﹣ABCD中，AB→=（4，﹣2，3），AD→=（﹣4，1，0），AP→（﹣6，2，﹣8），则该四棱锥的高为 ．
36．若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为 ．
37．已知(2x−1)6=a6x6+a5x5+⋅⋅⋅+a1x+a0，则a0+a2+a4+a6＝ ．
38．已知向量a→，b→是单位向量，a→与b→的夹角为120°，则|a→+2b→|= ．
四．解答题（共19小题）
39．已知公差为整数的等差数列{an}中，a4＝12，且a1﹣1，a3，a8成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=4an(an−2)，求数列{bn}的前n项和Sn．
40．已知f(x)=13x3+ax2−3x（a∈R）在x＝﹣3处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．
41．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=π3，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面PAD．
（2）求平面AEF与平面AED夹角的余弦值．
42．已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a∈R)．
（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（2）若f（x）既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
43．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），直线l与C交于A，B两点．
（1）若线段AB的中点为M(32，1)，求|AB|；
（2）若A，B分别在第一象限和第四象限，且恒有OA→⋅OB→=12（O为坐标原点），证明：直线l过定点．
44．已知函数f（x）＝lnx+x2+ax+2在点（2，f（2））处的切线的斜率为32．
（1）求a；
（2）求f（x）的单调区间和极值．
45．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，N分别为DP和AB的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值．
46．已知数列{an}，a1=1，an+1=2an−csnπ2+2sinnπ2(n∈N∗)．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式；
（3）设{n(an−2n)}的前n项和为Tn，若Tm=2024(m∈N∗)，求m．
47．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P(22，32)在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线MN过定点；
（3）求△MNF2面积的最大值．
48．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PM＝MC，PA＝2AD＝2，且∠PAB＝∠PAD＝60°，底面ABCD为正方形．
（1）设AB→=a→，AD→=b→，AP→=c→，试用a→，b→，c→表示向量BM→；
（2）求BM的长．
49．设函数f（x）＝﹣x3﹣x2+x+2．
（1）求f（x）在x＝﹣2处的切线方程；
（2）求f（x）的极大值点与极小值点；
（3）求f（x）在区间[﹣5，0]上的最大值与最小值．
50．已知公差不为0的等差数列{an}首项a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an⋅2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
51．已知函数f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x+1．
（1）求曲线y＝f（x）过点（1，1）处的切线；
（2）若曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线平行，求t的值．
52．已知函数f（x）＝ex﹣2，g（x）＝ax+lnx﹣1，a∈R．
（1）讨论函数g（x）的单调性；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）存在零点，求实数a的取值范围．
53．设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为110，112，115，120．
（1）若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率．
（2）若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率．
54．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，|MN|＝3，tan∠MF1N=247．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k3，且k1+k2＝2，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
55．设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，F2分别是C的左、右焦点，C上的点到F1的最小距离为1，P是C上一点，且△PF1F2的周长为6．
（1）求C的方程；
（2）过点F2且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：|AB|2|MN|为定值．
56．某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）根据以上表格中的数据求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移2π3个单位长度，得到函数g（x）的图象．当x∈[−π6，5π6]时，关于x的方程g（x）＝a恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
57．已知等差数列{an}满足a1＝1，a4＝4；数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a5，数列{bn﹣an}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．
数学高二下学期精品期中模拟试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
二．多选题（共6小题）
一．选择题（共22小题）
1．等差数列{an}中，a1+a7＝20，S5＝35，则a20＝（ ）
A．54B．56C．58D．61
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，列方程求解即可．
【解答】解：设公差为d，则由a1+a1+6d=205a1+10d=35，解得：a1=1d=3，
∴a20＝a1+19d＝58．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知函数f（x）的导数为f'（x），且满足f（x）＝x2+3xf'（3），则f'（3）＝（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由f（x）＝x2+3xf'（3）⇒f′（x）＝2x+3f'（3），再令x＝3即可求得答案．
【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf'（3），
∴f′（x）＝2x+3f'（3），
令x＝3，则f′（3）＝2×3+3f'（3），
解得：f'（3）＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查导数的应用，熟练掌握求导公式是解决问题的关键，属于中档题．
3．某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（ ）
A．21种B．30种C．42种D．60种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】把4人分成2个组，选择2个社团，把2个组分配给2个社团．
【解答】解：4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2 人，有C41+C42A22种方案，
3个社团选择2个社团，有C32种方案，
把2个组分配给2个社团，有A22种方案，
由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（C41+C42A22）C32A22=42种．
故选：C．
【点评】本题主要考查了排列组合知识的应用，属于基础题．
4．在100件产品中，有3件是次品．现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（ ）
A．C32C973
B．C32C973+C33C972
C．C1005−C31C974
D．C1005−C975
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．
【解答】解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，
“有2件次品”的抽取方法有C32C973种，
“有3件次品”的抽取方法有C33C972种，
则共有C32C973+C33C972种不同的抽取方法，
故选：B．
【点评】本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．
5．若(x−2x)n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ）
A．160B．60C．﹣160D．﹣60
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，得出n＝6，利用二项式展开式的通项Tr+1，求出r的值，即可求得结论．
【解答】解：根据题意，得n＝6，
(x−2x)n的展开式的通项为：
Tr+1=C6r•（x）6﹣r•（−2x）r＝（﹣2）r•C6r•x6−3r2，
令6−3r2=0，则r＝2，
∴展开式的常数项是（﹣2）2•C62=4×15＝60．
故选：B．
【点评】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求某一项的应用问题，是基础题目．
6．在正项等比数列{an}中，已知a2＝1，a3+a4＝6，则a1a4＝（ ）
A．1B．2C．4D．8
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比q，进而化简a1a4求值即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a3+a4=a2q+a2q2=q+q2=6，∴q＝2或q＝﹣3（舍）；
则a1a4=a2q×a2q2=12×4=2．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的定义的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7．设函数f（x）＝lnx﹣ax2在（1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0，12]B．[12，+∞)C．（0，1]D．[1，+∞）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用函数的导数，结合函数的单调性，推出a的不等式，利用二次函数的最值求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝lnx﹣ax2在（1，+∞）上单调递减，
所以当x∈（1，+∞）时，f′(x)=1−2ax2x≤0，
所以a≥12x2在x∈（1，+∞）时恒成立，
所以a∈[12，+∞)．
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
8．若函数f（x）＝ex+ax恰有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1e)B．（﹣e，0）
C．(−e，0)∪(0，1e)D．（﹣∞，﹣e）
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．
【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得：原题意等价于g(x)=xex与y=−1a有两个交点，求导，利用导数判断g(x)=xex的单调性，结合图象分析求解．
【解答】解：当a＝0时，则f（x）＝ex无零点，不符合题意；
当a≠0时，令f（x）＝ex+ax＝0，则xex=−1a，
故原题意等价于y=xex与y=−1a有两个交点，
构建g(x)=xex，则g′(x)=1−xex，
令g'（x）＞0，解得x＜1；令g'（x）＜0，解得x＞1；
则g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
可得g(x)≤g(1)=1e，且当x趋近于+∞时，g（x）趋近于0，
所以g（x）的图象如图所示，
由图象可得，若g(x)=xex与y=−1a有两个交点，则0＜−1a＜1e，
解得a＜﹣e，
故a的取值范围是（﹣∞，﹣e）．
故选：D．
【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
9．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣2，t），且a→∥b→，则|a→+b→|＝（ ）
A．2B．5C．10D．5
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得t的值，即可得向量b→和a→+b→的坐标，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量a→=（1，2），b→=（﹣2，t），且a→∥b→，
则有t＝2×（﹣2）＝﹣4，
则b→=（﹣2，﹣4），故a→+b→=（﹣1，﹣2）；
则|a→+b→|=1+4=5；
故选：B．
【点评】本题考查向量模的计算，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题．
10．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝an+2n﹣1，则a7＝（ ）
A．43B．46C．37D．36
【考点】数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】由递推公式an+1＝an+2n﹣1，用累加法公式an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1（n≥2）求出an，再求a7即可．
【解答】解：由题得an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1
=(2n−3)+(2n−5)+...+3+1+1=(n−1)[(2n−3)+1]2+1=n2−2n+2(n≥2)，
所以a7=72−2×7+2=37．
故选：C．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
11．已知随机变量X的概率分布如表则E（5X+4）＝（ ）
A．1B．2.2C．11D．15
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】由概率和为1可得a，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解．
【解答】解：依题意，0.4+a+0.3＝1，解得a＝0.3，
则E（X）＝1×0.4+2×0.3+4×0.3＝2.2，
所以E（5X+4）＝5E（X）+4＝5×2.2+4＝15．
故选：D．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望的性质，属于基础题．
12．某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（ ）
A．37B．47C．57D．67
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，由组合数公式计算出从8人中选出4人的情况，进而分两种情况讨论：选出的4人中2男2女，1男3女，再结合古典概型可解．
【解答】解：根据题意，从8人中选出4人，有C84=70种选法，
分2种情况讨论：
1．选出的4人中有2名男生和2名女生，有C32•C52=30种选法，
2．选出的4人中有1名男生和3名女生，有C31⋅C53=30种选法，
则两队中均有男生的概率是6070=67．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
13．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的右支上有一点A，AF1与双曲线的左支交于B，线段AF2的中点为M，且满足BM⊥AF2，若∠F1AF2=π3，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意可得△ABF2是等边三角形，设△ABF2的边长为m，利用双曲线的定义，推出m＝4a，从而知|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，再在△AF1F2中，利用余弦定理，求解即可．
【解答】解：因为M是线段AF2的中点，且BM⊥AF2，
所以|AB|＝|BF2|，
又∠F1AF2=π3，所以△ABF2是等边三角形，
设△ABF2的边长为m，
由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF2|﹣|BF1|＝2a，
所以|AF1|＝m+2a，|BF1|＝m﹣2a，
又|AF1|﹣|BF1|＝|AB|＝m，
所以m+2a﹣（m﹣2a）＝m，即m＝4a，
所以|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，
在△AF1F2中，由余弦定理知，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF2|csπ3，
所以（2c）2=36a2+16a2−2×6a×4a×12=28a2，
即c=7a，
所以离心率e=ca=7．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．设平面向量a→，b→满足|a→|=12，b→=(1，22)，a→⋅b→=18，则b→在a→方向上的投影向量为（ ）
A．18a→B．18b→C．12a→D．12b→
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用投影向量的计算公式求解．
【解答】解：∵|a→|=12，a→⋅b→=18，
∴b→在a→方向上的投影向量=a→⋅b→|a→|⋅a→|a→|=1812⋅112⋅a→=18a→．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
15．已知函数f（x）＝x+sinx，则f'（0）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用．
【答案】D
【分析】先求导，再代值计算即可．
【解答】解：函数f（x）＝x+sinx，
则f′（x）＝1+csx，
则f'（0）＝1+cs0＝1+1＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了导数的运算和导数值，属于基础题
16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足DP→=13DD1→，则直线AP与直线D1B所成角的余弦值为（ ）
A．−23015B．23015C．3015D．3020
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】数形结合；向量法；空间角；直观想象．
【答案】B
【分析】分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
【解答】解：如图分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为点P满足DP→=13DD1→，不妨令AD＝3，则有A（3，0，0），P（0，0，1），B（3，3，0），D1（0，0，3），
AP→=(−3，0，1)，D1B→=(3，3，−3)，cs＜AP→，D1B→＞=AP→⋅D1B→|AP→|⋅|D1B→|=−12330=−23015，
所以直线AP与直线D1B所成角的余弦值为23015，
故选：B．
【点评】本题考查了异面直线及其所成的角，属于基础题．
17．已知函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x2）是极小值B．f（x3）是极小值
C．f（x4）是极大值D．f（x5）是极大值
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用导函数的图象，结合导函数的符号，判断函数的极值即可．
【解答】解：由题意可知x∈（a，x1）时，f'（x）＞0，x∈（x1，x3）时，f'（x）＜0，x∈（x3，b）时，f'（x）≥0，
所以f（x3）是极小值，
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的判断，是基础题．
18．在数列{an}中，若a1＝1，an+1=42−an，则a12＝（ ）
A．﹣2B．−43C．1D．4
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；方程思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】根据递推公式计算出{an}的前几项即可发现{an}是周期数列，从而即可求出a12的值．
【解答】解：∵a1＝1，an+1=42−an，
∴a2=42−a1=4，a3=42−a2=−2，a4=42−a3=1＝a1，
∴{an}是以3为周期的周期数列，
∴a12＝a3×4＝a3＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查周期数列，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
19．已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f'（1）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值．
【解答】解：f′（x）＝2f′（1）+1x，
令x＝1，得到f′（1）＝2f′（1）+1，
解得：f′（1）＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
20．二项式(2x3−1x)8的展开式的常数项是（ ）
A．﹣112B．112C．﹣122D．122
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【解答】解：根据二项式的展开式Tr+1=C8r⋅28−r⋅(−1)r⋅x24−4r（r＝0，1，2，3，4，5，6，7，8），
当r＝6时，常数项为C86⋅22=112．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
21．侧面积为2π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．2155B．155C．2D．1
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】方程思想；定义法；立体几何；运算求解．
【答案】D
【分析】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，根据题意列方程组，即可求出r的值．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl＝2π，
由侧面展开图是一个半圆，则2πr＝πl，
解得l＝2，r＝1，
所以圆锥的底面半径为1．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征应用问题，是基础题．
22．已知抛物线x2＝﹣2py（p＞0）的准线平分圆x2+（y﹣2）2＝1，则p＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据圆的几何性质，抛物线的几何性质，即可求解．
【解答】解：根据题意可得抛物线的准线方程为y＝2，
∴p2=2，∴p＝4．
故答案为：B．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，圆的几何性质，属基础题．
二．多选题（共6小题）
（多选）23．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题；部分元素不相邻的排列问题；部分元素相邻的排列问题；简单组合问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】ABC
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算．
【解答】解：对于A：6门中选2门共有C62=15种选法，
故A正确；
对于B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，
有A22种排法，
然后全排列有A55=120种排法，
根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有A22A55=240种，
故B正确；
对于C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，
先排剩下的三门课程有A33=6种排法，
然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有A43=24种排法，
根据分步乘法计数原理，共有A33A43=144种排法，
故C正确；
对于D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，
再排“数”，有A55种排法，
若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有C41C41A44种排法，
所以共有A55+C41C41A44=504种排法，
故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属基础题．
（多选）24．设复数z=1+2i1+i，则（ ）
A．z的实部为32B．z=32−12i
C．z的虚部为12iD．|z|＝1
【考点】复数的除法运算．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学抽象；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据复数除法求出z，由复数的概念判断AC，根据共轭复数判断B，根据模的定义判断D．
【解答】解：因为z=1+2i1+i=(1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=1+2+2i−i2=32+12i，
所以z的实部为32，虚部为12，z=32−12i，|z|=(32)2+(12)2=102．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式，复数的基本概念，属于基础题．
（多选）25．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)=2cs(2x−π3)
B．满足f（x）＞1的x的取值范围为（kπ，kπ+π3）（k∈Z）
C．将函数f（x）的图象向右平移π12个单位长度，得到图象的一条对称轴x=π3
D．函数f（x）与g（x）＝﹣2cs2x的图象关于直线x=π3对称
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意，根据函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据三角函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象，可得A＝2，
2πω=11π12+π12，∴ω＝2．
再结合五点法作图，可得2×（−π12）+φ＝0，∴φ=π6，
故f（x）＝2sin（2x+π6）＝2cs（π3−2x）＝2cs（2x−π3），故A正确．
f（x）＞1，即sin（2x+π6）＞12，∴2kπ+π6＜2x+π6＜2kπ+5π6，k∈Z，
求得kπ＜x＜kπ+π3，k∈Z，可得x的取值范围为（kπ，kπ+π3）（k∈Z），故B正确；
将函数f（x）的图象向右平移π12个单位长度，可得函数y＝2sin2x的图象，
令x=π3，求得y=3，不是最值，得到图象的一条对称轴肯定不是x=π3，故C错误；
∵f（x）＝2sin（2x+π6）＝2cs（2x−π3），∴f（2π3−x）＝2cs（4π3−2x−π3）＝﹣2cs2x＝g（x），
故函数f（x）与g（x）＝﹣2cs2x的图象关于直线x=π3对称，故D正确，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，三角函数的图象和性质，属于中档题．
（多选）26．如图所示是y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，下列结论中正确的有（ ）
A．f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数
B．f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数
C．x＝2是f（x）的极大值点
D．x＝﹣1是f（x）的极小值点
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】函数思想；数形结合法；导数的综合应用；逻辑思维．
【答案】BCD
【分析】利用y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，对ABCD四个选项逐一判断即可．
【解答】解：由y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，可得，
当x∈（﹣3，﹣1）∪（2，4）时，f'（x）＜0，当x∈（1，2）∪（4，5）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在区间（﹣3，﹣1），（2，4）上是减函数，f（x）在区间（﹣1，2），（4，5）上是增函数，A错误，B正确；
∴x＝﹣1是f（x）的极小值点，x＝2是f（x）的极大值点，CD正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）27．设a＝lg32，b＝lg43，c＝lg54，则（ ）
A．a＜bB．b＜cC．a＞cD．无法确定
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，并与中间值比较，即可求解．
【解答】解：23＜32，
则lg23＜lg32，即3lg2＜2lg3，
故a＝lg32=lg2lg3＜23，
42＜33，
则2lg4＜3lg3，
故b=lg3lg4＞23，即a＜b，故A正确；
44＞35，
则4lg4＞5lg3，即b=lg3lg4＜45，
54＜45，
则4lg5＜5lg4，即c=lg4lg5＞45，即c＞b，故B正确．
故选：AB．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
（多选）28．设z为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．|z|2＝zz
B．若z＝（1﹣2i）2，则复平面内z对应的点位于第二象限
C．z2＝|z|2
D．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学抽象．
【答案】ABD
【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐个选项分析即可．
【解答】解：对于A，设z＝a+bi，故z=a−bi，则|z|2＝a2+b2，zz=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，故|z|2=zz成立，故A正确，
对于B，z＝（1﹣2i）2＝﹣4i﹣3，z=4i−3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B正确，
对于C，易知|z|2＝a2+b2，z2＝a2+b2+2abi，当ab≠0时，z2≠|z|2，故C错误，
对于D，若|z|＝1，则a2+b2＝1，而|z+i|=a2+(b+1)2=2b+2，易得当b＝1时，|z+i|最大，此时|z+i|＝2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了复数的运算及复数概念的应用，属于基础题．
三．填空题（共10小题）
29．若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，则C的离心率为 52 ．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】52．
【分析】利用双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，可得a＝2b，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，
∴a＝2b，
∴c=5b，
∴双曲线的离心率是e=ca=52．
故答案为：52．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．
30．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，D是AB边上一点，CD⊥AB，则CD＝ 43 ．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】对应思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】43．
【分析】先作出示意图，根据余弦定理求出cs∠B，进而求出sin∠B，再根据面积公式得到S△ABC，再根据以S△ABC=12×CD×AB=52CD求解即可．
【解答】解：根据题意作图如下：
因为AB＝5，BC＝7，AC＝8，所以cs∠B=BC2+AB2−AC22BC⋅AB=72+52−822×7×5=17，
所以sin∠B=1−cs2∠B=437，
所以S△ABC=12×BC×AB×sin∠B=103，
因为CD⊥AB，所以S△ABC=12×CD×AB=52CD，
所以52CD=103，
所以CD＝43．
故答案为：43．
【点评】本题主要考查解三角形，属于中档题．
31．(1x−2x)6的展开式的第四项为 ﹣160 ．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】对应思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】﹣160．
【分析】利用二项式的通项公式可求得答案．
【解答】解：(1x−2x)6的展开式的第四项为T4=C63(1x)3•（﹣2x）3＝﹣23×20＝﹣160．
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式及特定项的求法，属于基础题．
32．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b=22，A＝45°，则B＝ 30° ．
【考点】正弦定理．
【专题】对应思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】30°．
【分析】利用正弦定理可得sinB，结合大边对大角的性质可求得结果．
【解答】解：因为a＝4，b=22，A＝45°，
所以由正弦定理得：sinB=bsinAa=22sin45°4=12，
因为b＜a，所以B＜A＝45°，所以B＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
33．如图，表面积为100π的球面上有四点S，A，B，C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥C﹣SAB体积的最大值为 12（3+7） ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】12（3+7）．
【分析】由已知求得棱锥外接球的半径，进一步求得棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥C﹣SAB体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥C﹣SAB体积的最大值．
【解答】解：设球的半径为r，由球的表面积为100π，得4πr2＝100π，即r＝5，
设△ABC的中心为D，则OD＝3，∴AD＝4，则AB=43，
棱锥S﹣ABC的底面积S=34×(43)2=123，
欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，
又平面SAB⊥平面ABC，
∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO＝5，
点D到直线AB的距离为12AD=2，
则S到平面ABC的距离的最大值为3+52−22=21+3，
∴三棱锥C﹣SAB体积的最大值为V=13×123×（21+3）＝12（3+7）．
故答案为：12（3+7）．
【点评】本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
34．已知函数f（x）＝lnx+x，则f（x）在x＝1处切线斜率为 2 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数值得答案．
【解答】解：由f（x）＝lnx+x，得f′（x）=1x+1，
∴f′（x）＝2．
即f（x）在x＝1处切线斜率为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
35．在四棱锥P﹣ABCD中，AB→=（4，﹣2，3），AD→=（﹣4，1，0），AP→（﹣6，2，﹣8），则该四棱锥的高为 2 ．
【考点】棱锥的结构特征．
【专题】转化思想；向量法；立体几何．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出平面ABCD的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可．
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，AB→=（4，﹣2，3），AD→=（﹣4，1，0），AP→（﹣6，2，﹣8），
设平面ABCD的法向量为n→=（x，y，z），
则n→⋅AB→=0n→⋅AD→=0，
可得4x−2y+3z=0−4x+y=0，
不妨令x＝3，则y＝12，z＝4，
可得n→=（3，12，4）；
则AP→=（﹣6，2，﹣8）在平面ABCD上的射影就是这个四棱锥的高h，
所以h＝|AP→||cs＜AP→，n→＞|＝|AP→⋅n→|n→||=|−18+24−32|13=2；
所以该四棱锥的高为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查空间点到平面的距离公式的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
36．若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为 823 ．
【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据平行直线的性质求出a的值，再使方程中未知数的系数相同，利用两条平行直线间的距离公式d=|c2−c1|a2+b2，求得它们之间的距离．
【解答】解：若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则a−21=3a≠2a6，求得a＝﹣1，
故则l1与l2之的方程即：直线l1：x﹣y+6＝0与 l2：﹣3x+3y﹣2＝0，
即直线l1：x﹣y+6＝0与 l2：x﹣y+23=0，
l1与l2之间的距离为 |6−23|2=823，
故答案为：823．
【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d=|c2−c1|a2+b2 应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．
37．已知(2x−1)6=a6x6+a5x5+⋅⋅⋅+a1x+a0，则a0+a2+a4+a6＝ 365 ．
【考点】二项式定理．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】365．
【分析】利用赋值法，分别令x＝1与x＝﹣1，联立可求得a0+a2+a4+a6的值．
【解答】解：(2x−1)6=a6x6+a5x5+⋅⋅⋅+a1x+a0，
令x＝1，得a0+a1+a2+...+a6＝1，①
令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣...+a6＝36，②
①+②，得
2（a0+a2+a4+a6）＝36+1＝729+1＝730，
则a0+a2+a4+a6＝365．
故答案为：365．
【点评】本题考查二项式定理，考查赋值法的应用，属于基础题．
38．已知向量a→，b→是单位向量，a→与b→的夹角为120°，则|a→+2b→|= 3 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据数量积的定义求a→⋅b→，然后再根据向量的平方等于向量模的平方求|a→+2b→|．
【解答】解：因为a→⋅b→=|a→||b→|cs120°=−12，
所以|a→+2b→|=(a→+2b→)2=a→2+4a→⋅b→+4b→2=1+4×(−12)+4=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
四．解答题（共19小题）
39．已知公差为整数的等差数列{an}中，a4＝12，且a1﹣1，a3，a8成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=4an(an−2)，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】裂项相消法．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n+4；
（2）Sn=n2(n+2)．
【分析】（1）设出公差，根据条件得到方程，求出d＝2，从而得到通项公式；
（2）求出bn=1n+1−1n+2，裂项相消法求和得到答案．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
因为a1﹣1，a3，a8成等比数列，所以a32=(a1−1)a8，
又a4＝12，所以（12﹣d）2＝（12﹣3d﹣1）（12+4d），
解得d=613（舍去）或d＝2，
所以an＝12+2（n﹣4）＝2n+4．
（2）由（1）可得bn=4an(an−2)=4(2n+4)(2n+2)=1(n+2)(n+1)=1n+1−1n+2，
所以Sn=b1+b2+⋯+bn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2
=n+2−22(n+2)=n2(n+2)．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
40．已知f(x)=13x3+ax2−3x（a∈R）在x＝﹣3处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞）；单减区间为（﹣3，1）；（Ⅲ）最大值为9，最小值为−53．
【分析】（Ⅰ）求导，由题意可知f'（﹣3）＝0，进而得到a的值；
（Ⅱ）解关于导函数的不等式，即可得到单调性情况；
（Ⅲ）结合函数在[﹣3，3]上的单调性，得到函数的极值，比较极值和端点值，即可求得最值．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝x2+2ax﹣3，
由于f（x）在x＝﹣3处取得极值，
故f'（﹣3）＝0，解得a＝1，
经检验，当a＝1时，f（x）在x＝﹣3处取得极值，
故a＝1．
（Ⅱ）f'（x）＝x2+2x﹣3，由f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣3；由f'（x）＜0，得﹣3＜x＜1，
故f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞）；单减区间为（﹣3，1）．
（Ⅲ）由（Ⅱ），得f（x）极大值＝f（﹣3）＝9，f(x)极小值=f(1)=−53，又f（3）＝9，
所以函数f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值为9，最小值为−53．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于中档题．
41．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=π3，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面PAD．
（2）求平面AEF与平面AED夹角的余弦值．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；平面与平面垂直．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）55．
【分析】（1）由E为BC的中点，所以AE⊥BC，得到AE⊥AD，证得AE⊥PA，进而证得AE⊥平面PAD，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面AEF⊥平面PAD．
（2）以点A为原点，以AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面AEF与平面AED的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：（1）证明：因为底面ABCD是菱形，AB＝2且∠ABC＝60°，
所以△ABC是边长为2的等边三角形，
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又因为BC∥AD，所以AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以AE⊥PA，
又因为AD∩PA＝A，且AD，PA⊂平面PAD，所以AE⊥平面PAD，
因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．
（2）解：以点A为原点，以AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设P(0，0，2)，D(0，2，0)，E(3，0，0)，B(3，−1，0)，F(32，12，1)，
因为PA⊥平面ABCD，所以平面AED的一个法向量为m→=(0，0，1)，
AE→=(3，0，0)，AF→=(32，12，1)，
设平面AEF的法向量为n→=(x1，y1，z1)，则n→⋅AE→=3x1=0n→⋅AF→=32x1+12y1+z1=0，
取y1＝﹣2，可得x1＝0，z1＝1，所以n→=(0，−2，1)，
设平面AEF与平面AED的夹角为θ，
则csθ＝|cs＜m→，n→＞|＝|n→⋅m→|n→|⋅|m→||=15=55，
所以平面AEF与平面AED夹角的余弦值为55．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
42．已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a∈R)．
（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（2）若f（x）既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）y=1−e2e2x−2e；
（2）{a|a＞0且a≠1}．
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（2）先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系可求．
【解答】解：（1）因为a＝﹣1，f（x）＝﹣x−1x，
所以f′(x)=−1+1x2，
因此f′（e）=1e2−1=1−e2e2，f（e）＝﹣e−1e，
所以曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y+e+1e=1−e2e2（x﹣e），
即y=1−e2e2x−2e；
（2）因为f(x)=ax−1x−(a+1)lnx，
所以f′(x)=ax2−(a+1)x+1x2=(ax−1)(x−1)x2=
又因为f（x）既存在极大值，又存在极小值，则a≠0，
所以f′（x）=a(x−1a)(x−1)x2，
由题意得，1a＞01a≠1，解得a＞0且a≠1，
所以实数a的取值范围为{a|a＞0且a≠1}．
【点评】本题考查了导数的几何意义，一元二次方程的根的分布与系数的关系的应用，考查了转化思想，属于中档题．
43．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），直线l与C交于A，B两点．
（1）若线段AB的中点为M(32，1)，求|AB|；
（2）若A，B分别在第一象限和第四象限，且恒有OA→⋅OB→=12（O为坐标原点），证明：直线l过定点．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）|AB|＝5；
（2）证明见解答．
【分析】（1）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解；
（2）联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据向量的数量积运算即可证得结论．
【解答】解：（1）由题意知p2=1，解得p＝2，所以C的方程为y2＝4x．
由题易知直线AB的斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y12=4x1y22=4x2，可得y1−y2x1−x2=4y1+y2，
因为线段AB的中点为M(32，1)，所以y1+y2＝2，x1+x2＝3，
所以y1−y2x1−x2=4y1+y2=2，则AB的方程为y＝2x﹣2，显然AB过点F，
所以|AB|＝x1+x2+2＝5．
（2）由题可知l的倾斜角不为0，设直线l：x＝ty+m，
由x=ty+my2=4x，消去x，得y2﹣4ty﹣4m＝0，
则Δ＝（﹣4t）2﹣4（﹣4m）＝16t2+16m＞0，
y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4m，
则OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=（ty1+m）（ty2+m）+y1y2
=(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2
＝（t2+1）（﹣4m）+tm•4t+m2
＝﹣4m+m2＝12，解得m＝﹣2或m＝6，
当m＝﹣2时，y1y2＝8＞0，A，B在x轴的同一侧，不符合条件，
当m＝6时，直线l：x＝ty+6，过定点（6，0）．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的综合应用，属中档题．
44．已知函数f（x）＝lnx+x2+ax+2在点（2，f（2））处的切线的斜率为32．
（1）求a；
（2）求f（x）的单调区间和极值．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；导数与切线的斜率．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）a＝﹣3；
（2）f（x）的单调递增区间为(0，12)、（1，+∞），f（x）的单调递减区间为(12，1)，f（x）极大值34−ln2，极小值0．
【分析】（1）由f′(2)=32求得a；
（2）由f′(x)=(2x−1)(x−1)x确定f（x）的单调区间和极值．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝lnx+x2+ax+2
所以f′(x)=1x+2x+a，
则f′(2)=12+2×2+a=92+a=32，
解得a＝﹣3；
（2）由a＝﹣3，故f（x）＝lnx+x2﹣3x+2，
则f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，x＞0，
故当0＜x＜12时，f′（x）＞0，
当12＜x＜1时，f′（x）＜0，
当x＞1时，f′（x）＞0，
故f（x）的单调递增区间为(0，12)、（1，+∞），f（x）的单调递减区间为(12，1)，
故f（x）有极大值f(12)=ln12+(12)2−3×12+2=34−ln2，
有极小值f（1）＝ln1+12﹣3×1+2＝0．
【点评】本题考查导数的应用，属于中档题．
45．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，N分别为DP和AB的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）33．
【分析】（1）取PC中点E，连接ME，BE，利用中位线定理得到四边形BEMN为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）由题意得到△BCD≌△BCP，过P作PQ⊥BC于点Q，利用勾股定理和面面垂直的判定定理即可得证；
（3）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的法向量，利用线面角公式即可求解．
【解答】证明：（1）取PC中点E，连接ME，BE，
∵M为DP中点，N为AB中点，
∴ME∥12CD且ME=12CD，
又∵BN∥12CD且BN=12CD，
∴ME∥BN且ME＝BN，
∴四边形BEMN为平行四边形，
∴MN∥BE，
∵MN⊄平面PBC，BE⊂平面PBC，
∴MN∥平面PBC；
证明：（2）∵∠DCB=∠PCB=π4，CD=PC，BC=BC，
∴△BCD≌△BCP，过P作PQ⊥BC于点Q，∴DQ⊥BC，
∴PQ=DQ=2，PQ2+DQ2=4=PD2，∴PQ⊥DQ，
∴PQ⊥平面ABCD，
∵PQ⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD；
解：（3）如图建系，
则C(2，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，22，22)，A(−2，2，0)，
∴CM→=(−2，22，22)，AD→=(2，0，0)，DP→=(0，−2，2)，
设平面PAD的一个法向量n→=(x，y，z)，
∴2x=0−2y+2z=0⇒n→=(0，1，1)，
设CM与平面PAD所成角为θ，
∴sinθ=|CM→⋅n→||CM→||n→|=22+12+12⋅2=33．
【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
46．已知数列{an}，a1=1，an+1=2an−csnπ2+2sinnπ2(n∈N∗)．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式；
（3）设{n(an−2n)}的前n项和为Tn，若Tm=2024(m∈N∗)，求m．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）a2＝4，a3＝9；
（2）an=2n−sinnπ2；
（3）4047或4048．
【分析】（1）将n＝1，n＝2分别代入关系式运算即可．
（2）考查等比数列的构造，通过构造等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可．
（3）考查数列的周期性，通过对sinnπ2的周期性取值讨论求解即可．
【解答】解：（1）当n＝1时，得a2=2a1−csπ2+2sinπ2=4；
当n＝2时，得a3=2a2−cs2π2+2sin2π2=9．
（2）设an+1+αsin(n+1)π2+βcs(n+1)π2=2(an+αsinnπ2+βcsnπ2)，
整理得an+1=2an+(2β−α)csnπ2+(2α+β)sinnπ2，
又an+1=2an−csnπ2+2sinnπ2，
∴2β−α=−1，2α+β=2，解得α=1，β=0，
∴an+1+sin(n+1)π2=2(an+sinnπ2)，又a1+sinπ2=2，
∴{an+sinnπ2}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an+sinnπ2=2×2n−1=2n，∴an=2n−sinnπ2，
故{an}的通项公式为an=2n−sinnπ2．
（3）设bn=n(an−2n)=−n⋅sinnπ2，
设k∈N*，则当n＝4k+1时，sinnπ2=1；当n＝4k+2时，sinnπ2=0；
当n＝4k+3时，sinnπ2=−1；当n＝4k+4时，sinnπ2=0．
∴b4k+1+b4k+2+b4k+3+b4k+4＝﹣（4k+1）﹣（4k+3）×（﹣1）＝2．
若Tm=2024(m∈N∗)，则n=20242×4=4048或4047．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和数列的周期性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
47．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P(22，32)在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线MN过定点；
（3）求△MNF2面积的最大值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．
【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x22+y2=1；
（2）证明过程见详解；
（3）19．
【分析】（1）由题意可得：b＝c，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）方法一：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得M和N点坐标，求得MN方程，y=mm2−1（32x﹣1），令32x﹣1＝0，可得x=23，即有y＝0，则直线MN过定点R（23，0）；方法二：化简整理求得直线MN的方程，2（m4+m2﹣2）y＝（m3+2m）（3x﹣2），即可证明直线MN过定点R（23，0）；方法三：分别求得MR的斜率，将m用−1m代换，求得kNR，由kMR＝kNR，直线MN过定点R（23，0）；
（3）方法一：△F2MN面积为S=12|F2R|•|yM﹣yN|，由（2）可知M和N点坐标，根据函数的单调性，即可求得△MNF2面积的最大值；
方法二：根据两点之间的距离公式|MF2|及|NF2|，则△MNF2面积S=12×|MF2|×|NF2|，根据函数的单调性，即可求得△MNF2面积的最大值．
【解答】（1）解：因为椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点P（22，32），
且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，
则b＝c，a2＝b2+c2＝2b2，
所以12×2b2+34b2=1，解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆方程为：x22+y2=1；
（2）证明：设直线AB的方程为x＝my+1，m≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线CD的方程为x=−1my+1，
联立x=my+1x22+y2=1，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
点（0，1）点在椭圆上，所以Δ＞0，
则y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−1m2+2，
所以x1+x2＝（my1+1）+（my2+1）＝m（y1+y2）+2=4m2+2，
由中点坐标公式得M（2m2+2，−mm2+2），
方法一：将M的坐标中的m用−1m代换，得CD的中点N（2m22m2+1，m1+2m2），
kMN=3m2(m2−1)，
直线MN的方程为y+mm2+2=3m2(m2−1)（x−2m2+2），
即为y=mm2−1（32x﹣1），
令32x﹣1，可得x=23，则有y＝0，
则直线MN过定点R，且为R（23，0）；
方法二：将M的坐标中的m用−1m代换，得CD的中点N（2m22m2+1，m1+2m2），
则y+mm2+2=3m2(m2−1)（x−2m2+2），
整理得：2（m4+m2﹣2）y＝（m3+2m）（3x﹣2），
所以直线MN过定点R（23，0）；
方法三：则kMR=−mm2+2−02m2+2−23=3m2(m2−1)，则kNR=3×(−1m)2[(−1m)2−1]=3m2(m2−1)，
所以kMR＝kNR，
所以直线MN过定点R（23，0）；
（3）解：方法一：△F2MN面积为S=12|F2R|•|yM﹣yN|，
=12（1−23）•|−mm2+2−m1+2m2|=12|m3+m2m4+5m2+2|=12|m+1m2(m2+1m2)+5|，
令m+1m=t（t≥2），
则有S=12•t2t2+1=12•12t+1t在[2，+∞）递减，
所以当t＝2，即m＝1时，S取得最大值，且为19；
则△MNF2面积的最大值为19．
方法二：|MF2|=(2m2+2−1)2+(mm2+2)2=m4+m2m2+2，|NF2|=(−1m)4+(−1m)2(−1m)2+2，
则△MNF2面积S=12×|MF2|×|NF2|=1m+m4(m+1m)2+2，令m+1m=t（t≥2），
则S=t4t2+2=14t+2t≤19，当且仅当t＝2，即m＝1时，△MNF2面积的最大值为19．
所以△MNF2面积的最大值为19．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用，属于中档题．
48．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PM＝MC，PA＝2AD＝2，且∠PAB＝∠PAD＝60°，底面ABCD为正方形．
（1）设AB→=a→，AD→=b→，AP→=c→，试用a→，b→，c→表示向量BM→；
（2）求BM的长．
【考点】空间向量基底表示空间向量；点、线、面间的距离计算．
【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）−12a→+12b→+12c→．
（2）62．
【分析】（1）利用向量运算法则直接求解．
（2）求出|a→|=|b→|=1，|c→|=2，由AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，BM→=−12a→+12b→+12c→，利用向量法能求出BM的长．
【解答】解：（1）∵M是PC的中点，
∴BM→=12(BC→+BP→)，
∵AD→=BC→，∴BM→=12[AD→+(AP→−AB→)]，
结合AB→=a→，AD→=b→，AP→=c→，
得BM→=12[b→+(c→−a→)]=−12a→+12b→+12c→．
（2）∵AB＝AD＝1，PA＝2，
∴|a→|=|b→|=1，|c→|=2，∵AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，
∴a→⋅b→=0，a→⋅c→=b→⋅c→=2×1×cs60°=1，
由（1）知BM→=−12a→+12b→+12c→，
∴BM→2=(−12a→+12b→+12c→)2=14(a→2+b→2+c→2−2a→⋅b→−2a→⋅c→+2b→⋅c→)=14(1+1+4−0−2+2)=32，
∴|BM→|=62，即BM的长等于62．
【点评】本题考查向量的运算，考查线段长的求法，考查向量的运算法则、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
49．设函数f（x）＝﹣x3﹣x2+x+2．
（1）求f（x）在x＝﹣2处的切线方程；
（2）求f（x）的极大值点与极小值点；
（3）求f（x）在区间[﹣5，0]上的最大值与最小值．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）7x+y+10＝0；
（2）极小值点为x＝﹣1，极大值点为x=13；
（3）f（x）min＝1，f（x）max＝97．
【分析】（1）求导，求得f′（﹣2）及f（2），利用直线的点斜式方程，即可求得切线方程；
（2）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f（x）的单调区间及极值；
（3）由（2）可得f（x）在[﹣5，0]上的单调性，由单调性可求得最值．
【解答】解：（1）由题意可知，f′（x）＝﹣3x2﹣2x+1，则f′（﹣2）＝﹣12+4+1＝﹣7，
又f（﹣2）＝8﹣4﹣2+2＝4，
所以f（x）在x＝﹣2处的切线方程为y﹣4＝﹣7（x+2），即7x+y+10＝0，
所以f（x）在x＝﹣2处的切线方程7x+y+10＝0；
（2）令f′（x）＝﹣3x2﹣2x+1＝0，解得：x＝﹣1或x=13，
则x，f′（x），f（x）变化如表，
所以f（x）的极小值点为x＝﹣1，极大值点为x=13；
（3）由（2）可知：f（x）在[﹣5，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0]上单调递增；
又f（﹣5）＝125﹣25﹣5+2＝97，f（0）＝2，f（﹣1）＝1﹣1﹣1+2＝1，
所以f（x）min＝f（﹣1）＝1，f（x）max＝f（﹣5）＝97．
【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性，极值和最值的关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
50．已知公差不为0的等差数列{an}首项a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an⋅2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】裂项相消法；等比数列的性质．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝2n﹣1；
（2）Sn=(2n−3)⋅2n+1+6．
【分析】（1）根据条件，列出关于d的方程，即可求解；
（2）由（1）可知，bn=(2n−1)⋅2n，利用错位相减法求和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a1，a2，a5成等比数列，可得a22=a1a5，
得a1(a1+4d)=(a1+d)2，
解得d＝2a1＝2或d＝0（舍），
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）an＝2n﹣1，bn=(2n−1)⋅2n，
此时Sn=1×21+3×22+5×23+...+(2n−1)⋅2n，
2Sn＝1×22+3×23+...+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，
∴−Sn=1×21+2×22+2×23+...+2×2n−(2n−1)⋅2n+1，
−Sn=2+8(1+2+−2)−(2n−1)⋅2n+1，
＝（3﹣2n）•2n+1﹣6，
所以Sn=(2n−3)⋅2n+1+6．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
51．已知函数f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x+1．
（1）求曲线y＝f（x）过点（1，1）处的切线；
（2）若曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线平行，求t的值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）2x+y﹣3＝0或x﹣4y+3＝0；
（2）t=12．
【分析】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程；
（2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值．
【解答】解：（1）由导数公式得f′（x）＝﹣3x2+1，
设切点坐标为（x0，y0），设切线方程为：y﹣1＝k（x﹣1），
由题意可得：y0−1=k(x0−1)y0=−x03+x0+1k=−3x02+1，
所以x0=1y0=1k=−2或x0=−12y0=58k=14，
从而切线方程为2x+y﹣3＝0或x﹣4y+3＝0．
（2）由（1）可得：曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程为y＝﹣2x+3，
由g′（x）＝﹣2e﹣2x+1，可得曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线斜率为g′（t）＝﹣2e﹣2t+1，
由题意可得﹣2e﹣2t+1＝﹣2，从而t=12，
此时切点坐标为(12，1)，曲线y＝g（x）在x=12处的切线方程为y−1=−2(x−12)，
即y＝﹣2x+2，故符合题意，所以t=12．
【点评】本题考查导数的运算与几何意义，属于中档题．
52．已知函数f（x）＝ex﹣2，g（x）＝ax+lnx﹣1，a∈R．
（1）讨论函数g（x）的单调性；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）存在零点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解函数的单调性和单调区间．
【专题】函数思想；数形结合法；导数的综合应用；数学抽象；运算求解．
【答案】（1）答案见解析；
（2）[e﹣1，+∞）．
【分析】（1）对g（x）求导，分a＜0和a≥0讨论g′（x）与0的大小，即可得出函数g（x）的单调性；
（2）将题意转化为方程a=ex−lnx−1x有实数根，令H(x)=ex−lnx−1x，x＞0，对H（x）求导，得出H（x）的单调性与最值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由g(x)=ax+lnx−1，x＞0，a∈R，g′(x)=a+1x，
当a≥0时，g′(x)=a+1x＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，令g′(x)=a+1x=0，解得x=−1a，
当0＜x＜−1a时，g′（x）＞0，当x＞−1a时，g′（x）＜0，
所以函数g（x）在(0，−1a)上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减，
综上，当a≥0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，函数g（x）在(0，−1a)上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减．
（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，得a=ex−lnx−1x，
令H(x)=ex−lnx−1x，x＞0，
则H′(x)=(ex−1x)x−(ex−lnx−1)x2=(x−1)ex+lnxx2，
当0＜x＜1时，H′（x）＜0，当x＞1时，H′（x）＞0，
所以函数H（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以当x＝1时，H（x）取最小值H（1）＝e﹣1，
因为h（x）存在零点，即方程a=ex−lnx−1x有实数根，
所以a≥e﹣1．
即实数a的取值范围为[e﹣1，+∞）．
【点评】本题考查利用导数求函数的单调性和最值，是难题．
53．设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为110，112，115，120．
（1）若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率．
（2）若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率．
【考点】全概率公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）340；
（2）1033．
【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式与全概率公式计算即可得；
（2）借助全概率公式与条件概率公式计算即可得．
【解答】解：（1）记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件A1、A2、A3、A4，
“取到的电子元件是次品”为事件B，
由题意得P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=14，
又P(B|A1)=110，P(B|A2)=112，P(B|A3)=115，P(B|A4)=120，
所以P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）P（B|A4）
=14×110+14×112+14×115+14×120=340；
（2）由题意，得P(A1)=540=18，P(A2)=P(A3)=1040=14，P(A4)=1540=38，
又P(B|A1)=110，P(B|A2)=112，P(B|A3)=115，P(B|A4)=120，
所以P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）P（B|A4）
=18×110+14×112+14×115+38×120=11160，
所以P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=14×11211160=1033，
故若取到的电子元件是次品，则该电子元件是乙生产线生产的概率为1033．
【点评】本题主要考查全概率公式，以及条件概率公式，属于中档题．
54．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，|MN|＝3，tan∠MF1N=247．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k3，且k1+k2＝2，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x24+y23=1；
（2）证明过程见解析，直线l过定点(−3，−3)．
【分析】（1）由题意，列出有关a，b，c的等式求出a和b的值，进而可得椭圆的标准方程；
（2）对直线AB的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率不存在时，设出直线的方程，结合斜率公式即可求出直线的方程，当直线斜率存在时，设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数的关系将k1+k2＝2表示出来，再按部就班进行求证即可．
【解答】解：（1）因为过点F2作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，
将x＝c代入x2a2+y2b2=1中，
解得|y|=b2a，
所以2b2a=3，tan∠MF1F2=b2a2c=b22ac=34c，
此时tan∠MF1N=2tan∠MF1F21−tan2∠MF1F2=2(34c)1−(34c)2=247，
解得c＝1或c=−916（舍去），
因为a2=b2+c2，2b2a=3，
解得a=2，b=3，
则椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
（2）证明：当直线l斜率不存在时，
设直线l的方程为x＝x1，A（x1，y1），B（x1，﹣y1），
此时k1+k2=y1−3x1+−y1−3x1=−23x1=2，x1=−3，
则直线l的方程为x=−3；
当直线l斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立y=kx+bx24+y23=1，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0，
此时Δ＝64k2b2﹣16（3+4k2）（b2﹣3）＞0，
解得4k2+3＞b2，
由韦达定理得x1+x2=−8kb3+4k2，x1x2=4b2−123+4k2，
此时k1+k2=y1−3x1+y2−3x2=kx1+b−3x1+kx2+b−3x2=2k+(b−3)x1+x2x1x2
=2k+(b−3)−8kb4b2−12=23kb+3=2，
解得b=3k−3，
此时直线l：y=kx+3k−3=(k+3)x−3，
则直线l过定点(−3，−3)．
综上所述，直线l过定点(−3，−3)．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
55．设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，F2分别是C的左、右焦点，C上的点到F1的最小距离为1，P是C上一点，且△PF1F2的周长为6．
（1）求C的方程；
（2）过点F2且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：|AB|2|MN|为定值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x24+y23=1；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；
（2）设出直线MN，AB的方程，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和弦长公式进行求解即可．
【解答】解：（1）不妨设椭圆的焦距为2c，
因为椭圆C上的点到F1的最小距离为1，△PF1F2的周长为6，
所以a−c=12a+2c=6a2=b2+c2，
解得a＝2，b=3，c＝1，
则C的方程为x24+y23=1；
（2）证明：由（1）知F2（1，0），
因为直线l的斜率存在且不为零，
不妨直线l的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立y=k(x−1)x24+y23=1，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
此时Δ＞0恒成立，
由韦达定理得x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
所以|MN|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2
=1+k2⋅(8k23+4k2)2−4⋅4k2−123+4k2=12(1+k2)3+4k2，
不妨设直线AB的方程为y＝kx，A（x3，y3），B（x4，y4），
联立y=kxx24+y23=1，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣12＝0，
不妨令x3=233+4k2，x4=−233+4k2，
此时|AB|=1+k2|x3−x4|=41+k233+4k2=43(1+k2)3+4k2，
则|AB|2|MN|=48(1+k2)3+4k212(1+k2)3+4k2=4．
故|AB|2|MN|为定值，定值为4．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
56．某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）根据以上表格中的数据求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移2π3个单位长度，得到函数g（x）的图象．当x∈[−π6，5π6]时，关于x的方程g（x）＝a恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）f(x)=2sin(2x−π6)；单调递增区间为[−π6+kπ，π3+kπ](k∈Z)；
（2）a∈[3，2)．
【分析】（1）根据表格中的数据，不难看出A值和周期特征，易得ω值，代入一组对应值x与ωx+φ，易求出φ，再整体处理ωx+φ，计算得到递增区间；
（2）先根据三角伸缩平移变换并化简得到g（x）＝2csx，将方程有根问题转化为两函数图象在给定区间上的交点个数问题解决．
【解答】解：（1）由表中数据可得，A＝2，
因为T2=5π6−π3=π2，所以T＝π，则ω=2ππ=2，
当x=π3时，ωx+φ=π2，则φ=−π6，
所以f(x)=2sin(2x−π6)．
由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[−π6+kπ，π3+kπ](k∈Z)．
（2）
将f(x)=2sin(2x−π6)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=2sin(x−π6)，
再将y=2sin(x−π6)图象向左平移2π3个单位长度得到函数g（x）的图象，则g(x)=2sin(x+2π3−π6)=2sin(x+π2)=2csx，
如图，当x∈[−π6，5π6]时，方程g（x）＝a恰有两个实数根，等价于函数g（x）＝2csx，x∈[−π6，5π6]的图象与直线y＝a有两个交点，
故可得：a∈[3，2)．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
57．已知等差数列{an}满足a1＝1，a4＝4；数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a5，数列{bn﹣an}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）分别利用等差数列与等比数列的定义通项公式即可得出．
（Ⅱ）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由等差数列{an}满足a1＝1，a4＝4，
∴公差d=4−13=1，
∴an＝1+（n﹣1）＝n．
数列{bn}满足b1＝a2＝2，b2＝a5＝5，
∴b1﹣a1＝1，b2﹣a2＝3．
∴等比数列{bn﹣an}的公比q=31=3，
∴bn﹣an＝3n﹣1，
∴bn＝n+3n﹣1．
（Ⅱ）由bn＝n+3n﹣1得
Sn＝（1+2+3+…+n）+（1+3+32+…+3n﹣1）
=n(n+1)2+3n−13−1
=n(n+1)2+12(3n−1)．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
考点卡片
1．对数值大小的比较
【知识点的认识】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
2．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
【知识点的认识】
1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：
（1）先确定周期T=2πω，在一个周期内作出图象；
（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，π2，π，3π2，2π，求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．
2．振幅、周期、相位、初相
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则 A叫做振幅，T=2πω叫做周期，f=1T叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为π|ω|．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M−m2．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|φ|．
3．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M−m2．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|φ|．
4．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M−m2，k=M+m2，ω由周期T确定，即由2πω=T求出，φ由特殊点确定．
5．函数的零点与方程根的关系
【知识点的认识】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解题方法点拨】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【命题方向】
直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
6．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者Sn=n(a1+an)2
【解题方法点拨】
eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1+10×92d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴Tn=25n−4n2，n≤34n2−25n+78，n≥4．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【命题方向】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
7．等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn=a1(1−qn)1−q，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或⇔a1＜0q＞1{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
【解题方法点拨】
例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝ ．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
8．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或a1＜0q＞1⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
9．数列的求和
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或Sn=n(a1+an)2
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即1anan+1=1d（1an−1an+1）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【解题方法点拨】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn=1an2−1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如{1等差×等差}的求和，可使用裂项相消法如：
11×3+13×5+15×7+⋯+199×101
=12{(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(199−1101)}
=50101．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴a1+2d=72a1+10d=26，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn=3n+n(n−1)2×2=n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn=1an2−1=1(2n+1)2−1=14⋅1n(n+1)=14⋅(1n−1n+1)，
∴Tn=14⋅(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=14⋅(1−1n+1)=n4(n+1)，
即数列{bn}的前n项和Tn=n4(n+1)．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【命题方向】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
10．裂项相消法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：
（1）裂项相消法：
适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即1anan+1=1d（1an−1an+1）．
【解题方法点拨】
裂项相消法是一种用于求解数列和的技巧，通过将数列项裂解成两个或多个部分进行相消来简化计算．
【命题方向】
常见题型包括利用裂项相消法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．
求和：12！+23！+34！+⋯+n(n+1)！．
解：因为k(k+1)!=k+1−1(k+1)!=k+1(k+1)!−1(k+1)!=1k!−1(k+1)!，
所以原式=(11−12!)+(12!−13!)+(13!−14!)+⋯+[1n!−1(n+1)!]=1−1(n+1)!．
故答案为：1−1(n+1)!．
11．数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=sn−sn−1 n≥2s1 n=1．
在数列{ a n}中，前n项和 S n与通项公式 a n的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由 a n的表达式，则 a n不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
【解题方法点拨】
数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn−sn−1 n≥2s1 n=1．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f(1) n=1f(n)f(n−1) n≥2．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=anan−1⋅an−1an−2⋅⋯a2a1⋅a1（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an=an−1kan−1+b的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
12．导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x→0limf(x0+△x)−f(x0)△x=x→0lim△y△x．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
【命题方向】
求切线方程
典例2：已知函数f(x)=ax2+bx+c，x≥−1f(−x−2)，x＜−1其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3
解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1
∴f（1）＝2+1＝3
∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3
∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）
∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）
将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A
故选A．
13．基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[lgax）]′=1x*（lgae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′=1x．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[f(x)g(x)]′=[f′(x)g(x)−f(x)g′(x)][g(x)2]．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
【命题方向】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acsx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acs（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+csx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=1x−2xln2
C．（2sin2x）′＝2cs2x D．（sinxx）′=xcsx−sinxx2
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+csx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，(lnx−2x)′=1x−2xln2成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cs2x≠2cs2x，故C不正确；
对于选项D，(sinxx)′=xcsx−sinxx2成立，故D正确．
故选C．
14．利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+m2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln22×ln33×ln44×⋯×lnnn＜1n(n≥2，n∈N∗)．
解：（Ⅰ）f′(x)=a(1−x)x(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）f′(2)=−a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x)=x3+(m2+2)x2−2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g′(t)＜0g′(3)＞0(8分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：g′(1)＜0g′(2)＜0g′(3)＞0，∴−373＜m＜−9（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnnn＜n−1n
∴ln22⋅ln33⋅ln44⋅⋅lnnn＜12⋅23⋅34⋅⋅n−1n=1n(n≥2，n∈N∗)
15．利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
16．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+m2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln22×ln33×ln44×⋯×lnnn＜1n(n≥2，n∈N∗)．
解：（Ⅰ）f′(x)=a(1−x)x(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）f′(2)=−a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x)=x3+(m2+2)x2−2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g′(t)＜0g′(3)＞0(8分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：g′(1)＜0g′(2)＜0g′(3)＞0，∴−373＜m＜−9（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnnn＜n−1n
∴ln22⋅ln33⋅ln44⋅⋅lnnn＜12⋅23⋅34⋅⋅n−1n=1n(n≥2，n∈N∗)
17．利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
18．利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
19．利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．
﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．
【命题方向】
常见题型包括利用导数求解函数的最值，结合函数的定义域进行分析．
设函数f(x)=1x+2lnx．求f（x）的最小值；
解：因为f(x)=1x+2lnx，
所以f′(x)=−1x2+2x=2x−1x2(x＞0)，
令f'（x）＞0得x＞12；令f'（x）＜0得0＜x＜12．
所以f（x）的单调增区间为(12，+∞)；单调减区间为(0，12)．
所以当x=12时，f（x）得极小值f(12)=2−2ln2；
所以f（x）的最小值为2﹣2ln2．
20．利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
21．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→与b→和夹角为θ，则：
（1）a→⋅e→=e→⋅a→=|a→|csθ；
（2）a→⊥b→⇔a→⋅b→=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→，b→方向相反时，a→⋅b→=−|a→||b→|；
特别地：a→⋅a→=|a→|2或|a→|=a→⋅a→（用于计算向量的模）
（4）csθ=a→⋅b→|a→||b→|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a→⋅b→|≤|a→||b→|
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a→⋅b→=b→⋅a→；
（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b→）=a→•（λb→）；
（3）分配律：（a→⋅b→）•c→≠a→•（b→⋅c→）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→−b→）（a→+b→）=a→2−b→2．③a→•（b→•c→）≠（a→•b→）•c→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；
⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”，
即③错误；
∵|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
22．平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→投影，A1B1叫做向量a→在向量b→上的投影向量．
向量a→在向量b→上的投影向量是|a→|csθb→|b→|．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|csθ叫作向量a→在向量b→上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→csθ（其中e→为与b→同向的单位向量），它是一个向量，且与b→共线，其方向由向量a→和b→夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→在a→方向上的投影向量为|b→|csθa→|a→|．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
23．平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量a→与向量b→的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|csθ叫做a→与b→的数量积，记做a→⋅b→
即：a→⋅b→=|a→||b→|csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a→=0．
注意：
①a→⋅b→ 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|csθ的积．
24．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
25．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
3．S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
26．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
②S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
③S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
27．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z−z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且z≠0．
28．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=a2+b2．
29．复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1z2=(a1+b1i)(a2−b2i)a22+b22．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
【命题方向】
﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．
﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．
i是虚数单位，2i1+i=_____．
解：2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i．
30．棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
棱锥1．底面是多边形2．侧面是三角形
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥=13Sh．
31．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
32．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥=13Sh．
33．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱1．有两个底面互相平行，且形状、大小一样的圆2．侧面为曲面，展开为矩形
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
V圆柱=πr2ℎS圆柱=2×πr2+2πrℎ=2πr(r+ℎ)
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
圆锥1．只有一个顶点，只有一个底面为圆2．侧面为曲面，展开为扇形
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
V圆锥=13πr2ℎS圆锥表面积=πr2+πrl=πr(r+l)
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
圆台1．上下底面平行，为半径不等的圆2．侧面展开图为一个扇环
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
V圆台=13πℎ(r2+R2+Rr)S圆台表面积=πr2+πR2+πrl+πRl=π(r2+R2+rl+Rl)．
34．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
35．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
36．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
37．空间向量基底表示空间向量
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=xa→+yb→+zc→．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，c→都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1→，e2→，e3→}表示．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→+b→=λ(b→+c→)+μ(c→+a→)，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
﹣基底表示：任何空间向量v→都可以表示为基底向量的线性组合：v→=c1b→1+c2b→2+c3b→3其中b→1，b→2，b→3是基底向量，c1，c2，c3是系数．
﹣线性组合：通过解线性方程组找到系数c1，c2，c3．
【命题方向】
﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空间中的任意向量．
38．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，π2）；直线和平面所成的角的范围为[0，π2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为a→，平面的法向量为u→，直线与平面所成的角为θ，a→与u→的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|=|a→⋅u→||a→||u→|．
39．空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u→，v→＞≤π2，θ=＜u→，v→＞，
此时csθ＝cs＜u→，v→＞=u→⋅v→|u→||v→|．
（2）当π2＜＜u→，v→＞＜π时，θ＝π−＜u→，v→＞，
csθ＝﹣cs＜u→，v→＞=−u→⋅v→|u→||v→|．
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．
40．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
41．直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=−ABx−CB，表示斜率为−AB，y轴上截距为−CB的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l2重合⇔A1A2=B1B2=C1C2；l1与l2相交⇔A1A2≠B1B2．
42．两条平行直线间的距离
【知识点的认识】
﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为：
直线Ax+By+C1＝0与
直线Ax+By+C2＝0
它们之间的距离为：d=|C1−C2|A2+B2
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．选择一条直线：选择其中一条直线计算点到另一条直线的距离．
2．应用公式：用点到直线距离公式，其中点选择在第一条直线上的点．
【命题方向】
﹣平行直线距离：常考查计算两条平行直线间的垂直距离，涉及相似方程和坐标变换．
43．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
44．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
45．直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交⇔Δ＞0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；
直线与椭圆相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】
（1）直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；
②借助直线和椭圆的几何性质来判断．
根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．
（2）弦长的求法
设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=(1+1k2)[(y1+y2)2−4y1y2]（k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
（3）中点弦、弦中点常见问题
①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；
②平行弦中点的轨迹；
③过定点的弦的中点的轨迹．
解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
（4）椭圆切线问题
①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；
②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；
③过椭圆上一点只能作一条切线．
（5）最值与范围问题的解决思路
①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；
②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．
在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．
【命题方向】
1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；
2．由已知条件求直线的方程；
3．中点弦或弦的中点问题；
4．弦长问题；
5．与向量结合求参变量的取值．
46．抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
47．直线与抛物线的综合
【知识点的认识】
直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与抛物线相交⇔Δ＞0；
直线与抛物线相切⇔Δ＝0；
直线与抛物线相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】
研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．
直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组y2=2pxy=kx+b的解的个数．
（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
【命题方向】
掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点．
48．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
49．圆与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
50．古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=mn=A中所含的基本事件数基本事件总数．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）=mn求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
51．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：
P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
52．全概率公式
【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有
P（B）=i=1n P(Ai)P(B|Ai)．
53．离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1n，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
54．部分位置的元素有限制的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．
﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．
【解题方法点拨】
﹣处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列组合．
﹣使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数．
﹣对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算．
【命题方向】
﹣常考察在特定位置或区域内元素的排列，如规定某些元素必须在前几位，或必须固定在某些位置的排列问题．
﹣命题可能涉及多重限制条件的综合分析，要求考生灵活运用排列数公式．
55．部分元素不相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻．例如：在排列中，两个特定元素不能排在一起．
﹣这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决．
【解题方法点拨】
﹣使用间隔法，首先将不受限制的元素排列，然后在排列间隙中插入受限制的元素，保证其不相邻．
﹣排除法是先计算不考虑相邻条件的排列总数，再减去相邻元素排列的情况．
﹣对于更复杂的排列问题，可以结合插空法或利用递推关系进行解题．
【命题方向】
﹣命题方向可能要求考生求解特定元素不相邻的排列总数，或者分析多个元素不相邻的组合情况．
﹣题目可能涉及多个不相邻条件的叠加，要求考生准确处理这些条件．
56．部分元素相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个元素必须排在一起．
﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．
【解题方法点拨】
﹣通过将相邻的元素看作一个整体，然后对这个整体和其他元素一起进行排列．最后，再对这个整体内部的元素进行排列．
﹣使用乘法原理，将整体的排列与内部元素的排列相乘，得到总的排列数．
﹣对于涉及多个相邻元素的问题，可以进行多重整体处理，逐层递进排列．
【命题方向】
﹣常见命题方向包括要求特定元素相邻的排列问题，或多组元素必须相邻排列的情况．
﹣题目可能涉及多个相邻条件的处理，要求考生灵活应用相邻元素排列的策略．
57．简单组合问题
【知识点的认识】
﹣简单组合问题涉及无任何特殊限制的组合情况．n个不同元素中选出r个元素的组合总数为Cnr．
﹣这类问题是组合问题的基础，强调对基本组合公式的理解与应用．
【解题方法点拨】
﹣直接应用组合公式进行计算．在实际问题中，注意理解组合与排列的区别，组合不考虑顺序，而排列考虑顺序．
﹣对于简单组合问题，可以通过列举法或公式直接求解．
﹣在复杂组合问题中，分类讨论和递推公式可能是有效的解题工具．
【命题方向】
﹣常见命题包括基本组合问题的计算，如从一组元素中选出子集的总数，或计算特定组合情况的可能性．
﹣命题可能涉及对组合数公式的直接应用，以及对组合问题的基础性理解与操作．
58．排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
59．二项式定理
【知识点的认识】
二项式定理又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=i=0n Cnian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把(3i−x)10把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8=C107×(3i)3×(−1)7=120×33i＝3603i．
故答案为：3603i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
性质
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是Cnr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜n+12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项Cnn2的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项Cnn−12，Cnn+12相等，且同时取得最大值．
60．二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为Tk+1=Cnkan−kbk，其中Cnk为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．
﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，再代入计算．
﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参数．
【命题方向】
﹣可能要求考生直接求解二项展开式中某一特定项的系数或幂次，或分析展开式中的通项规律．
﹣命题可能涉及二项式定理在不完全展开中的应用，要求考生逆向推导或分析已知条件．
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X
1
2
4
P
0.4
a
0.3
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
712π
56π
f（x）
0
2
0
﹣2
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
C
C
B
B
B
B
D
B
C
D
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
D
D
A
D
B
B
A
A
B
D
B
题号
23
24
25
26
27
28
答案
ABC
AB
ABD
BCD
AB
ABD
X
1
2
4
P
0.4
a
0.3
x
（﹣∞，﹣1）
﹣1
(−1，13)
13
(13，+∞)
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
↓
极小值
↑
极大值
↓
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
712π
56π
f（x）
0
2
0
﹣2
0
x
−φω
−φω+π2ω
π−φω
3πω−φω
2π−φω
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y＝Asin（ωx+φ）
0
A
0
﹣A
0
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA=b2+c2−a22bc，
csB=a2+c2−b22ac，
csC=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
标准方程
x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e=ca（0＜e＜1）
e=ca（0＜e＜1）
准线
x＝±a2c
y＝±a2c
标准方程
x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）
y2a2−x2b2=1（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e=ca（e＞1）
准线
x＝±a2c
y＝±a2c
渐近线
xa±yb=0
xb±ya=0
标准方程
x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）
y2a2−x2b2=1（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e=ca（e＞1）
准线
x＝±a2c
y＝±a2c
渐近线
xa±yb=1
xb±ya=1