人教版数学高一下学期精品期中试卷（含详细解析）

这是一份人教版数学高一下学期精品期中试卷（含详细解析），共71页。试卷主要包含了把函数f，已知函数f，若函数y＝sin，已知α∈，函数的图象的一个对称中心是，函数f等内容，欢迎下载使用。
1．交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是（ ）
A．﹣5安B．5安C．安D．安
2．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．g（x）是奇函数
B．g（x）的图象关于直线对称
C．g（x）在上单调递增
D．g（x）在上的值域为
3．要得到函数y＝3sin2x的图像，只要把函数图像（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
4．把函数f（x）＝2csx（sinx+csx）﹣1的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则g（x）的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则＝（ ）
A．B．C．1D．0
6．若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
7．已知α∈（0，π），β∈（0，π），，，则α+β＝（ ）
A．B．C．D．
8．函数的图象的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
9．函数y＝tan2x的最小正周期是（ ）
A．πB．C．D．2π
10．函数f（x）＝sin2x﹣cs2x的最小正周期是（ ）
A．B．πC．2πD．4π
11．函数的单调递增区间是（ ）
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
12．函数y＝3cs（﹣2x）的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
13．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（ ）
A．B．
C．D．
14．最小正周期为π，且图象关于点对称的一个函数是（ ）
A．B．
C．D．
15．函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ ）
A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称
C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称
16．已知，则sin（﹣α）＝（ ）
A．B．C．D．
17．，则cs（π﹣α）的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
18．若已知，则sinαcsα等于（ ）
A．B．C．D．
19．已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点，将角θ的终边顺时针旋转后得到角β，则tanβ＝（ ）
A．B．C．D．
20．下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝B．f（x）＝x2+1C．f（x）＝x3D．f（x）＝2﹣x
21．（lg29）•（lg34）＝（ ）
A．B．C．2D．4
二．填空题（共17小题）
22．函数的部分图象如图，下列结论正确的序号是 ．
①f（x）的最小正周期为6；
②；
③f（x）的图象的对称中心为；
④f（x）的一个单调递减区间为（﹣4π，﹣π）．
23．函数的部分图象如图所示，则ω＝ ．
24．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为 ．
25．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则φ＝ ．
26．设函数f（x）＝cs（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
27．已知，则（1+tanα）（1+tanβ）的值是 ，
28．若，，则＝ ．
29．已知α，β为锐角，sin（2α+β）＝4sinβ，则＝ ．
30．已知cs（α+β）＝，cs（α﹣β）＝，则tanαtanβ＝ ．
31．已知函数在[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为 ．
32．函数的值域为 ．
33．tanθ＝2，则＝ ．
34．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则，tanθ＝ ．
35．实数x，y满足tanx＝x，tany＝y，且|x|≠|y|，则＝ ．
36．若lg（4x﹣1）＞﹣2，则x的取值范围是 ．
37．已知f（2x﹣1）的定义域为[1，2]，则函数f（|x|）的定义域是 ．
38．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．
三．解答题（共22小题）
39．已知函数f（x）＝sinxcsx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
40．（1）求函数f（x）＝sin2x+csx的最小值．
（2）若sinθ、csθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根，求．
41．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[﹣，]时，求函数y＝f（x+）﹣f（x+）的最值．
42．已知函数的部分图象如图所示．其中f（x）在y轴右侧第一个极值点为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，判断在区间上，f（x）﹣g（x）与0大小关系，并说明理由．
43．已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；
（2）求f（x）的单调递增区间．
44．已知函数f（x）＝2．
（1）求；
（2）把y＝f（x）图象上的所有的点向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x），x∈[，]的值域．
45．已知函数f（x）＝sin4x+2sinxcsx﹣cs4x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的最小值．
46．已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）csx．
（1）求f（x）的最小正周期及的值；
（2）将函数y＝csx图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线x＝t，与函数f（x），g（x）的图象分别交于M，N两点，求|MN|的最大值．
47．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求使f（x）≤1成立的x的取值集合．
48．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求A，ω的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
49．设函数（其中ω＞0，α∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f（x）在区间上的最小值为，求α的值．
50．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）+m≤0对恒成立，求实数m的取值范围．
51．已知tanx＝2，
（1）求的值；
（2）求的值．
52．已知．
（1）求的值；
（2）求tan（α+β）的值．
53．已知sinθ＝，θ为第二象限角．
（1）求sin2θ的值；
（2）求cs（θ﹣）的值．
54．已知sinθ+2csθ＝0．
（1）求的值；
（2）求3sin2θ﹣2sinθcsθ的值．
55．函数的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的值域．
56．化简：．
57．证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．
58．（1）若函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，求y＝f（2x+1）的定义域；
（2）若函数y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，求y＝f（x）的定义域；
（3）若函数y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，求y＝f（x﹣1）的定义域．
59．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
60．已知集合A＝{x|3＜x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m+1}．
（1）若m＝2，求A∩B，A∪B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
人教版数学高一下学期精品期中试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
一．选择题（共21小题）
1．交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是（ ）
A．﹣5安B．5安C．安D．安
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】D
【分析】根据函数图象求出A与T，利用三角函数的周期公式求出ω，然后将点代入表达式，求出φ的值，可得函数的解析式，最后代入算出答案．
【解答】解：因为电流的最大值为10，最小值为﹣10，所以A＝10．
由函数的周期，解得ω＝100π，
将点代入函数表达式，可得，
所以（k∈Z），解得φ＝+2kπ（k∈Z）．
结合，取k＝0得，函数表达式为I＝10sin（100πt+）．
所以当秒时，电流强度I＝10sin（100π•+）＝10sin＝安．
故选：D．
【点评】本题主要考查根据三角函数的部分图象确定函数解析式、三角函数的实际应用等知识，属于基础题．
2．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．g（x）是奇函数
B．g（x）的图象关于直线对称
C．g（x）在上单调递增
D．g（x）在上的值域为
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【答案】D
【分析】根据三角函数的变换规则得到g（x）解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可．
【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到g（x）＝f（x﹣）＝4sin[2（x﹣）+]＝4sin（2x﹣），
A中，显然g（x）不是奇函数，故A错误．
B中，可得g（）＝4sin（2×﹣）＝4sin（﹣）＝﹣2≠±4，所以g（x）的图象不关于直线对称，故B错误；
C中，当时，⊈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，所以f（x）在上不单调，故C错误；
D中，由，得，则，
即g（x）在上的值域为，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
3．要得到函数y＝3sin2x的图像，只要把函数图像（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【答案】D
【分析】变形，利用三角函数图像平移变换法则求解即可．
【解答】解：，
把函数图像向左平移个单位，
可得的图像，
所以要得到函数y＝3sin2x的图像，只要把函数图像向左平移个单位，
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数图像平移变换法则，属于基础题．
4．把函数f（x）＝2csx（sinx+csx）﹣1的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则g（x）的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦函数的奇偶性和对称性．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用平移变换求出g（x），进而求出其对称轴方程得解．
【解答】解：依题意，，
因为的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，
所以，
由，解得，
因此函数g（x）的图象的对称轴方程为，
取k＝﹣1，得，C正确，不存在整数k使得ABD成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
5．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则＝（ ）
A．B．C．1D．0
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】B
【分析】由周期求出ω，结合最值点求出φ，即可求f（x），然后结合三角函数图象平移变换求出g（x），即可求解．
【解答】解：由题意可得，＝，
所以T＝π，ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ），
又f（）＝sin（）＝1，且|φ|＜，
所以，f（x）＝sin（2x+），
所以g（x）＝sin（2x+），g（）＝sin＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了求y＝Asin（ωx+φ）的解析式，还考查了三角函数图象的平移变换，属于基础题．
6．若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【答案】B
【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．
【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，
所以函数的周期T＝2（）＝，
所以T＝＝，所以ω＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．
7．已知α∈（0，π），β∈（0，π），，，则α+β＝（ ）
A．B．C．D．
【考点】两角和与差的三角函数．
【答案】D
【分析】利用两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系求出sinαcsβ和csαsinβ，再求出α+β即可．
【解答】解：∵α，β∈（0，π），sin（α﹣β）＝，，
∴sinαcsβ﹣csαsinβ＝，＝﹣5，
∴sinαcsβ＝，csαsinβ＝﹣，
∴sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ＝，
且0＜β＜，＜α＜π，
∴＜α+β＜，∴α+β＝．
故选：D．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．函数的图象的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【考点】正切函数的奇偶性与对称性；正切函数的图象．
【答案】B
【分析】根据题意，求出函数f（x）的对称中心，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，，
令3x﹣＝，解可得x＝+，k∈Z，
即函数的图象的对称中心为（+，0），k∈Z，
分析选项：B符合．
故选：B．
【点评】本题考查正切函数的对称性，注意正切函数的性质，属于基础题．
9．函数y＝tan2x的最小正周期是（ ）
A．πB．C．D．2π
【考点】三角函数的周期性．
【答案】B
【分析】根据正切函数的周期公式即可得到结论．
【解答】解：由正切函数的周期公式可得函数的周期T＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数周期的计算，要求熟练掌握正切函数的周期公式，比较基础．
10．函数f（x）＝sin2x﹣cs2x的最小正周期是（ ）
A．B．πC．2πD．4π
【考点】三角函数的周期性；二倍角的三角函数．
【答案】B
【分析】由条件利用二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，求得所给函数的最小正周期．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cs2x＝﹣cs2x，
则f（x）的最小正周期为＝π，
故选：B．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，属于基础题．
11．函数的单调递增区间是（ ）
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
【考点】正切函数的单调性和周期性．
【答案】B
【分析】直接利用整体思想和正切函数的单调区间的应用求出结果．
【解答】解：函数，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为（k∈Z），
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的应用，正切函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
12．函数y＝3cs（﹣2x）的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】余弦函数的单调性．
【答案】A
【分析】先利用诱导公式化简函数的解析式，再由条件利用余弦函数的单调性求得y的减区间．
【解答】解：因为y＝3cs（﹣2x）＝3cs（2x﹣），
令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，
求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z
可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题
13．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的单调性．
【答案】C
【分析】根据题意，求解出ω和φ，考查在上是增函数；一个对称中心为可得答案．
【解答】解：由“①最小正周期是π，可得ω＝2，排除A；
②图象关于直线x＝对称；可得：+φ＝，k∈Z．
解得φ＝
对于D选项：φ＝﹣，不满足，排除D；
④一个对称中心为”代入函数y中，B选项不满足．排除B；
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，同时满足题意的函数很多，所以利用排除法解决比较好．属于基础题．
14．最小正周期为π，且图象关于点对称的一个函数是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】三角函数的周期性．
【答案】D
【分析】由最小正周期为π，可知ω＝2，然后由图象关于点对称，结合选项即可判断．
【解答】解：由最小正周期为π，可知ω＝2，从而可排除选项A，
图象关于点对称，
若函数y＝sin（2x+φ），当x＝时，sin（2×φ）＝0，则φ＝kπ﹣，k∈Z，
若函数y＝cs（2x+φ），当x＝时，cs（2×φ）＝0，则φ＝kπ，k∈Z，
结合选项可知，选项D符合题意
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期及对称性的简单应用，属于基础试题．
15．函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ ）
A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称
C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【答案】D
【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，求得ω的值，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为＝π，
∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+），当x＝时，f（x）＝0，故该函数图象关于点（，0）对称，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
16．已知，则sin（﹣α）＝（ ）
A．B．C．D．
【考点】诱导公式．
【答案】B
【分析】根据诱导公式即可求解．
【解答】解：因为，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
17．，则cs（π﹣α）的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
【考点】诱导公式；同角三角函数间的基本关系．
【答案】A
【分析】根据诱导公式可得 cs（π﹣α）＝﹣csα，结合角α的范围，再利用同角三角函数的基本关系可得，运算求得结果．
【解答】解：∵，∴cs（π﹣α）＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
18．若已知，则sinαcsα等于（ ）
A．B．C．D．
【考点】诱导公式．
【答案】B
【分析】由条件利用诱导公式可得 sina＝﹣2csa，再由 sin2a+cs2a＝1可得 sina 和csa 的值，从而求得 sinacsa 的值
【解答】解：∵已知sin（π﹣a）＝﹣2sin（+a），∴sina＝﹣2csa，即tana＝﹣2，
故a为第二或第四象限角，再由 sin2a+cs2a＝1，
可得 sina＝，csa＝﹣，或 sina＝﹣，csa＝，
∴sinacsa＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点．
19．已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点，将角θ的终边顺时针旋转后得到角β，则tanβ＝（ ）
A．B．C．D．
【考点】任意角的三角函数的定义；两角和与差的三角函数．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义可得，依题意得，结合两角差的正切公式运算求值．
【解答】解：因角θ的终边经过点，由三角函数的定义可得，
又依题意得，所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
20．下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝B．f（x）＝x2+1C．f（x）＝x3D．f（x）＝2﹣x
【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
【答案】A
【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．
【解答】解：选项A，，∵f（﹣x）＝＝f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．
∵f（x）＝x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增； 适合题意．
选项B，f（x）＝x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．
选项C，f（x）＝x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．
选项D，f（x）＝2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．
21．（lg29）•（lg34）＝（ ）
A．B．C．2D．4
【考点】换底公式的应用．
【答案】D
【分析】直接利用换底公式求解即可．
【解答】解：（lg29）•（lg34）＝＝＝4．
故选：D．
【点评】本题考查对数的换底公式的应用，考查计算能力．
二．填空题（共17小题）
22．函数的部分图象如图，下列结论正确的序号是 ②③ ．
①f（x）的最小正周期为6；
②；
③f（x）的图象的对称中心为；
④f（x）的一个单调递减区间为（﹣4π，﹣π）．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】②③．
【分析】首先根据图象信息，找出周期，从而得出ω，进而求出φ，再根据三角函数的图象和性质进行判断即可．
【解答】解：由图可得，所以①错误；
因为，所以．因为点（π，2）在f（x）的图象上，
所以 即．
因为，所以，所以 ，所以②正确；
令得，
所以f（x）的图象的对称中心为，所以③正确；
令得6kπ+π≤x≤6kπ+4π（k∈Z），
令k＝﹣1得﹣5π≤x≤﹣2π，令k＝0得π≤x≤4π，
所以（﹣4π，﹣2π）∈[6kπ+π，6kπ+4π]（k∈Z），所以④错误．
综上，正确的序号是②③．
故答案为：②③．
【点评】本题以三角函数为背景，考查正弦型函数的图象与性质，属基础题．
23．函数的部分图象如图所示，则ω＝ 2 ．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】2．
【分析】结合图象，，先求出周期，即可得ω．
【解答】解：由函数f（x）的部分图象知，T＝﹣（﹣）＝，
解得T＝π，所以ω＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
24．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为 f（x）＝2sin（2x+） ．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】f（x）＝2sin（2x+）．
【分析】根据函数的最大值求出A，根据周期可得ω，再由五点作图法求出φ，可得函数的解析式．
【解答】解：由图可知，A＝2，T＝4（﹣（﹣））＝π，则ω＝＝2，
则f（x）＝2sin（2x+φ），
又2×+φ＝+2kπ（k∈Z），解得φ＝2kπ+（k∈Z），
∵|φ|＜，∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）．
故答案为：f（x）＝2sin（2x+）．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
25．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则φ＝ ． ．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【答案】．
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，得出结论．
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数g（x）＝cs（2x+2φ﹣）的图象．
若g（x）是偶函数，则2φ﹣＝kπ，k∈Z，故φ＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
26．设函数f（x）＝cs（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
【考点】三角函数的最值．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝cs（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，
可得：，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，ω＞0
则ω的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．
27．已知，则（1+tanα）（1+tanβ）的值是 2 ，
【考点】两角和与差的三角函数．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过两角和与差的正切函数，化简求解即可．
【解答】解：，可得tan＝tan（π+）＝tan＝1
可得tan（α+β）＝＝1，即1﹣tanαtanβ＝tanα+tanβ，
即1＝tanαtanβ+tanα+tanβ，
所以（1+tanα）（1+tanβ）＝1+tanαtanβ+tanα+tanβ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，是基本知识的考查．
28．若，，则＝ ．
【考点】两角和与差的三角函数．
【答案】．
【分析】利用同角三角函数关系得，再结合诱导公式即可得到答案．
【解答】解：∵，，∴，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
29．已知α，β为锐角，sin（2α+β）＝4sinβ，则＝ ．
【考点】两角和与差的三角函数．
【答案】．
【分析】结合已知可得sin[（α+β）+α]＝4sin[（α+β）﹣α]，然后结合两角和与差的三角函数求解即可．
【解答】解：已知α，β为锐角，sin（2α+β）＝4sinβ，
则sin[（α+β）+α]＝4sin[（α+β）﹣α]，
即sin（α+β）csα+cs（α+β）sinα＝4sin（α+β）csα﹣4cs（α+β）sinα，
即3sin（α+β）csα＝5cs（α+β）sinα，
则＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了同角三角函数的关系，属中档题．
30．已知cs（α+β）＝，cs（α﹣β）＝，则tanαtanβ＝ ﹣ ．
【考点】两角和与差的三角函数．
【答案】﹣．
【分析】由已知结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
【解答】解：因为cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝，cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ＝，
所以csαcsβ＝，sinαsinβ＝﹣，
则tanαtanβ＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
31．已知函数在[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为 ．
【考点】余弦函数的图象．
【答案】．
【分析】根据x的范围求出2的范围，再根据余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解．
【解答】解：当x∈[0，π]时，，
因为f（x）在[0，π]上有且仅有2个零点，所以，，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦函数的性质，涉及到余弦函数零点问题，属于基础题．
32．函数的值域为 （0，+∞） ．
【考点】正切函数的定义域和值域．
【答案】（0，+∞）．
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解．
【解答】解：设，因为，可得，
因为正切函数y＝tanz在上的值域为（0，+∞），
即函数在的值域为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题．
33．tanθ＝2，则＝ ﹣2 ．
【考点】诱导公式；同角三角函数间的基本关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】由三角函数的诱导公式，将分子、分母的各项化简，再将所得式子的分子、分母都除以csθ，化成关于tanθ的式子，代入题中数据即可算出原式的值．
【解答】解：∵sin（）＝csθ，cs（π﹣θ）＝﹣csθ，sin（π﹣θ）＝sinθ
∴原式＝＝＝＝＝﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题在已知θ正切的情况下，求关于θ的三角函数式的值，着重考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系等知识，属于基础题．
34．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则，tanθ＝ ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知中AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，我们可以设出圆的半径为R，进而根据射影定理求出CD的长，解△COD即可求出θ角，进而得到答案．
【解答】解：设半径为R，则AD＝R，BD＝，
由射影定理得：CD2＝AD•BD则CD＝R，从而θ＝，∴，
故答案为
【点评】本题考查的知识点是直角三角形的射影定理，其中根据射影定理求出CD的长，解△COD即可求出θ角，是解答本题的关键
35．实数x，y满足tanx＝x，tany＝y，且|x|≠|y|，则＝ 0 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用同角三角函数的基本关系分别求得sinx＝xcsx和siny＝ycsy，利用两角和公式对原式展开后代入上式，化简整理求得答案．
【解答】解：tanx＝＝x
∴sinx＝xcsx
同理，siny＝ycsy
所以原式＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝csxcsy﹣csxcsy
＝0
故答案为：0
【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是利用好sinx和csx与x和y之间的关系．
36．若lg（4x﹣1）＞﹣2，则x的取值范围是 ．
【考点】指、对数不等式的解法．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据对数函数的单调性可得，解不等式组即可．
【解答】解：lg（4x﹣1）＞﹣2＝，
∴，∴，
∴x的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数不等式的解法，根据对数函数的单调性是解决本题的关键，属基础题．
37．已知f（2x﹣1）的定义域为[1，2]，则函数f（|x|）的定义域是 {x|﹣3≤x≤﹣1或1≤x≤3} ．
【考点】抽象函数的定义域．
【答案】{x|﹣3≤x≤﹣1或1≤x≤3}．
【分析】根据已知条件，结合抽象函数定义域的求解，即可求解．
【解答】解：1≤x≤2，
则1≤2x﹣1≤3，
故f（x）的定义域为[1，3]，
令1≤|x|≤3，解得﹣3≤x≤﹣1或1≤x≤3，
故函数f（|x|）的定义域是{x|﹣3≤x≤﹣1或1≤x≤3}．
故答案为：{x|﹣3≤x≤﹣1或1≤x≤3}．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．
38．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 30 ．
【考点】运用基本不等式解决实际问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x≥4×2×＝240（万元）．
当且仅当x＝30时取等号．
故答案为：30．
【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三．解答题（共22小题）
39．已知函数f（x）＝sinxcsx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【考点】三角函数的周期性；三角函数的最值．
【答案】（1）π；
（2）最大值为，最小值为．
【分析】（1）先用二倍角公式化简，后用周期公式计算即可．
（2）由x范围，得到2x范围，再得到sin2x范围，最后得到f（x）范围即可．
【解答】解：（1），，则f（x）的最小正周期为π．
（2），则，，．
所以f（x）在上的最大值为，最小值为．
【点评】本题考查三角函数相关性质，属于中档题．
40．（1）求函数f（x）＝sin2x+csx的最小值．
（2）若sinθ、csθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根，求．
【考点】诱导公式；同角三角函数间的基本关系．
【答案】（1）﹣1；（2）．
【分析】（1）利用同角三角函数的关系将函数化为关于csx的二次函数，根据二次函数的图象和性质，即可求解；
（2）根据题意，利用韦达定理，得出方程，求得a的值，得出sinθ+csθ，再结合诱导公式化简、求值即可．
【解答】解：（1）由函数，
因为csx∈[﹣1，1]，
所以当csx＝﹣1时，函数f（x）取最小值﹣1．
（2）因为sinθ，csθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根，
由Δ＝（﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣4a＞0，解得a≤0或a≥4，
且sinθ+csθ＝a，sinθcsθ＝a，
因为（sinθ+csθ）2＝1+2sinθcsθ，即a2＝1+2a，
解得或（舍去），
所以，
所以
＝．
【点评】本题主要考查三角函数的求值，属于基础题．
41．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[﹣，]时，求函数y＝f（x+）﹣f（x+）的最值．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由图得到函数的四分之三周期，进一步求得周期，代入周期公式求ω，然后利用五点作图的第二点求得φ，再由f（0）＝2求得A的值，则函数解析式可求；
（2）由函数的周期变化和平移变换求得g（x），然后再由简单的复合函数单调性的求法求解g（x）的增区间；
（3）结合（1）中的f（x）的解析式求得y＝f（x+）﹣f（x+），利用三角恒等变换变形后根据x的范围求最值．
【解答】解：（1）由图可得，，
∴T＝2π，则．
由五点作图的第二点知，φ＝，则φ＝．
∴f（x）＝Asin（x+），
又f（0）＝Asin＝2，得A＝4．
∴f（x）＝4sin（x+）；
（2）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍所得函数解析式
为y＝4sin（2x+），再将所得函数图象向右平移个单位，解析式变为y＝4sin[2（x﹣）+]，
∴g（x）＝4sin（2x﹣）．
由，k∈Z，解得：．
∴g（x）的单调递增区间为；
（3）y＝f（x+）﹣f（x+）
＝4sin（x++）﹣4sin（x++）
＝4sin（x+）﹣4csx
＝4sinxcs+4csxsin﹣
＝4sin（x﹣）．
∵x∈[﹣，]，
∴，
∴函数y＝f（x+）﹣f（x+）的最小值为﹣4，最大值为2．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）型函数的部分图象求解析式，考查复合函数单调区间的求法，训练了三角函数的图象平移及三角恒等变换，是中档题．
42．已知函数的部分图象如图所示．其中f（x）在y轴右侧第一个极值点为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，判断在区间上，f（x）﹣g（x）与0大小关系，并说明理由．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】（1）；
（2）时，f（x）﹣g（x）＜0，理由见解析．
【分析】（1）结合图象，由点，得，又由极值点得，从而可得函数解析式；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），利用导数得h（x）＜0在区间上恒成立即可．
【解答】解：（1）由f（x）的图象可知，A＝1，sin（ω•0+φ）＝，即sinφ＝，
因为|φ|＜，所以φ＝，
因为f（x）在y轴右侧第一个极值点为，
所以ω•+＝，解得ω＝，
所以f（x）＝sin（2x+）；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）+x2﹣x﹣，x∈（0，），
则h′（x）＝2cs（2x+）+2x﹣，
设F（x）＝2cs（2x+）+2x﹣，则F′（x）＝﹣4sin（2x+）+2，
因为0＜x＜，所以＜2x+＜，
所以＜sin（2x+）≤1，﹣4≤﹣4sin（2x+）＜﹣2，
所以F′（x）＝﹣4sin（2x+）+2＜0，
所以h′（x）在（0，）上单调递减，且h′（0）＝0，
所以h′（x）＜0，h（x）在（0，）上单调递减，且h（0）＝0，
所以h（x）＜0，即x∈（0，）时，f（x）﹣g（x）＜0．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．
43．已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．
【答案】（1）函数的图象见解答．
（2）函数f（x）的单调递增区间为．
【分析】（1）通过列表，表示出，函数的变化规律，然后描点，连线画出图象．
（2）利用函数的图象，写出函数的单调增区间即可．
【解答】解：（1）不妨求解函数f（x）在一个周期[0，2π]的图象，
列表，
函数f（x）在一个周期内的图象如图所示：
（2）：令，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为．
【点评】本题考查五点法画正弦函数的图象，函数的单调性的求法，是中档题．
44．已知函数f（x）＝2．
（1）求；
（2）把y＝f（x）图象上的所有的点向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x），x∈[，]的值域．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【答案】（1）；（2）值域为[1，]．
【分析】（1）结合和差角公式，二倍角公式，辅助角公式进行化解函数解析式，把x＝代入函数解析式即可求解；
（2）结合函数图象平移先求出g（x）的解析式，然后结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）f（x）＝2＝2sinx（csx﹣sinx）+1
＝2sinxcsx﹣2sin2x+1＝sin2x+cs2x，
所以，
所以．
（2）将函数y＝f（x）向右平移个单位得到，
当时，，
所以，
故g（x）在该区间内取得最大值和最小值1，
因此y＝g（x），的值域为[1，]．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
45．已知函数f（x）＝sin4x+2sinxcsx﹣cs4x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的最小值．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【答案】（1）；
（2）1．
【分析】（1）借助三角恒等变换公式将f（x）化简为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；
（2）平移后得到y＝g（x）的解析式，结合正弦型函数的性质计算即可得．
【解答】解：（1）f（x）＝sin4x+2sinxcsx﹣cs4x＝（sin2x+cs2x）（sin2x﹣cs2x）+2sinxcsx
＝sin2x﹣cs2x+2sinxcsx＝sin2x﹣cs2x
＝，
令，
则，
故函数f（x）的单调递减区间为；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，
则，
当时，，
则当时，即时，
y＝g（x）有最小值，且最小值为．
即y＝g（x）在区间上的最小值为1．
【点评】本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
46．已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）csx．
（1）求f（x）的最小正周期及的值；
（2）将函数y＝csx图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线x＝t，与函数f（x），g（x）的图象分别交于M，N两点，求|MN|的最大值．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【答案】（1）π，1；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，进而利用正弦函数的性质即可求解；
（2）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解；
（3）由题意可知，进而利用三角函数恒等变换以及正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2sin（π﹣x）csx＝2sinxcsx＝sin2x，
∴f（x）的最小正周期为，；
（2）将函数y＝csx图象的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到y＝cs2x，
再向左平移个单位长度得到函数；
（3）由题意可知：M，N两点的坐标为（t，f（t）），（t，g（t）），
则|MN|＝|f（t）﹣g（t）|，
即，
故
＝
＝
＝，
∵t∈[0.，
∴，
∴，
∴|MN|在t∈[0，时的最大值为．
【点评】本题考查了y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
47．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求使f（x）≤1成立的x的取值集合．
【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】（1）表中数据见解析，；
（2）
【分析】（1）根据表示数据可得函数的最值、周期和取得最值时的x的值，然后可得答案；
（2）由条件可得sin（3x﹣）≤，然后解出即可．
【解答】解：（1）表中数据补充完整为：
f（x）＝2sin（3x﹣）．
（2）由2sin（3x﹣）≤1，可得sin（3x﹣）≤，
所以2kπ﹣≤3x﹣≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
所以使f（x）≤l成立的取值集合为．
【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．
48．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求A，ω的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的最值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过函数的图象直接求A，利用函数的周期即可求出ω的值；
（2）根据函数的单调增区间，直接求f（x）的单调增区间即可；
（3）通过x∈，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的最值，直接求解f（x）的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由图象知A＝1，…（2分）
由图象得函数的最小正周期为，
则由得ω＝2．…（4分）
（2）∵，
∴．
∴．
所以f（x）的单调递增区间为．…（9分）
（3）∵，∵，
∴．
∴．…（12分）
当，即时，f（x）取得最大值1；
当，即时，f（x）取得最小值．…（14分）
【点评】本题考查函数解析式的求法，正弦函数的单调性的应用，正弦函数的最值的求法，考查计算能力．
49．设函数（其中ω＞0，α∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f（x）在区间上的最小值为，求α的值．
【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的最值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）先用三角恒等式将函数f（x）表达式化简，再将最高点的坐标代入即可求出ω的值．
（Ⅱ）利用三角函数的性质求出f（x）在区间上的最小值表达式，令其值为，即可解出参数的值．
【解答】解：（I）f（x）＝cs2ωx+sin2ωx++α
＝
依题意得2ω×+＝
解之得ω＝
（Ⅱ）由（I）知f（x）＝sin（x+）++α
又当x∈[﹣，]时，x+∈[0，]
故﹣≤sin（x+）≤1，
从而，f（x）在[﹣，]上取得最小值﹣++α
因此，由题设知﹣++α＝
解得α＝
答：（I）ω＝；（Ⅱ）α＝
【点评】考查三角函数的图象与性质，先用性质求参数的值，再由函数的单调性判断出函数的最小值的参数表达式，建立关于参数的方程，求出相应的参数．本题可以培养答题者运用知识灵活转化的能力．
50．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）+m≤0对恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）函数．
＝，
＝
＝．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）f（x）+m≤0对恒成立，
所以f（x）max+m≤0，
由于，
所以．
当时，即时，
m+1≤0时，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
51．已知tanx＝2，
（1）求的值；
（2）求的值．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；求两角和与差的三角函数值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据两角差的正切公式算出答案；
（2）根据二倍角的三角函数公式、两角和的余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系算出答案．
【解答】解：（1）因为tanx＝2，所以tan（x﹣）＝＝＝；
（2）由题意得
＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式及其应用，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
52．已知．
（1）求的值；
（2）求tan（α+β）的值．
【考点】两角和与差的三角函数．
【答案】（1）﹣．
（2）．
【分析】（1）利用cs ＝cs[（α﹣）﹣（﹣β）]，求出相关的三角函数值即可求解；
（2）求出相关角的范围，利用tan（α+β）＝，求解即可．
【解答】解：（1）cs（α﹣）＝﹣，且α∈（，π），β∈（0，），α﹣∈（），
∴sin（α﹣）＝＝，
sin（﹣β）＝，且α∈（，π），β∈（0，）．﹣β∈（），
cs（﹣β）＝＝，
cs ＝cs[（α﹣）﹣（﹣β）]＝＝﹣；
（2）α∈（，π），β∈（0，）．α+β∈（），∈（），
∵cs ＝﹣，
∴∈（），
sin＝＝，
tan＝，
tan（α+β）＝＝＝＝．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力．
53．已知sinθ＝，θ为第二象限角．
（1）求sin2θ的值；
（2）求cs（θ﹣）的值．
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出csθ，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；
（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案．
【解答】解：（1）∵，θ为第二象限角，
∴，
则；
（2）．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式，和差角公式的应用，属于基础题．
54．已知sinθ+2csθ＝0．
（1）求的值；
（2）求3sin2θ﹣2sinθcsθ的值．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系．
【答案】（1）﹣1；（2）．
【分析】（1）由已知结合同角基本关系进行化简即可求；
（2）由已知结合同角基本关系进行化简即可求．
【解答】解：（1）因为sinθ+2csθ＝0，即tanθ＝﹣2，
＝＝＝﹣1；
（2）3sin2θ﹣2sinθcsθ＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
55．函数的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的值域．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性．
【答案】（1）[0，]和[π，π]；
（2）值域∈[﹣1，2]．
【分析】（1）先由最小正周期可得ω的值，求出函数的单调递增区间，再由x的范围，可得函数在所给区间上的单调递增区间；
（2）由x的范围，可得角的整体的范围，由函数的单调性可得函数的值域．
【解答】解：（1）由函数的最小正周期为π，可得T＝＝π，可得ω＝2，
所以函数f（x）＝2sin（2x+），
函数的单调递增区间满足﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
因为x∈[0，π]，当k＝0时，x∈[0，]，
当k＝1时，x∈[π，π]，
当k≥2或k≤1，x∈∅，
综上所述：函数的单调递增区间为[0，]和[π，π]；
（2）当时，﹣≤2x+≤π，
当2x+＝﹣时，（f（x））min＝2sin（﹣）＝﹣1，
当2x+＝时，[f（x）]max＝2sin＝2；
所以f（x）的值域∈[﹣1，2]．
【点评】本题考查三角函数的单调区间及值域的求法，属于基础题．
56．化简：．
【考点】诱导公式．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．
【解答】解：因为＝＝cs3α．
所以原式的值为：cs3α．
【点评】本题考查诱导公式的应用，基本知识的考查．
57．证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．
【考点】换底公式的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用指数式与对数式的互化，lgbN＝x 等价于bx＝N，两边同取对数后解除x的解析式．
【解答】证明：令lgbN＝x，则bx＝N，两边同取以a为底的对数得：＝lgaN，
∴x•lgab＝lgaN，
∴x＝，
∴lgbN＝成立．
【点评】本题考查对数的定义，体现解方程的思想．
58．（1）若函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，求y＝f（2x+1）的定义域；
（2）若函数y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，求y＝f（x）的定义域；
（3）若函数y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，求y＝f（x﹣1）的定义域．
【考点】抽象函数的定义域．
【答案】（1）；
（2）[1，3]；
（3）[2，4]．
【分析】由已知结合函数的定义即可求解．
【解答】解：（1）依题意，得0≤2x+1≤1，解得，
∴y＝f（2x+1）的定义域为；
（2）∵y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，即x∈[0，1]，
∴2x+1∈[1，3]，
∴y＝f（x）的定义域为[1，3]；
（3）∵y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，即x∈[0，1]，
∴2x+1∈[1，3]，
∴在函数y＝f（x﹣1）中，有1≤x﹣1≤3，解得2≤x≤4，
∴y＝f（x﹣1）的定义域为[2，4]．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
59．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
【考点】不等关系与不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）原式＝+＝+，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，
∴，解方程组可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+＝+
＝+≤
＝2＝4，
当且仅当＝即t＝1时取等号，
∴所求最大值为4
【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．
60．已知集合A＝{x|3＜x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m+1}．
（1）若m＝2，求A∩B，A∪B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【考点】集合的含义；集合的包含关系判断及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将m的值代入集合B，从而求出A和B的交集和并集；（2）根据集合的包含关系，得到m≤3＜6≤2m+1，解出即可；（3）根据空集的定义判断即可．
【解答】解：（1）当m＝2时：B＝{x|2≤x≤5}，
∴A∩B＝{x|3＜x≤5}，A∪B＝{x|2≤x≤6}；
（2）若A⊆B，即（3，6]⊆[m，2m+1]，解得≤m≤3；
（3）若A∩B＝∅，
①B为空集，则m＞2m+1，m＜﹣1，
②B不为空集，则m＞6或2m+1≤3且2m+1≥m，
即m＞6或﹣1≤m≤1，
综上，m的范围是{m|m＞6或m≤1}．
【点评】本题考查了集合的运算性质，考查空集的定义，是一道基础题．
考点卡片
1．集合的含义
【知识点的认识】
1、集合的含义：
集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．
2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．
（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）
用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．
【典型例题分析】
题型一：判断能否构成集合
典例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．
（1）小于5的自然数；
（2）某班所有个子高的同学；
（3）不等式2x+1＞7的整数解．
分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．
解答：（1）小于5的自然数为0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．
（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．
（3）由2x+1＞7得x＞3，因为x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．
点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础．
典例2：下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}N＝{3，2} B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}
C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）} D．M＝{2，1}N＝{1，2}
分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断．
解答：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；
B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；
C、M＝{（4，5）} 集合M的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故C错误；
D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确；
故选D．
点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．
题型二：集合表示的含义
典例3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．
分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A为数集，B为数集，C为点集．
解答：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；
B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；
C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成．
点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成．
【解题方法点拨】
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么．
2．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
3．不等关系与不等式
【知识点的认识】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
不等式定理
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【命题方向】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
4．运用基本不等式解决实际问题
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
【解题方法点拨】
均值不等式在解决实际问题中有广泛应用．例如，在优化设计、资源分配等问题中，可以通过均值不等式求解最优解，从而解决实际问题．通过均值不等式，可以将实际问题转化为数学问题，从而进行分析和求解．
【命题方向】
运用均值不等式解决实际问题的命题方向包括优化设计问题、资源分配问题等．例如，通过均值不等式求解最优资源分配方案，或设计最优几何图形．这类题型要求学生能够将实际问题转化为数学问题，并能灵活运用均值不等式进行求解和分析．
某单位准备建造一间地面面积为12平方米，背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/平方米，房屋侧面的造价为800元/平方米，屋顶造价为5800元，房屋背面的费用忽略不计．若墙高为3米，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少？
解：设房屋侧面的长度为x米，房屋总造价为y，
则y＝2x×3×800+×3×1200+5800
＝4800（x+）+5800（x＞0），
∵x+≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取等号，
∴y的最小值为4800×6+5800＝34600，
则当矩形小房地面的长度分别为3，4米时，总造价最低．最低总造价是34600元．
5．指、对数不等式的解法
【知识点的认识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
6．抽象函数的定义域
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．
（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．
（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．
（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】
涉及抽象函数的定义域求解，常见于参数未知的函数定义域问题．
已知函数f（3x+2）的定义域为（0，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为_____．
解：由函数f（3x+2）的定义域为（0，1），即0＜x＜1，得2＜3x+2＜5，
令2＜2x﹣1＜5，解得，
∴函数f（2x﹣1）的定义域为．
7．奇函数偶函数的判断
【知识点的认识】
奇函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
偶函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
【命题方向】
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
8．求指数函数及指数型复合函数的单调性
【知识点的认识】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
【解题方法点拨】
指数函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．
﹣分析指数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1时，指数函数单调递增；当0＜a＜1时，指数函数单调递减．
﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层指数函数确定复合函数的整体单调性．
﹣验证单调性的准确性．
【命题方向】
题目通常涉及分析指数函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．
y＝的递增区间为_____．
解：根据题意，设t＝x2﹣5x+6，则y＝et，
t＝x2﹣5x+6是二次函数，其对称轴x＝，在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，
y＝et是指数函数，在R上为增函数，
故y＝的递增区间为[，+∞）；
故答案为：[，+∞）．
9．换底公式的应用
【知识点的认识】
换底公式及换底性质：
（1）lgaN＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．
（2）lgab＝，
（3）lgab•lgbc＝lgac，
（4）lganbm＝lgab．
10．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝ y ，cs α＝ x ，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则csα＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得csα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．
∴csα＝＝＝﹣，
故选：D．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
11．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
12．诱导公式
【知识点的认识】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
公式
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数：表达式为y＝csx；
有cs（π+x）＝cs（π﹣x）＝﹣csx，cs（﹣x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝ctx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝ctx；
ct（﹣x）＝﹣ctx，ct（﹣x）＝tanx，ct（π+x）＝ctx．
【解题方法点拨】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cs（α+2kπ）＝csα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα．
公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cs（π﹣α）＝﹣csα．
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cs θ）2＝1±2sin θcsθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cs2θ＝cs2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
【命题方向】
例1：tan300°+tan765°的值是 1﹣ ．
解：原式＝tan（360°﹣60°）+tan（2×360°+45°）＝﹣tan60°+tan45°＝1﹣．
故答案为：1﹣．
利用360°﹣60°＝300°，2×360°+45°＝765°，诱导公式化简表达式，然后求出表达式的值．
例2：诱导公式tan（nπ﹣α）＝（ ）（其中n∈Z）
解：∵tan（nπ﹣α）＝tan（﹣α）＝﹣tanα
13．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
14．正弦函数的奇偶性和对称性
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．
【解题方法点拨】
例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝ ．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cs2x＝，
而函数y＝sint的对称轴为
则，解得（k∈Z）
则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为
故答案为．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x﹣看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．
【命题方向】
这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．
15．余弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
16．余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
17．正切函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
18．正切函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcs x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcs x+b（sin x±cs x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求解．
正切函数的值域
正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．
【解题方法点拨】
例：函数的值域为 {﹣2，0，2} ．
解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，
当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，
当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，
可知函数的值域是{﹣2，0，2}，
故答案为：{﹣2，0，2}．
19．正切函数的单调性和周期性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
正切函数的周期性
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
20．正切函数的奇偶性与对称性
【知识点的认识】
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
21．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
【知识点的认识】
1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：
（1）先确定周期T＝，在一个周期内作出图象；
（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．
2．振幅、周期、相位、初相
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
22．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
23．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
24．y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【知识点的认识】
函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的物理意义
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，+∞））表示一个简谐振动时，则A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx+φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相．
25．三角函数的最值
【知识点的认识】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【解题方法点拨】
例1：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝ +cs（2x+） ．
解：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝﹣+2•＝+（cs2x﹣sin2x）
＝+cs（2x+）．
故答案为：+cs（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【命题方向】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
26．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
27．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
28．求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcsβ±csαsinβ
cs（α±β）＝csαcsβ∓sinαsinβ
﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
【命题方向】
常见题型包括利用和差公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．
若α为锐角，，则＝_____．
解：若α为锐角，，则csα＝，
＝sinα+csα＝＝．
29．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cs2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
30．三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
【解题方法点拨】
例：sin60°cs（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cs（﹣570°）的值等于
解：，，，，
∴原式＝．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cs（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cs30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【命题方向】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
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ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
2
0
﹣2
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
D
D
C
B
B
D
B
B
B
B
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
答案
A
C
D
D
B
A
B
B
A
D
0
π
2π
x
y
0
3
0
﹣3
0
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
2
0
﹣2
0
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
2
0
﹣2
0
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（k∈Z）；
递减区间：
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ+，2kπ+]
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
x
﹣
﹣+
﹣
ωx+φ
0
π

2π
y＝Asin（ωx+φ）
0
A
0
﹣A
0