高一下学期数学精品期中模拟试卷（含详细解析）

这是一份高一下学期数学精品期中模拟试卷（含详细解析），共114页。试卷主要包含了已知向量a→=，已知a，b均为实数，复数，已知点A等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量a→=（1，2），a→−b→=（5，2），则|b→|＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．在△ABC中，已知BD→=2DC→，设a→=AB→，b→=AC→，则（ ）
A．AD→=13a→+23b→B．AD→=23a→−13b→
C．AD→=23a→+13b→D．AD→=13a→−23b→
3．已知a，b均为实数，复数：z＝a2﹣b+（b﹣2a）i，其中i为虚数单位，若z＜3，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣3，1）
4．如图为水平放置的△OAB的直观图，则原三角形的面积为（ ）
A．3B．32C．6D．12
5．已知向量a→，b→满足|a→|=2|b→|=2，且|a→−b→|=22，则a→在b→上的投影向量为（ ）
A．−13b→B．−12b→C．−23b→D．−32b→
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为465，则BC边上的高线AH的长等于（ ）
A．43B．423C．2D．433
7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BB1上，且△ADC1所在的平面将三棱柱ABC﹣A1B1C1分割成体积相等的两部分，点M在棱A1C1上，且A1M＝2MC1，点N在直线BB1上，若MN∥平面ADC1，则BB1NB1=（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2，b=4，csC=14，则c＝（ ）
A．2B．4C．16D．26
9．设复数zi＝1+3i，则复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知点A（4，3），B（1，﹣1），则与向量AB→共线的单位向量为（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）或（﹣3，﹣4）
C．(−35，−45)D．(35，45)或(−35，−45)
11．如图，已知⊙O的半径为4，若劣弧AB长为π，则劣弧AB所对圆周角的正弦的平方为（ ）
A．12B．22C．12−24D．12+24
12．已知矩形ABCD的长AB＝4，宽BC＝3．点P在线段BD上运动（不与B、D两点重合），则PC→⋅BD→的取值范围是（ ）
A．（﹣16，9）B．（﹣9，16）C．[0，9）D．（﹣16，0]
13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝tanA，b2＝tanB，且a≠b，则角C＝（ ）
A．π4B．π2C．2π3D．3π4
14．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点M，N分别在棱AA1，A1D1上，满足AA1＝3AM，A1D1＝3D1N，点Q在正方体的面BCC1B1内，且A1Q∥平面C1MN，则线段A1Q长度的最小值为（ ）
A．10B．3C．362D．382
15．下列函数中，既是奇函数，又在[0，π2]上是严格增函数的是（ ）
A．y＝cs（x+π）B．y=sin(x+π2)
C．y=cs(x−π2)D．y＝sin（x﹣π）
16．如图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数y＝Asin（ωx+φ）+c来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（ ）
A．y=180sin(π12x+π3)+300
B．y=180sin(π6x+5π6)+300
C．y=180sin(π12x+π6)+300
D．y=180sin(π6x+π6)+300
17．已知集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则（ ）
A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．A⊆BD．B⊆A
18．设复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分又不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
19．已知a＝1.50.2，b＝lg0.81.2，c＝0.80.2，则（ ）
A．a＞c＞bB．c＞b＞aC．a＞b＞cD．c＞a＞b
20．函数f(x)=ex−1ex+1⋅sinx在区间[−π2，π2]上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
21．复数z满足3z+2z=5+2i，则|z|＝（ ）
A．3B．2C．5D．6
22．在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→=xAB→+yAD→，则y﹣x＝（ ）
A．12B．1C．32D．−12
23．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A．52B．1C．2D．3
24．一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为28π，则它的表面积为（ ）
A．41πB．42πC．2933πD．(18+73)π
25．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，Q是侧面BCC1B1内一点，若A1Q∥平面AEF．则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为（ ）
A．3+2B．2+52C．25+324D．5+222
26．sin81°cs51°﹣cs81°sin51°＝（ ）
A．−32B．32C．−12D．12
27．如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝3，AC＝5，N为边BC的中点，则AN→⋅AM→=（ ）
A．7B．152C．8D．172
28．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC=5−12，根据这些信息，可得sin126°＝（ ）
A．1−254B．3+58C．1+54D．4+58
二．多选题（共6小题）
（多选）29．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使PQ∥平面MBN
C．过Q，M，N三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面面积的取值范围为[26，33]
D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
（多选）30．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．非零向量a→和b→满足|a→|=|b→|=|a→−b→|，则a→与a→−b→的夹角为60°
C．在四边形ABCD中，AB→=DC→，则四边形ABCD是平行四边形
D．若{e1→，e2→}是平面内所有向量的一个基底，则{e1→−e2→，e2→−e1→}也可以作为平面向量的基底
（多选）31．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，B1C⊥BC，AC⊥B1C，BC＝CB1＝A1C1＝2，下列结论中正确的有（ ）
A．平面BCC1B1⊥平面ACC1A1
B．直线AA1与BC1所成的角的正切值是13
C．三棱锥C﹣A1B1C1的外接球的表面积是12π
D．该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍
（多选）32．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则sin2A＞sin2B
B．若a＞b，则cs2A＜cs2B
C．若a+c＝2b，则B的最大值为π3
D．若ac＝b2，则B的最大值为π3
（多选）33．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
（多选）34．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinAsinBsinC=18，△ABC的面积为2，则下列选项正确的是（ ）
A．abc=182
B．若a=2，则A=π3
C．△ABC外接圆的半径R=22
D．(1sinA+1sinB)2≥32sinC
三．填空题（共12小题）
35．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），则zi= ．
36．在正六边形ABCDEF中，已知AB＝1，则AC→⋅AE→= ．
37．如图，△A′O′B′△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝1，则△AOB的边OB上的高为 ．
38．已知a=sin12，b=e12，c=lg26，则a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”号表示）
39．已知角α的终边经过点（﹣3，4），则csα的值为 ．
40．在△ABC中，a＝2，b＝6，C＝30°，则△ABC的面积为 ．
41．化简：sin(π6−α)csα+cs(π6−α)sinα= ．
42．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为 ．
43．近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB=2π3，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即t＝0秒时，点A位于圆心正下方；则t＝ 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f（t）＝ ．
44．已知a→，b→是夹角为120°的两个单位向量，若向量a→−2b→在向量a→上的投影向量为 ．
45．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD→=2DC→，E是AD的中点，过点E的直线与AB，AC两边分别交于M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设AB→=xAM→，AC→=yAN→，则1x+2y的最小值为 ．
46．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移π6个单位长度，所得函数g（x）的图象关于y轴对称，且g（x）在(π10，π4)上单调递减，则ω＝ ．
四．解答题（共14小题）
47．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．
（1）求石凳的体积；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
48．已知|a→|=1，|b→|=2．
（1）若a→∥b→，求a→•b→；
（2）若a→与b→的夹角为60°，求|2a→+b→|；
（3）若a→−b→与a→垂直，求a→与b→的夹角．
49．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥AD；
（Ⅱ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅲ）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．
50．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA﹣csinC＝（a﹣b）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）若ab＝1，A＞B，角C的平分线交AB边于D，CD=235，求ADBD的值．
51．已知向量m→=(3csx，1)，n→=(sinx，sin2x−1)，函数f(x)=m→⋅n→+12．
（1）若x∈[0，π4]，f(x)=33，求cs2x的值；
（2）已知△ABC是锐角三角形，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且B≠C，f(A2−512π)=f(B+712π)，求ba+c的取值范围．
52．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE∥平面PAD；
（2）求三棱锥E﹣PBD的体积；
（3）求直线AP与平面ABE所成角的大小．
53．已知：csα=−45，α∈（π，2π）．
（1）求cs2α的值；
（2）若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第一象限的点(12，32)，求cs（α﹣β）的值．
54．已知函数f(x)=23sinxcsx+2cs2x（x∈R）．
（1）化简y＝f（x）的解析式，并写出函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；
（3）用五点法画出函数y＝f（x），x∈[−π12，11π12]的图像；若函数g（x）＝k+1﹣f（x）在[0，2π3]内有两个相异的零点，求实数k的取值范围．
55．已知a→=(1，1)，b→=(0，−2)，当k为何值时：
（1）ka→−b→与a→+b→共线；
（2）ka→−b→与a→+b→的夹角为120°．
56．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccsB+bcsC=a2csA．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为43，a=33，求△ABC的周长和外接圆的面积；
（3）若sinB=63，求sin（2B+A）的值．
57．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH（GH与B1C1不重合）．
（1）求证：BC∥GH；
（2）若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG．
58．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcsC＝ccs（A+C）+2acsB．
（1）求B；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的面积．
59．在△AOB中，点C满足3OC→=OA→+2OB→，
（1）若|AC→|=m|CB→|，求m；
（2）若M是OB的中点，直线AM与OC交于点P，且BP→=λBO→+μBA→，求λ+μ；
（3）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，csx），B（1+csx，csx），x∈[−π3，0]，若函数f(x)=OA→⋅OC→−(2a+23)|AB→|的最大值为3，求实数a的值．
60．已知函数f（x）＝sinx﹣csx（x∈R）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）•f（π﹣x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数y=f2(x)+f(2x−π4)的值域．
高一下学期数学精品期中模拟试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共28小题）
二．多选题（共6小题）
一．选择题（共28小题）
1．已知向量a→=（1，2），a→−b→=（5，2），则|b→|＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据b→=a→−(a→−b→)可得出向量b→的坐标，进而可求出|b→|的值．
【解答】解：b→=a→−(a→−b→)=（1，2）﹣（5，2）＝（﹣4，0），
∴|b→|=4．
故选：A．
【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，向量的数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
2．在△ABC中，已知BD→=2DC→，设a→=AB→，b→=AC→，则（ ）
A．AD→=13a→+23b→B．AD→=23a→−13b→
C．AD→=23a→+13b→D．AD→=13a→−23b→
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据平面向量基本定理可解．
【解答】解：在△ABC中，已知BD→=2DC→，设a→=AB→，b→=AC→，
则AD→=AB→+BD→=AB→+23BC→=AB→+23(AC→−AB→)=13AB→+23AC→=13a→+23b→．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量基本定理相关知识，属于中档题．
3．已知a，b均为实数，复数：z＝a2﹣b+（b﹣2a）i，其中i为虚数单位，若z＜3，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣3，1）
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可．
【解答】解：由题z＝a2﹣b+（b﹣2a）i＜3，所以z为实数，即b−2a=0a2−b＜3，
则有a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜3，即a的取值范围为（﹣1，3）．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
4．如图为水平放置的△OAB的直观图，则原三角形的面积为（ ）
A．3B．32C．6D．12
【考点】斜二测法画直观图．
【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】由直观图还原原图时，注意横不变，纵为直观图的2倍，可得三角形的底边，仍然为3，高为直观图的2倍是4，求出原三角形的面积．
【解答】解：由直观图可得原三角形的底为3，高为4，
所以原三角形的面积S=12×3×4=6，
故选：C．
【点评】考查斜二测画法的直观图与原图的关系，属于基础题．
5．已知向量a→，b→满足|a→|=2|b→|=2，且|a→−b→|=22，则a→在b→上的投影向量为（ ）
A．−13b→B．−12b→C．−23b→D．−32b→
【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用模长可求得数量积a→⋅b→=−32，再由投影向量定义代入计算可得结果．
【解答】解：由|a→−b→|=22可得(a→−b→)2=a→2+b→2−2a→⋅b→=8，即4+1−2a→⋅b→=8，
所以a→⋅b→=−32，
可得a→在b→上的投影向量为a→⋅b→|b→|⋅b→|b→|=−32b→．
故选：D．
【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为465，则BC边上的高线AH的长等于（ ）
A．43B．423C．2D．433
【考点】三角形中的几何计算；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】由S△ABC＝S△ABD+S△ACD可得csα的值，进而可求得cs2α、sin2α的值，结合余弦定理可得a，由等面积法S△ABC=12bcsin2α=12a⋅|AH|可求得|AH|．
【解答】解：由题意知，设∠BAD＝∠CAD＝α，
则∠BAC＝2α，如图所示，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得12×3×2sin2α=12×3×465sinα+12×2×465sinα，
整理得3sin2α=26sinα，即sinα(3csα−6)=0，
又因为sinα≠0，
所以csα=63，
所以cs2α=2cs2α−1=13，
所以sin2α=1−cs22α=223，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝32+22﹣2×3×2cs2α＝13﹣4＝9，
所以a＝3，
由S△ABC=12bcsin2α=12a⋅|AH|，可得12×3×2×223=12×3|AH|，解得|AH|=423．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BB1上，且△ADC1所在的平面将三棱柱ABC﹣A1B1C1分割成体积相等的两部分，点M在棱A1C1上，且A1M＝2MC1，点N在直线BB1上，若MN∥平面ADC1，则BB1NB1=（ ）
A．2B．3C．4D．6
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】作出图形，转化三棱锥的顶点与底面易得满足题意的点D为B1B的中点，再过M作平面ADC1的平行平面，从而可得N点位置，从而得解．
【解答】解：如图，设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为6，
则三棱锥A﹣A1B1C1的体积为2，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1在截面ADC1上部分的几何体为四棱锥C1﹣A1ADB1，
又VC1−A1ADB1=VC1−A1AB1+VC1−ADB1=VA−A1B1C1+VC1−ADB1=2+VC1−ADB1，
∴当三棱锥C1﹣ADB1的体积为1时，满足题意，
又三棱锥A﹣A1B1C1（即为三棱锥C1﹣A1AB1）的体积为2，
∴S△A1AB1=2S△ADB1，∴A1A＝2B1D，∴D为B1B的中点，
∵M为A1C1上靠近C1的三等分点，取A1A的靠近A的三等分点P，
则MP∥C1A，过P作PN∥AD，则易得平面PMN∥平面ADC1，
从而可得MN∥平面ADC1，
此时AP＝DN=13AA1=13BB1，又DB1=12BB1，
∴NB1＝DB1﹣DN=12BB1−13BB1=16BB1，
∴BB1NB1=6．
故选：D．
【点评】本题考查几何体的体积问题，面面平行的判定定理与性质，化归转化思想，属中档题．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2，b=4，csC=14，则c＝（ ）
A．2B．4C．16D．26
【考点】余弦定理．
【专题】转化思想；转化法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，利用余弦定理，即可求解．
【解答】解：在△ABC中，a=2，b=4，csC=14，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=22+42−2×2×4×14=16，解得c＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
9．设复数zi＝1+3i，则复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点．
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，求得z＝3﹣i，得到z=3+i，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：由复数zi＝1+3i，可得z=1+3ii=3−i，所以z=3+i，
则z对应的点（3，1）在第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．
10．已知点A（4，3），B（1，﹣1），则与向量AB→共线的单位向量为（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）或（﹣3，﹣4）
C．(−35，−45)D．(35，45)或(−35，−45)
【考点】平面向量中的零向量与单位向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】求得AB→=(−3，−4)，|AB→|=5，利用±AB→|AB→|，可求与向量AB→共线的单位向量．
【解答】解：∵A（4，3），B（1，﹣1），
∴AB→=(−3，−4)，|AB→|=5，
∴与AB→共线的单位向量为±AB→|AB→|，即(35，45)或(−35，−45)．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
11．如图，已知⊙O的半径为4，若劣弧AB长为π，则劣弧AB所对圆周角的正弦的平方为（ ）
A．12B．22C．12−24D．12+24
【考点】弧长公式．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】利用圆心角等于弧长除以半径，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，就可求得圆心角2θ=π4，再利用余弦的二倍角公式，就可以解得答案．
【解答】解：设劣弧AB所对的圆周角为θ，则其所对圆心角为2θ，
由圆心角等于弧长除以半径可知，2θ=π4，即cs2θ=22，
又由cs2θ＝1﹣2sin2θ，可以解得sin2θ=12−24．
故选：C．
【点评】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
12．已知矩形ABCD的长AB＝4，宽BC＝3．点P在线段BD上运动（不与B、D两点重合），则PC→⋅BD→的取值范围是（ ）
A．（﹣16，9）B．（﹣9，16）C．[0，9）D．（﹣16，0]
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】依题意，点P在线段BD上，设BP→=nBD→，PD→=mBD→，n=1−m，建立空间直角坐标系，根据点坐标，表示出PC→⋅BD→，根据n∈（0，1），求出答案．
【解答】解：由题意得，点P在线段BD上，
设BP→=nBD→，PD→=mBD→，n=1−m，且n∈（0，1），
以A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
则A（0，0），B（4，0），C（4，3），D（0，3），
则BD→=(−4，3)，AC→=(4，3)，
由AP→=mAB→+nAD→=m(4，0)+n(0，3)=(4m，3n)，
故PC→=AC→−AP→=(4−4m，3−3n)，
所以PC→⋅BD→=−4(4−4m)+3(3−3n)=9−25n，
由于n∈（0，1），所以PC→⋅BD→∈(−16，9)．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝tanA，b2＝tanB，且a≠b，则角C＝（ ）
A．π4B．π2C．2π3D．3π4
【考点】解三角形；正弦定理．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】由三角形的正弦定理和二倍角的正弦公式、诱导公式，可得所求结论．
【解答】解：由a2＝tanA，b2＝tanB，且a≠b，
可得a2tanA=b2tanB，
即有a2sinBcsA＝b2sinAcsB，
由正弦定理可得sinAsinBsinAcsA＝sinAsinBsinBcsB，
由sinAsinB＞0，可得sinAcsA＝sinBcsB，
即sin2A＝sin2B，
由0＜A，B＜π，可得2A＝2B，或2A+2B＝π，
可得A＝B（舍去），或A+B=π2，即C=π2．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点M，N分别在棱AA1，A1D1上，满足AA1＝3AM，A1D1＝3D1N，点Q在正方体的面BCC1B1内，且A1Q∥平面C1MN，则线段A1Q长度的最小值为（ ）
A．10B．3C．362D．382
【考点】直线与平面平行．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】在B1B，B1C1上取点E，F，使得BB1＝3EB1，B1C1＝3B1F，证得平面A1EF∥平面C1MN，得到点Q的轨迹为线段EF，在等腰三角形A1EF中，求得底边EF上的高，即可求解．
【解答】解：在B1B，B1C1上取点E，F，使得BB1＝3EB1，B1C1＝3B1F，
分别连结EF，BC1，AD1，
因为A1D1＝3D1N，可得A1N∥C1F，且A1N＝C1F，
所以四边形A1FC1N为平行四边形，所以C1N∥A1F，
由BB1＝3EB1且B1C1＝3B1F，可得EF∥BC1，
又由AA1＝3AM且A1D1＝3D1N，所以MN∥AD1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AD1∥BC1，所以EF∥MN
因为A1F⊄平面C1MN，且C1N⊂平面C1MN，
所以A1F∥平面C1MN，
同理可证EF∥平面C1MN，
又因为A1F∩EF＝F，且A1F，EF⊂平面A1EF，
所以平面A1EF∥平面C1MN，
因此点Q的轨迹为线段EF，
在等腰三角形A1EF中，A1F=A1E=10，EF=2，
可得底边EF上的高为A1F2−(EF2)2=382，此即为A1Q长度的最小值．
故选：D．
【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
15．下列函数中，既是奇函数，又在[0，π2]上是严格增函数的是（ ）
A．y＝cs（x+π）B．y=sin(x+π2)
C．y=cs(x−π2)D．y＝sin（x﹣π）
【考点】函数的单调性与函数图象的特征；奇函数偶函数的判断．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝cs（x+π）＝﹣csx，其定义域为R，
有f（﹣x）＝﹣cs（﹣x）＝﹣csx＝f（x），所以y＝﹣csx为偶函数，故A错误；
对于B，f(x)=sin(x+π2)=csx，其定义域为R，
有f（﹣x）＝cs（﹣x）＝csx＝f（x），所以y＝csx为偶函数，故B错误；
对于C，f(x)=cs(x−π2)=sinx，其定义域为R，
有f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx＝﹣f（x），所以y＝sinx为奇函数，
x∈[0，π2]时，f（x）＝sinx单调递增，故C正确；
对于D，f（x）＝sin（x﹣π）＝﹣sinx，其定义域为R，
f（﹣x）＝﹣sin（﹣x）＝sinx＝﹣f（x），所以y＝﹣sinx为奇函数，
x∈[0，π2]时，f（x）＝sinx单调递减，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
16．如图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数y＝Asin（ωx+φ）+c来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（ ）
A．y=180sin(π12x+π3)+300
B．y=180sin(π6x+5π6)+300
C．y=180sin(π12x+π6)+300
D．y=180sin(π6x+π6)+300
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】利用周期可求ω，由图象可求c，A，进而利用图象过点（2，480），可求φ，进而可得解析式．
【解答】解：由图象可得周期T＝14﹣2＝12，所以2πω=12，所以ω=π6，
所以y=Asin(π6x+φ)+c，由图象和各选项可得c＝300，A＝180，
所以y=180sin(π6x+φ)+300，由图象过点（2，480），
所以480=180sin(π6×2+φ)+300，所以sin(π3+φ)=1，
所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，所以φ=π6+2kπ，k∈Z，
所以y=180sin(π6x+π6+2kπ)+300=180sin(π6x+π6)+300．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数性质，属于基础题．
17．已知集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则（ ）
A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．A⊆BD．B⊆A
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【答案】D
【分析】分别化简集合A和B，逐一核对答案即可．
【解答】解：集合A＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}＝（0，+∞），
集合B＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝[1，2]，
∴B⊆A，
故选：D．
【点评】本题考查集合间的关系，以及指数函数的性质和一元二次不等式的解法，属于基础题．
18．设复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分又不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
【考点】虚数单位i、复数；充分条件与必要条件．
【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】D
【分析】根据复数z＝a+bi是纯虚数，则a＝0，b≠0，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【解答】解：若复数z＝a+bi是纯虚数，则a＝0，b≠0，
则a＝0不能证得z为纯虚数，z为纯虚数可以证得a＝0，
故“a＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查了纯虚数的概念，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力，属于基础题．
19．已知a＝1.50.2，b＝lg0.81.2，c＝0.80.2，则（ ）
A．a＞c＞bB．c＞b＞aC．a＞b＞cD．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小．
【解答】解：∵a＝1.50.2＞1，
b＝lg0.81.2＜0，
c＝0.80.2∈（0，1），
∴a＞c＞b．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．函数f(x)=ex−1ex+1⋅sinx在区间[−π2，π2]上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号，即可求解．
【解答】解：∵f(x)−f(−x)=ex−1ex+1⋅sinx−e−x−1e−x+1⋅sin(−x)=(ex−1ex+1+1−ex1+ex)sinx=0，
∴f（x）为偶函数，
又当x∈(0，π2]时，则sinx＞0，ex＞e0＝1，
∴ex+1＞0，ex﹣1＞0，
∴f（x）＞0，
综上所述：A正确，B、C、D错误．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，属基础题．
21．复数z满足3z+2z=5+2i，则|z|＝（ ）
A．3B．2C．5D．6
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】利用待定系数法，结合复数相等的充要条件可得a＝1且b＝﹣2，即可由模长公式求解．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），
因为复数z满足2z+3z=5+2i，
即2（a+bi）+3（a﹣bi）＝5a﹣bi＝5+2i．
可得a＝1且b＝﹣2，
故|z|=a2+b2=5．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
22．在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→=xAB→+yAD→，则y﹣x＝（ ）
A．12B．1C．32D．−12
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意得DC→=12AB→，利用平面向量的线性运算法则与平面向量基本定理列式求出x、y，进而可得答案．
【解答】解：因为AB→=2DC→，所以DC→=12AB→，可得AC→=AD→+DC→=AD→+12AB→，
因为AB→、AD→不共线，且AC→=xAB→+yAD→，所以x=12y=1，可得y−x=12．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量基本定理及其应用，属于基础题．
23．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A．52B．1C．2D．3
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】D
【分析】根据圆锥侧面展开图与本身圆锥的关系进行求解即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则πl=2πr12l×2πr=2π，解得r2＝1，l2＝4，
则圆锥的高ℎ=l2−r2=3，
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，属于基础题．
24．一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为28π，则它的表面积为（ ）
A．41πB．42πC．2933πD．(18+73)π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．
【专题】方程思想；定义法；立体几何；直观想象；运算求解．
【答案】B
【分析】根据圆台的体积求出高，再计算圆台的母线长和表面积．
【解答】解：设圆台的高为h，则圆台的体积为13πℎ(12+42+1×4)=28π，
解得h＝4，所以圆台的母线长为(4−1)2+42=5，
所以圆台的表面积为π（12+42+1×5+4×5）＝42π．
故选：B．
【点评】本题考查了圆台的表面积、体积计算问题，也考查了空间想象能力和数学运算核心素养，是基础题．
25．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，Q是侧面BCC1B1内一点，若A1Q∥平面AEF．则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为（ ）
A．3+2B．2+52C．25+324D．5+222
【考点】直线与平面平行．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】根据三角形中位线可得线线平行即可求证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点Q必在线段MN上，由此可判断Q在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．
【解答】解：如下图所示：
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，
∴MN∥EF，又MN⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，
∴A1N∥平面AEF，
又A1N∩MN＝N，∴平面A1MN∥平面AEF，
Q是侧面BCC1B1内一点，且A1Q∥平面AEF，
则Q必在线段MN上，
在Rt△A1B1M中，A1M=A1B12+B1M2=1+(12)2=52，
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=52，
∴△A1MN为等腰三角形，
当Q在MN中点O时A1Q⊥MN，此时A1Q最短，Q位于M、N处时A1Q最长，
A1O=A1M2−OM2=(52)2−(24)2=324，
A1M=A1N=52，
所以线段A1Q长度的最大值与最小值之和为324+52=25+324．
故选：C．
【点评】本题考查了空间中线段长度最值的计算，属于中档题．
26．sin81°cs51°﹣cs81°sin51°＝（ ）
A．−32B．32C．−12D．12
【考点】两角和与差的三角函数的逆用．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】利用两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：sin81°cs51°﹣cs81°sin51°
＝sin（81°﹣51°）
＝sin30°
=12．
故选：D．
【点评】本题考查了两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
27．如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝3，AC＝5，N为边BC的中点，则AN→⋅AM→=（ ）
A．7B．152C．8D．172
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由三角形中线性质可知AN→=12(AB→+AC→)，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知|AM→|cs∠BAM=12|AB→|，同理可得|AM→|cs∠CAM=12|AC→|，再由数量积运算即可得解．
【解答】解：因为N是BC的中点，
所以AN→=12(AB→+AC→)，
因为M为三角形ABC外接圆圆心，也就是三角形ABC的三边中垂线的交点，
∴AM→⋅AB→=|AM→||AB→|cs∠BAM=12|AB→|2=12×32=92，
同理可得AM→⋅AC→=12|AC→|2=252，
∴AM→⋅AN→=AM→⋅12(AB→+AC→)=12AM→⋅AB→+12AM→⋅AC→=12×92+12×252=172．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
28．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC=5−12，根据这些信息，可得sin126°＝（ ）
A．1−254B．3+58C．1+54D．4+58
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；整体思想；演绎法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】首先在△ABC中利用余弦定理求得cs∠BAC的值，然后结合诱导公式即可确定sin126°的值．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得：
cs∠BAC=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC=AC2+AC2−(5−12AC)22⋅AC⋅AC=1+54=cs36°，
sin126°=sin(90°+36°)=cs36°=1+54．
故选：C．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
二．多选题（共6小题）
（多选）29．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使PQ∥平面MBN
C．过Q，M，N三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面面积的取值范围为[26，33]
D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
【考点】球的体积和表面积；平面的基本性质及推论；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据基本事实，线面平行的判定定理，举反例，分割补形法，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：对A选项，当Q与A1重合时，易知PN∥A1B，从而可得B，N，P，Q四点共面，∴A选项正确；
对B选项，当Q为A1D1的中点时，易知PQ∥MN，从而可得PQ∥平面MBN，∴B选项正确；
对C选项，当Q与A1重合时，易知截面为对角面A1C1CA，其面积为42＞33，∴C选项错误；
对D选项，根据分割补形法易知：经过C，M，B，N四点的球即为长宽高分别为2，2，1的长方体的外接球，
∴所求球的直径2R满足：（2R）2＝22+22+12＝9，
∴经过C，M，B，N四点的球的表面积为4πR2＝9π，∴D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，线面平行的证明，正方体的截面问题，四面体的外接球问题，分割补形法的应用，属中档题．
（多选）30．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．非零向量a→和b→满足|a→|=|b→|=|a→−b→|，则a→与a→−b→的夹角为60°
C．在四边形ABCD中，AB→=DC→，则四边形ABCD是平行四边形
D．若{e1→，e2→}是平面内所有向量的一个基底，则{e1→−e2→，e2→−e1→}也可以作为平面向量的基底
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量中的零向量与单位向量；用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维．
【答案】BC
【分析】根据单位向量、向量减法的几何意义、向量相等、基底等知识确定正确答案．
【解答】解：对于A，单位向量的模都是1，但方向是任意的，所以不一定相等，故A错误；
对于B，非零向量a→和b→满足|a→|=|b→|=|a→−b→|，所以|a→|，|b→|，|a→−b→|为三边的三角形是正三角形，
所以a→与a→−b→的夹角为60°，故B正确；
对于C，在四边形ABCD中，所以A，B，C，D是不共线的点，
又因为AB→=DC→，即模相等且方向相同，所以四边形ABCD是平行四边形，故C正确；
对于D，e1→−e2→=−(e2→−e1→)，则e1→−e2→，e2→−e1→为共线向量，不可以作为平面向量的基底，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于基础题．
（多选）31．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，B1C⊥BC，AC⊥B1C，BC＝CB1＝A1C1＝2，下列结论中正确的有（ ）
A．平面BCC1B1⊥平面ACC1A1
B．直线AA1与BC1所成的角的正切值是13
C．三棱锥C﹣A1B1C1的外接球的表面积是12π
D．该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍
【考点】球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直；棱柱的结构特征．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于A：由已知证出AC⊥平面BCC1B，即可得证；
对于B：由于AA1∥CC1，则直线AA1与BC1所成的角，即为直线CC1与BC1所成的角，结合∠CBC1=π4−θ，再利用正切公式即可求解；
对于C：将三棱锥C﹣A1B1C1补成一个棱长为2的正方体，正方体的外接球就是三棱锥C﹣A1B1C1的外接球，即可求解；
对于D：根据平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和性质即可得解．
【解答】解∵AC⊥BC，AC⊥B1C，BC∩B1C＝C，
∴AC⊥平面BCC1B，而AC⊂平面ACC1A1，
则平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，选项A正确；
AA1∥CC1，则直线AA1与BC1所成的角，即为直线CC1与BC1所成的角，
设∠CC1B＝θ，在平行四边形BCC1B1中，B1C与BC1相交于点O，
∵△BCB1为等腰直角三角形，∴∠CBB1=π4，∠BCC1=3π4，
∴∠CBC1=π4−θ，
∴tan∠CBC1=tan(π4−θ)=OCBC=12，
tan(π4−θ)=1−tanθ1+tanθ=12，
解得tanθ=13，故选项B正确；
由于A1C1，C1B1，B1C两两垂直且相等，
故可将三棱锥C﹣A1B1C1补成一个棱长为2的正方体，
正方体的外接球就是三棱锥C﹣A1B1C1的外接球，半径是3，表面积是12π，故选项C正确；
由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和性质可知，选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查空间线面位置关系以及几何体体积的计算，属于中档题．
（多选）32．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则sin2A＞sin2B
B．若a＞b，则cs2A＜cs2B
C．若a+c＝2b，则B的最大值为π3
D．若ac＝b2，则B的最大值为π3
【考点】正弦定理；余弦定理；二倍角的三角函数．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用特值法可判断A；由正弦定理及二倍角的余弦公式即可判断B；由余弦定理及基本不等式即可判断CD．
【解答】解：对于A，若△ABC为等腰直角三角形，A＝90°，B＝45°，满足a＞b，但sin2A＝0，sin2B＝1，sin2A＜sin2B，故A说法错误；
对于B，若a＞b，由正弦定理可得sinA＞sinB＞0，所以sin2A＞sin2B，所以1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即cs2A＜cs2B，故B正确；
对于C，在△ABC中，若a+c＝2b，
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=a2+c2−(a+c2)22ac=34(a2+c2)−12ac2ac≥34×2ac−12ac2ac=12，
当且仅当a＝c时等号成立，因为y＝csx在（0，π）上单调递减，所以0＜B≤π3，所以B的最大值为π3，故C正确；
对于D，在△ABC中，若ac＝b2，由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac≥2ac−ac2ac=12，
当且仅当a＝c时等号成立，因为y＝csx在（0，π）上单调递减，所以0＜B≤π3，所以B的最大值为π3，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查二倍角公式及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）33．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】推导出四边形MGHN是平行四边形，故GH∥MN，由异面直线判定定理得GH和EF是异面直线，由EM∥NF，且EM＝2NF，得MN和EF相交．
【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，
E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，
∴MG∥NH，MG＝NH，∴四边形MGHN是平行四边形，
∴GH∥MN，故C错误；
∵EF∩平面ABB1A1＝E，GH⊂平面ABB1A1，E∉直线GH，
F∉平面ABB1A1，
∴由异面直线判定定理得GH和EF是异面直线，故A错误；
∵EM∥BC1∥NF，且EM＝BC1＝2NF，∴MN和EF相交，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中直线与直线间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想等数学核心素养，是基础题．
（多选）34．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinAsinBsinC=18，△ABC的面积为2，则下列选项正确的是（ ）
A．abc=182
B．若a=2，则A=π3
C．△ABC外接圆的半径R=22
D．(1sinA+1sinB)2≥32sinC
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】CD
【分析】由面积公式代入已知条件，结合正弦定理可得外接圆半径R，可判断出C的真假；利用正弦定理求解，可判断出A，B的真假；已知结合基本不等式，可判断出D的真假．
【解答】解：对A、C：因为△ABC的面积为2，即12absinC=2，
可得sinC=4ab，代入sinAsinBsinC=18，
得4sinAsinBab=18，设△ABC的外接圆的半径为R，则asinA=bsinB=2R，
所以4sinAsinBab=1R2，
可得R2＝8，得R=22，故C正确，
则abc=8R3sinAsinBsinC=1282×18=162，故A错误；
对B：若a=2，则sinA=a2R=242=14，故B错误；
对D：因为sinA＞0，sinB＞0，所以（sinA+sinB）2≥（2sinAsinB）2＝4sinAsinB，
所以(sinA+sinB)2(sinAsinB)2≥4sinAsinB，
由sinAsinBsinC=18，得4sinAsinB=32sinC，
所以(sinA+sinB)2(sinAsinB)2≥32sinC，即(1sinA+1sinB)2≥32sinC，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查正弦定理的应用及基本不等式的想知道应用，属于中档题．
三．填空题（共12小题）
35．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），则zi= ﹣1+2i ．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】﹣1+2i．
【分析】利用复数的几何意义和复数的运算即可求解．
【解答】解：因为复数z对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），则z＝﹣2﹣i，
则zi=−2−ii=(−2−i)⋅ii2=−1+2i．
故答案为：﹣1+2i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
36．在正六边形ABCDEF中，已知AB＝1，则AC→⋅AE→= 32 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】32．
【分析】求出∠CAE，由余弦定理得到AE=AC=3，再利用数量积公式求出答案．
【解答】解：在正六边形中，AB＝BC＝EF＝AF＝1，∠B=∠BAF=∠F=2π3，
所以∠ACB=∠CAB=∠EAF=∠AEF=π6，
所以∠CAE=π3，其中△CBA≌△EFA，
由余弦定理可得：
AE=AC=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB=3，
所以AC→⋅AE→=|AC|⋅|AE|cs∠CAE=32．
故答案为：32．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
37．如图，△A′O′B′△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝1，则△AOB的边OB上的高为 22 ．
【考点】由斜二测直观图还原图形．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】22．
【分析】根据题意，设△AOB的边OB上的高为h，由原图面积与直观图面积的关系，可得12×OB×ℎ=22×12×O′B′×1，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，设△AOB的边OB上的高为h，
则有S原图形=22S直观图，即12×OB×ℎ=22×12×O′B′×1，
又OB＝O′B′，所以ℎ=22．
故答案为：22．
【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
38．已知a=sin12，b=e12，c=lg26，则a，b，c的大小关系为 a＜c＜b ．（用“＜”号表示）
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】a＜c＜b．
【分析】依题意，利用指数，三角函数，对数函数的单调性，借助关键值1和32进行比较．
【解答】解：∵e≈2.7＞2.25，∴e12=e＞2.25=32．
又1＜c=lg26＜lg28=32，a=sin12＜sinπ2=1，
∴a＜c＜b．
故答案为：a＜c＜b．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
39．已知角α的终边经过点（﹣3，4），则csα的值为 −35 ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义csα=xr 求出结果．
【解答】解：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为 r＝5，
由任意角的三角函数的定义得 csα=xr=−35．
故答案为：−35．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．
40．在△ABC中，a＝2，b＝6，C＝30°，则△ABC的面积为 3 ．
【考点】余弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】3．
【分析】由S△ABC=12absinC，计算可求面积．
【解答】解：因为在△ABC中，a＝2，b＝6，C＝30°，
所以S△ABC=12absinC=12×2×6×sin30°=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基础题．
41．化简：sin(π6−α)csα+cs(π6−α)sinα= 12 ．
【考点】两角和与差的三角函数的逆用．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】12．
【分析】由正弦函数的和差角公式，代入计算，即可求解．
【解答】解：sin(π6−α)csα+cs(π6−α)sinα=sin[(π6−α)+α]=sinπ6=12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
42．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为 4π ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】方程思想；定义法；立体几何；运算求解．
【答案】4π．
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的弧长等于底面圆的周长，由此求出圆锥的母线长，再计算圆锥的表面积．
【解答】解：因为圆锥的底面半径为r＝1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，
所以扇形的弧长为2πr＝2π，
设圆锥的母线长为l，则120×π180×l＝2π，解得l＝3，
所以该圆锥的表面积为S＝πr2+πrl＝π×12+π×1×3＝4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
43．近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB=2π3，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即t＝0秒时，点A位于圆心正下方；则t＝ 13 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f（t）＝ 3|sin（2πt+π3）| ．
【考点】三角函数应用；根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；直观想象；运算求解．
【答案】13，3|sin（2πt+π3）|．
【分析】由题意可得H＝|yA﹣yB|，其中H为A，B两点的竖直距离，记t＝0时，A点对应的角为−π2，则B点对应的角为π3，求出t秒后点A、B所对应的角，即可得yA、yB的解析式，再根据yA＝yB即可得第一空答案；由f（t）＝|yA﹣yB|，利用三角恒等变换即可得第二空答案．
【解答】解：记t＝0时，A点对应的角为−π2，则B点对应的角为π3，
设H为A，B两点的竖直距离，
由题意可知H＝|yA﹣yB|，
由题意可知t秒后，点A所对应的角为：−π2+2πt，
此时点B所对应的角为：2π3−π2+2πt，
所以yA＝sin（−π2+2πt）＝﹣cs2πt，
yB＝sin（2π3−π2+2πt）＝﹣cs（2π3+2πt），
当H＝0时，则有yA＝yB，
即cs2πt＝cs（2π3+2πt），
则有cs2πt=−12cs2πt−32sin2πt，
即32cs2πt+32sin2πt=3sin（2πt+π3）＝0，
所以2πt+π3=kπ，k∈z，
解得t=k2−16，k∈z，
又因为转一圈所用时间t=2π2π=1，
所以k＝1，t=13；
由题意可得f（t）＝|yA﹣yB|＝|cs（2π3+2πt）﹣cs2πt|
＝|−12cs2πt−32sin2πt﹣cs2πt|
＝|32cs2πt+32sin2πt|
=3|32cs2πt+12sin2πt|
=3|sin（2πt+π3）|．
故答案为：13，3|sin（2πt+π3）|．
【点评】本题考查了三角函数在生活中的实际运用，考查了三角恒等变换，属于中档题．
44．已知a→，b→是夹角为120°的两个单位向量，若向量a→−2b→在向量a→上的投影向量为 2a→ ．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】2a→．
【分析】由投影向量计算公式，结合数量积的运算律，计算即得．
【解答】解：因为a→，b→是夹角为120°的两个单位向量，
所以a→•b→=|a→|•|b→|cs120°＝1×1×（−12）=−12，
则向量a→−2b→在向量a→上的投影向量为(a→−2b→)⋅a→|a→|•a→|a→|=(a→−2b→)⋅a→|a→|2•a→，
因为（a→−2b→）•a→=a→2﹣2a→•b→=1﹣2•（−12）＝2，
所以向量a→−2b→在向量a→上的投影向量为2a→．
故答案为：2a→．
【点评】本题考查一个向量在另一个向量上的投影向量的求法，向量的数量积的求法，属于基础题．
45．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD→=2DC→，E是AD的中点，过点E的直线与AB，AC两边分别交于M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设AB→=xAM→，AC→=yAN→，则1x+2y的最小值为 32 ．
【考点】平面向量的基本定理；基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】32．
【分析】由平面向量的线性运算计算可得AE→=x6AM→+y3AN→，由M，E，N三点共线可得x6+y3=1，再由基本不等式即可求得．
【解答】解：因为BD→=2DC→，E是AD的中点，
所以AE→=12AD→=12(AB→+BD→)=12AB→+12×23BC→=12AB→+13(AC→−AB→)=16AB→+13AC→，
因为AB→=xAM→，AC→=yAN→，
所以AE→=16AB→+13AC→=x6AM→+y3AN→，
因为M，E，N三点共线，
所以x6+y3=1，
由题可得：x＞1，y＞1，
所以1x+2y=(1x+2y)⋅(x6+y3)=y3x+x3y+56≥2y3x⋅x3y+56=23+56=32，当且仅当y3x=x3y即x＝y＝2时等号成立，
所以1x+2y的最小值为32．
故答案为：32．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和基本不等式，属于中档题．
46．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移π6个单位长度，所得函数g（x）的图象关于y轴对称，且g（x）在(π10，π4)上单调递减，则ω＝ 3 ．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】3．
【分析】结合函数图象变换及函数的奇偶性先求出g（x），然后结合函数的单调性与周期性即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝sinωx的图象向左平移π6个单位长度，所得函数g（x）＝sin（ωx+πω6），
因为g（x）的图象关于y轴对称，
所以πω6=π2+kπ，k∈Z，
则ω＝3+6k，k∈Z，
因为g（x）在(π10，π4)上单调递减，
所以π4−π10≤πω，
所以0＜ω≤203，
则ω＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象变换及函数的单调性，对称性及周期性的应用，属于中档题．
四．解答题（共14小题）
47．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．
（1）求石凳的体积；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）180000cm3；
（2）(54+183)元．
【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案；
（2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数．
【解答】解：（1）正方体的体积为603＝216000cm3，
石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为30cm，
故一个小正三棱锥的体积为13×12×302×30=4500cm3，
故石凳的体积为216000﹣4500×8＝180000cm3；
（2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为302cm，
则石凳的表面积为6×(302)2+12×302×302sin60°×8=(36003+10800)cm2，
则粉刷一个石凳需要36003+1080010000×50=(54+183)元．
【点评】本题考查几何体的体积与表面积的求解，属中档题．
48．已知|a→|=1，|b→|=2．
（1）若a→∥b→，求a→•b→；
（2）若a→与b→的夹角为60°，求|2a→+b→|；
（3）若a→−b→与a→垂直，求a→与b→的夹角．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）±2；（2）6+22；（3）π4．
【分析】（1）直接利用向量的共线的充要条件求出结果．
（2）利用向量的模和向量的夹角求出结果．
（3）利用向量的垂直的充要条件求出结果．
【解答】解：（1）因为a→∥b→，所以a→和b→的夹角为0°或180°，
因为|a→|＝1，|b→|=2，所以a→⋅b→=±|a→||b→|=±2；
（2）因为|a→|＝1，|b→|=2，a→与b→的夹角为60°，
所以a→⋅b→=|a→||b→|cs60°=22，
所以|2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4+22+2=6+22；
（3）因为a→−b→与a→垂直，所以(a→−b→)⋅a→=0，
所以a→⋅b→=a→2，
所以cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=a→2|a→||b→|=11×2=22，
因为＜a→，b→＞∈[0，π]，所以a→与b→的夹角为π4．
【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的共线和垂直的应用，属于中档题．
49．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥AD；
（Ⅱ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅲ）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．
【考点】直线与平面平行．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明；
（Ⅱ）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；
（Ⅲ）取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．
【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，
∴BC∥AD，
（Ⅱ）取PA的中点F，连接EF，BF，
∵E是PD的中点，
∴EF∥AD，EF=12AD，
又由（Ⅰ）可得BC∥AD，BC=12AD，
∴BC∥EF，BC＝EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴CE∥BF，
∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
（Ⅲ）取AD中点N，连接CN，EN，
∵E，N分别为PD，AD的中点，
∴EN∥PA，
∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EN∥平面PAB，
又由（Ⅱ）可得CE∥平面PAB，CE∩EN＝E，
∴平面CEN∥平面PAB，
∵M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，
∴MN∥平面PAB，
∴线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB．
【点评】本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
50．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA﹣csinC＝（a﹣b）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）若ab＝1，A＞B，角C的平分线交AB边于D，CD=235，求ADBD的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】转化思想；转化法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）C=π3；
（2）14．
【分析】（1）先用正弦定理把角化为边，再用余弦定理即可求解；
（2）由S△ABC＝S△ACD+S△BCD，可得b+a=52，然后与已知条件联立求解，再用角平分线定理即可求解．
【解答】解：（1）已知asinA﹣csinC＝（a﹣b）sinB，由正弦定理得：a2﹣c2＝（a﹣b）b，
整理可得a2+b2﹣c2＝ab，所以csC=a2+b2−c22ab=12，
由于0＜C＜π，所以C=π3．
（2）
由C=π3，ab=1得S△ACB=12absinC=34，
角C的平分线交AB边于D，得∠ACD=∠BCD=π6，
且S△ACD+S△BCD=S△ACB=34，
∴12b⋅CD⋅sinπ6+12a⋅CD⋅sinπ6=34，
∴14⋅CD⋅(b+a)=34，又CD=235，∴b+a=52，
联立ab＝1解得a=2，b=12或a=12，b=2，
因为A＞B，∴a＞b，∴a=2，b=12，
由角平分线定理可得，ADBD=ACBC=ba=14．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
51．已知向量m→=(3csx，1)，n→=(sinx，sin2x−1)，函数f(x)=m→⋅n→+12．
（1）若x∈[0，π4]，f(x)=33，求cs2x的值；
（2）已知△ABC是锐角三角形，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且B≠C，f(A2−512π)=f(B+712π)，求ba+c的取值范围．
【考点】解三角形．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）22−36；
（2）(2−3，2−1)．
【分析】（1）由题意可得f(x)=m→⋅n→+12=sin(2x−π6)，利用已知可得sin(2x−π6)=33，可求cs2x；
（2）由已知可得sinA＝sin2B，A＝2B或A+2B＝π，分类讨论可求得ba+c的取值范围．
【解答】解：（1）已知向量m→=(3csx，1)，n→=(sinx，sin2x−1)，函数f(x)=m→⋅n→+12，
则函数f(x)=m→⋅n→+12=3sinxcsx+sin2x−1+12=32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
因为x∈[0，π4]，f(x)=33，
所以2x−π6∈[−π6，π3]，sin(2x−π6)=33，
所以cs(2x−π6)=63，
cs2x=cs[(2x−π6)+π6]=cs(2x−π6)csπ6−sin(2x−π6)sinπ6=22−36；
（2）△ABC是锐角三角形，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且B≠C，f(A2−512π)=f(B+712π)，
由（1）得，f(A2−512π)=sin[2(A2−512π)−π6]=sin(A−π)=−sinA，
f(B+712π)=sin[2(B+712π)−π6]=sin(2B+π)=−sin2B，
由f(A2−512π)=f(B+712π)，得sinA＝sin2B，
因为△ABC是锐角三角形，所以0＜A＜π2，0＜B＜π2，0＜2B＜π，∴A＝2B或A+2B＝π；
①当A＝2B时，∵B≠C，A+B+C＝π，∴B≠π4，
由0＜A=2B＜π2，0＜C=π−3B＜π2可得π6＜B＜π4，
由正弦定理得ba+c=sinBsinA+sinC=sinBsin2B+sin(π−3B)=sinBsin2B+sin3B
=sinBsin2B+sin2BcsB+cs2BsinB=12csB+2cs2B+2cs2B−1
=14cs2B+2csB−1，
令csB＝t，因为π6＜B＜π4，所以t∈(22，32)，
y=4t2+2t−1=4(t+14)2−54在t∈(22，32)上单调递增，
当t=22时，y=1+2，当t=32时，y=2+3，
故ba+c=14t2+2t−1∈(12+3，11+2)，即ba+c∈(2−3，2−1)；
②当A+2B＝π时，A+B＝π﹣B，则C＝π﹣（A+B）＝π﹣（π﹣B）＝B，与已知矛盾；
综上所述，ba+c的取值范围是(2−3，2−1)．
【点评】本题考查了平面向量和三角函数的综合应用，属于中档题．
52．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
（1）证明：BE∥平面PAD；
（2）求三棱锥E﹣PBD的体积；
（3）求直线AP与平面ABE所成角的大小．
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；棱锥的体积；直线与平面平行．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）VP−EBD=23；（3）45°．
【分析】（1）取PD中点M，连接EM，AM，由已知可证四边形ABEM为平行四边形，可得BE∥AM，可证结论；
（2）利用VE−PBD=12VC−PBD=12VP−CBD，可求三棱锥E﹣PBD的体积；
（3）易证AB⊥平面PAD，可得AB⊥PD，进而可证PD⊥平面ABE，可得∠PAM为直线AP与平面ABE所成的角，求解即可．
【解答】解：（1）证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM，
由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM=12DC，
又AB∥DC，AB=12DC，可得EM∥AB，且EM＝AB，
故四边形ABEM为平行四边形，
所以BE∥AM，又因为AM⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
（2）因为E为PC的中点，所以VE−PBD=12VC−PBD=12VP−CBD，
因为PA⊥底面ABCD，
所以VP−CBD=13S△BCD⋅PA=13×12×2×2×2=43，
即VP−EBD=23．
（3）因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，
所以PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩DA＝A，PA、DA⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．
又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．
因为AD＝AP，M为PD的中点，
所以PD⊥AM，
又AB∩AM＝A，AB、AM⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE，
所以直线AP在平面ABE内的射影为直线AM，
故∠PAM为直线AP与平面ABE所成的角，
由PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD可得，PA⊥AD，∠PAD＝90°，
所以△PAD为等腰直角三角形，且AM平分∠PAD，
所以∠PAM＝45°，
所以直线BE与平面PBD所成的角为45°．
【点评】本题考查线面平行的判定以及线面角的计算，属于中档题．
53．已知：csα=−45，α∈（π，2π）．
（1）求cs2α的值；
（2）若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第一象限的点(12，32)，求cs（α﹣β）的值．
【考点】求二倍角的三角函数值；求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）725；
（2）−4+3310．
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解即可；
（2）根据正余弦值的定义可得sinβ，csβ，再根据α∈（π，2π）可得sinα，再结合两角差的余弦公式求解即可．
【解答】解：（1）cs2α=2cs2α−1=725，
（2）因为csα=−45，α∈（π，2π），故sinα=−1−cs2α=−35，
由题意，sinβ=32，csβ=12，
故cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=−45×12−35×32=−4+3310．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
54．已知函数f(x)=23sinxcsx+2cs2x（x∈R）．
（1）化简y＝f（x）的解析式，并写出函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；
（3）用五点法画出函数y＝f（x），x∈[−π12，11π12]的图像；若函数g（x）＝k+1﹣f（x）在[0，2π3]内有两个相异的零点，求实数k的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）f(x)=2sin(2x+π6)+1；最小正周期为π；
（2）[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z；
（3）图象见解析；[1，2）．
【分析】（1）化简函数为f(x)=2sin(2x+π6)+1，结合最小正周期的公式，即可求解；
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+π6)+1，结合三角函数的性质，即可求解；
（3）根据五点作图法，画出函数y＝f（x）的图象，根据题意，转化为y＝f（x）和y＝k+1的图象在[0，2π3]内有两个不同的交点，结合图象，即可求解．
【解答】（1）解：由函数f(x)=23sinxcsx+2cs2x=3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
所以函数f（x）的最小正周期为T=2πω=π．
（2）解：由（1）知f(x)=2sin(2x+π6)+1，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z．
（3）解：由x∈[−π12，11π12]，可得2x+π6∈[0，2π]，
列表：
描点、连线
由函数g（x）＝k+1﹣f（x）在[0，2π3]内有两个相异的零点，
即f（x）＝k+1在[0，2π3]内有两个相异的实根，
即y＝f（x）和y＝k+1的图象在[0，2π3]内有两个不同的交点，
因为x∈[0，2π3]，可得2x+π6∈[π6，3π2]，
当2x+π6=π6时，即x＝0，可得f（0）＝2；
当2x+π6=π2时，即x=π6，可得f（0）＝3；
当2x+π6=3π2时，即x=2π3，可得f（0）＝﹣1，
要使得y＝f（x）和y＝k+1的图象在[0，2π3]内有两个不同的交点，
结合图象，可得2≤k+1＜3，解得1≤k＜2，
即实数k的取值范围为[1，2）．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
55．已知a→=(1，1)，b→=(0，−2)，当k为何值时：
（1）ka→−b→与a→+b→共线；
（2）ka→−b→与a→+b→的夹角为120°．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量的相等与共线；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）k＝﹣1；
（2）k=−1±3．
【分析】（1）根据向量加减法坐标运算公式得到ka→−b→=(k，k+2)，a→+b→=(1，−1)，结合向量共线的坐标公式计算即可；
（2）根据题意表示出两个向量的数量积和模，再用夹角公式计算即可．
【解答】解：（1）因为a→=(1，1)，b→=(0，−2)，
所以ka→−b→=(k，k)−(0，−2)=(k，k+2)，
a→+b→=(1，1)+(0，−2)=(1，−1)
因为ka→−b→与a→+b→共线，
所以k+2﹣（﹣k）＝0，
解得k＝﹣1．
（2）因为ka→−b→=(k，k+2)，a→+b→=(1，−1)，
所以|ka→−b→|=k2+(k+2)2，|a→+b→|=2，
(ka→−b→)⋅(a→+b→)=k−(k+2)=−2，
因为ka→−b→与a→+b→的夹角为120°，
所以cs120°=(ka→−b→)⋅(a→+b→)|ka→−b→||a→+b→|=−22⋅k2+(k+2)2=−12．
化简得k2+2k﹣2＝0，
解得k=−1±3．
【点评】本题考查向量共线的坐标表示和向量的夹角公式，以及向量的模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
56．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccsB+bcsC=a2csA．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为43，a=33，求△ABC的周长和外接圆的面积；
（3）若sinB=63，求sin（2B+A）的值．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）A=π3；
（2）83，9π；
（3）22−36．
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，借助两角和的正弦公式计算即可得；
（2）借助面积公式及余弦定理与正弦定理计算即可得；
（3）借助三角恒等变换公式计算即可得．
【解答】解：（1）由ccsB+bcsC=a2csA，由正弦定理sinCcsB+sinBcsC=sinA2csA，
从而有sin(B+C)=sinA2csA⇒sinA=sinA2csA，∵sinA≠0，∴csA=12，
∵0＜A＜π，∴A=π3；
（2）因为S=12bcsinA=12bc⋅32=43，所以bc＝16，
由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccsA，
即27＝（b+c）2﹣3×16，
解得b+c=53，所以周长为a+b+c=33+53=83，
由2R=asinA=33sinπ3=6，所以外接圆面积πR2＝32π＝9π；
（3）因为sinB=63＜32=sinA，所以b＜a，所以B＜A，csB=1−sin2B=33，
所以sin2B=2sinBcsB=223，cs2B=2cs2B−1=−13，
sin(2B+A)=sin(2B+π3)=sin2Bcsπ3+cs2Bsinπ3=22−36．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
57．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH（GH与B1C1不重合）．
（1）求证：BC∥GH；
（2）若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG．
【考点】平面与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑思维．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证．
（2）推导出EF∥BC，A1E∥BG，由此能证明平面EFA1∥平面BCHG．
【解答】证明：（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
平面A1B1C1∥平面ABC，平面BCHG∩平面ABC＝BC，平面BCHG∩平面A1B1C1＝GH，
故BC∥GH；
（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，
所以A1G∥BE，A1G＝BE，
所以四边形BGA1E是平行四边形，
所以A1E∥BG，
因为BG⊄平面A1EF，A1E⊂平面A1EF，
∴所以G∥平面A1EF，
又EF∥BC，BC⊄平面A1EF，FE⊂平面A1EF，
所以BC∥平面A1EF，
BG∩BC＝B，BG，BC⊂平面BCHG
所以平面EFA1∥平面BCHG．
【点评】本题考查面面平行的性质的应用及面面垂直的证法，属于中档题．
58．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcsC＝ccs（A+C）+2acsB．
（1）求B；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．
【答案】（1）π3；
（2）332．
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，整理化简求得csB=12，进而可得角B的大小；
（2）根据（1）的结论，结合余弦定理求出a、c，然后根据三角形面积公式求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）bcsC＝ccs（A+C）+2acsB，即bcsC＝﹣ccsB+2acsB，
整理得bcsC+ccsB＝2acsB，
根据正弦定理得sinBcsC+csBsinC＝2sinAcsB，
可得sin（B+C）＝2sinAcsB，
而sinA＝sin（B+C）≠0，所以csB=12，结合B∈（0，π），可得B=π3；
（2）由sinC＝2sinA得c＝2a，
根据余弦定理得csB=a2+c2−b22ac，即12=a2+4a2−94a2，解得a2＝3，
所以a=3，c=23（舍负），可知S△ABC=12acsinB=12×3×23×32=332．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、三角形的面积公式等知识，属于中档题．
59．在△AOB中，点C满足3OC→=OA→+2OB→，
（1）若|AC→|=m|CB→|，求m；
（2）若M是OB的中点，直线AM与OC交于点P，且BP→=λBO→+μBA→，求λ+μ；
（3）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，csx），B（1+csx，csx），x∈[−π3，0]，若函数f(x)=OA→⋅OC→−(2a+23)|AB→|的最大值为3，求实数a的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）2；（2）35；（3）−12．
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据共线定理的推论得到BP→=13sBA→+(1−s)BO→，BP→=(1−t)BA→+12tBO→，由平面向量基本定理得到方程组，求出s、t，即可求出λ，μ，从而得解；
（3）先求出f（x）＝cs2x﹣2acsx+1，再换元、利用二次函数的性质求实数a的值．
【解答】解：（1）因为3OC→=OA→+2OB→，所以2(OC→−OB→)=OA→−OC→，
所以2BC→=CA→，所以|AC→|=2|CB→|，即m＝2；
（2）由（1）可知，2BC→=CA→，则BC→=13BA→，
因为C、P、O三点共线，所以BP→=sBC→+(1−s)BO→=13sBA→+(1−s)BO→，
因为M是OB的中点，所以BM→=12BO→，
所以AM→=AB→+BM→=AB→+12BO→=−BA→+12BO→，
又因为A、P、M三点共线，所以AP→=tAM→=−tBA→+12tBO→，
所以BP→=BA→+AP→=(1−t)BA→+12tBO→，
又因为BA→、BO→不共线，所以1−t=13s12t=1−s，解得t=45s=35，
所以BP→=15BA→+25BO→，又BP→=λBO→+μBA→，
所以λ=25μ=15，所以λ+μ=35．
（3）由题知，OA→=(1，csx)，OB→=(1+csx，csx)，AB→=(csx，0)，
则OC→=13OA→+23OB→=13(1，csx)+23(1+csx，csx)=(1+23csx，csx)，
所以OA→⋅OC→=1+23csx+cs2x，又x∈[−π3，0]，所以csx∈[12，1]，
所以|AB→|=cs2x=csx，
所以f(x)=OA→⋅OC→−(2a+23)|AB→|
=1+23csx+cs2x−(2a+23)csx=cs2x−2acsx+1，
令t＝csx，因为x∈[−π3，0]，所以csx∈[12，1]，则t∈[12，1]，
令g（t）＝t2﹣2at+1，t∈[12，1]，其对称轴方程是t＝a，
当a≤34时，g（t）的最大值为g（1）＝1﹣2a+1＝3，解得a=−12；
当a＞34时，g（t）的最大值为g(12)=14−a+1=3，解得a=−74（舍去）．
综上可知，实数a的值为−12．
【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积，属于中档题．
60．已知函数f（x）＝sinx﹣csx（x∈R）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）•f（π﹣x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数y=f2(x)+f(2x−π4)的值域．
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（Ⅰ）[kπ，kπ+π2]，k∈Z．
（Ⅱ）[−3+1，3+1]．
【分析】（Ⅰ）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简函数y＝f（x）•f（π﹣x），再由余弦函数的性质求解即可；
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数y=f2(x)+f(2x−π4)，由正弦函数的性质即可求得值域．
【解答】解：（Ⅰ）函数y＝f（x）•f（π﹣x）
＝（sinx﹣csx）[sin（π﹣x）﹣cs（π﹣x）]
＝（sinx﹣csx）（sinx+csx）
＝sin2x﹣cs2x＝﹣cs2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+π2，k∈Z，
所以函数y＝f（x）•f（π﹣x）的单调递增区间为[kπ，kπ+π2]，k∈Z．
（Ⅱ）函数y=f2(x)+f(2x−π4)
＝（sinx﹣csx）2+sin（2x−π4）﹣cs（2x−π4）
＝1﹣sin2x+22sin2x−22cs2x−22cs2x−22sin2x
＝1﹣sin2x−2cs2x
=−3sin（2x+φ）+1，其中tanφ=2，
因为sin（2x+φ）∈[﹣1，1]，
所以−3sin（2x+φ）+1∈[−3+1，3+1]，
即函数y=f2(x)+f(2x−π4)的值域为[−3+1，3+1]．
【点评】本题主要考查三角函数种的恒等变换，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
考点卡片
1．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
2．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
3．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
4．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b≥2ab．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2+1≥2．C：sinx+4sinx≥4．D：a∈R+，(3−a)(1−3a)≤0．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜1时，如何求y=x+1x2+2的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，y=xx2+2=1x+2x，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤24，
若x＜0时，−24≤y＜0，
综上得，可以得出−24≤y≤24，
∴y=xx2+2的最值是−24与24．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8−2x2）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y=x2+7x+10x+1(x＞−1)的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=（x+1）+4x+1+5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ax的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
5．函数的图象与图象的变换
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
图象的变换
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
【命题方向】
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
6．函数的单调性与函数图象的特征
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，图象可以直观展示这种单调性．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
﹣通过图象观察函数在各区间的增减情况．
﹣分析函数在各单调区间的行为，并确定单调区间的边界点．
﹣总结函数在各区间的单调性，并结合解析式进行验证．
【命题方向】
题目包括通过图象判断函数的单调性，结合图象和解析式分析函数的单调性，并解决与单调性相关的实际问题．根据下列函数y＝f（x）的图像（包括端，点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性．
解：（1）f（x）的增区间为：[﹣2，1]，[2，3]，减区间为：[﹣3，﹣2]，[1，2]；
（2）f（x）的增区间为：[﹣π，−π2]，[π2，π]，减区间为：[−π2，π2]．
7．奇函数偶函数的判断
【知识点的认识】
奇函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
偶函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
【命题方向】
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
8．对数值大小的比较
【知识点的认识】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
9．弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝ rα，扇形的面积为S=12lr=12r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S=12lR；③S=12αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
【命题方向】
已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B．2sin1 C．2sin1 D．sin2
分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交 AB于D，
∠AOD＝∠BOD＝1，AC=12AB＝1，
Rt△AOC中，AO=ACsin∠AOC=1sin1，
从而弧长为α•r=2sin1，
故选B．
点评：本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．
10．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝ y，cs α＝ x，tan α=yx．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则csα＝（ ）
A．45 B．35 C．−35 D．−45
分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得csα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x2+y2=5．
∴csα=xr=−45=−45，
故选：D．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
11．正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
12．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
13．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M−m2．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|φ|．
14．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
15．求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcsβ±csαsinβ
cs（α±β）＝csαcsβ∓sinαsinβ
tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ
﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
【命题方向】
常见题型包括利用和差公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．
若α为锐角，sinα=45，则sin(α+π3)=_____．
解：若α为锐角，sinα=45，则csα=35，
sin(α+π3)=12sinα+32csα=12×45+32×35=4+334．
16．两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcsβ±csαsinβ
cs（α±β）＝csαcsβ∓sinαsinβ
tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ
﹣将具有右侧模式的表达式改写成两角和与差的三角函数形式并计算．
【命题方向】
常见题型包括利用和差公式求解表达式，结合具体角度进行计算．
cs24°cs69°+sin24°sin111°＝_____．
解：cs24°cs69°+sin24°sin111°
=cs24°cs69°+sin24°sin69°=cs(24°−69°)=cs(−45°)=22．
17．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2tanα1−tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
=1−cs2x2+sin2x
＝sin2x−12cs2x+12
=52sin（2x+φ）+12，（tanφ=−12）
∴其周期T=2π2=π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
18．求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2tanα1−tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcsα
cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α
tan2α=2tanα1−tan2α
﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
【命题方向】
常见题型包括利用二倍角公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．已知tanα2=22，则tanα＝_____．
解：因为tanα2=22，
所以tanα=2tanα21−tan2α2=21−12=22．
故答案为：22．
19．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：sinαcsα=tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（π2−α）＝csα，cs（π2−α）＝sin α，tan（π2−α）＝ctα．
公式六：sin（π2+α）＝csα，cs（π2+α）＝﹣sinα，tan（π2+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α=2tanα1−tan2α．
20．三角函数应用
【知识点的认识】
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
21．根据实际问题选择函数类型
【知识点的认识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a• b x+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlg ax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a• x n+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
【命题方向】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y=14000x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%=14x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+lg7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤14x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y=14000x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=kt+1（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x=kt+1，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x=2t+1，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价32(32x+3x)+t2x，…（2分）
所以，y=[32(32x+3x)+t2x]x−(32x+3)−t⋯（3分）
＝16x−t2+32=−32t+1−t+12+50，（t≥50）；…（2分）
（2）因为32t+1+t+12≥8当且仅当32t+1=t+12，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
22．平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是AB→|AB→|）．
【知识点的认识】
﹣零向量：0→它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量v→可以通过v→|v→|转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若a→，b→都是单位向量，则a→=b→；
③若|a→|＝|b→|，则a→=b→或a→=−b→．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若a→，b→都是单位向量，则a→和b→不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若|a→|＝|b→|，只能说明其大小相等，推不出a→=b→或a→=−b→，故③错误，
故答案为：①．
23．平面向量的相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
24．平面向量的加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量 叫做a→与b→的和，记作a→+b→，即a→+b→=AB→+BC→=AC→
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD→=AB→+BC→=AC→，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是AB→与AD→的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①a→+0→=0→+a→=a→；a→+（−a→）=0→；
②a→+b→=b→+a→；
③（a→+b→）+c→=a→+（b→+c→）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→−b→=a→+（−b→）．
设a→=OA→，b→=OB→，则．即=OA→−OB→=OA→+(−OB→)=OA→+BO→=BO→+OA=BA→．即OA→−OB→=BA→
特征；有共同起点的两个向量a→、b→，其差a→−b→仍然是一个向量，叫做a→与b→的差向量，其起点是减向量b→的终点，终点是被减向量a→的终点．（减终指向被减终）
25．平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量a→与向量b→的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|csθ叫做a→与b→的数量积，记做a→⋅b→
即：a→⋅b→=|a→||b→|csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a→=0．
注意：
①a→⋅b→ 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|csθ的积．
26．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→与b→和夹角为θ，则：
（1）a→⋅e→=e→⋅a→=|a→|csθ；
（2）a→⊥b→⇔a→⋅b→=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→，b→方向相反时，a→⋅b→=−|a→||b→|；
特别地：a→⋅a→=|a→|2或|a→|=a→⋅a→（用于计算向量的模）
（4）csθ=a→⋅b→|a→||b→|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a→⋅b→|≤|a→||b→|
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a→⋅b→=b→⋅a→；
（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b→）=a→•（λb→）；
（3）分配律：（a→⋅b→）•c→≠a→•（b→⋅c→）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→−b→）（a→+b→）=a→2−b→2．③a→•（b→•c→）≠（a→•b→）•c→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；
⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”，
即③错误；
∵|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
27．平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→投影，A1B1叫做向量a→在向量b→上的投影向量．
向量a→在向量b→上的投影向量是|a→|csθb→|b→|．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|csθ叫作向量a→在向量b→上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→csθ（其中e→为与b→同向的单位向量），它是一个向量，且与b→共线，其方向由向量a→和b→夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→在a→方向上的投影向量为|b→|csθa→|a→|．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
28．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a→=λ1e1→+λ2e2→．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
29．用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a→=λ1e1→+λ2e2→．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣表示转换：将向量v→写成基底向量的线性组合．例如，v→用基底e→1和e→2表示为v→=xe→1+ye→2．
﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．
【命题方向】
﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．
﹣基底下的计算：如何在给定的基底下进行向量运算．
在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e1→，CA→=e2→，试用基底e1→，e2→表示CD→，CE→，CF→．
解：在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e1→，CA→=e2→，
由题意得BD→=14BA→，BE→=12BA→，BF→=34BA→，
故CD→−CB→=14（CA→−CB→），即CD→=14CA→+34CB→=14e2→+34e1→，
同理，CE→−CB→=12（CA→−CB→），CF→−CB→=34（CA→−CB→），
所以CE→=12（CA→+CB→），CF→=34CA→+14CB→，
因为CB→=e1→，CA→=e2→，
整理得，CE→=12e1→+12e2→，CF→=34e2→+14e1→．
30．平面向量的坐标运算
【知识点的认识】
平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为a→=（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d=x2+y2．若b→=（m，n），则a→+b→=（x+m，y+n），则a→−b→=（x﹣m，y﹣n）；a→•b→=（xm，ny），λa→=（λx，λy）．
【解题方法点拨】
例：已知平面向量a→，b→满足：a→=(−1，2)，b→⊥a→，且|b→|=25，则向量b→的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
解：根据题意，设b→=（x，y），
若b→⊥a→，有b→⋅a→=0，则﹣x+2y＝0，①，
若|b→|=25，x2+y2＝20，②，
联立①②，可得−x+2y=0x2+y2=20，
解可得x=4y=2或x=−4y=−2，
则b→=（4，2）或（﹣4，﹣2）；
故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设b→=（x，y），根据题意，由b→⊥a→，可得﹣x+2y＝0，①，由|b→|=25，可得x2+y2＝20，②，联立①②两式，解可得x、y的值，即可得b→的坐标．这也是常用的一种方法．
【命题方向】
这是一个很重要的考点，也是一个比较容易的考点，大家在学习的时候关键是掌握公式的应用，常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数．
31．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
32．数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：zz=3+i3−i=(3+i)2(3−i)(3+i)=2+23i4=12+32i=cs60°+isin60°．
∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
33．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
3．S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
34．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
35．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
②S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
③S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
36．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC=abc4R；
⑤S△ABC=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
37．虚数单位i、复数
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
38．复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
【命题方向】
﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．
﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．
39．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=a2+b2．
40．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
41．复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1z2=(a1+b1i)(a2−b2i)a22+b22．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
【命题方向】
﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．
﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．
i是虚数单位，2i1+i=_____．
解：2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i．
42．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
棱柱1．两个底面互相平行2．侧面都是四边形3．侧棱互相平行
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
43．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
44．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥=13Sh．
45．棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13B⋅ℎ．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
【命题方向】
﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．
46．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱1．有两个底面互相平行，且形状、大小一样的圆2．侧面为曲面，展开为矩形
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
V圆柱=πr2ℎS圆柱=2×πr2+2πrℎ=2πr(r+ℎ)
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
圆锥1．只有一个顶点，只有一个底面为圆2．侧面为曲面，展开为扇形
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
V圆锥=13πr2ℎS圆锥表面积=πr2+πrl=πr(r+l)
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
圆台1．上下底面平行，为半径不等的圆2．侧面展开图为一个扇环
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
V圆台=13πℎ(r2+R2+Rr)S圆台表面积=πr2+πR2+πrl+πRl=π(r2+R2+rl+Rl)．
47．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体=43πR3
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
48．斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
49．由斜二测直观图还原图形
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
【解题方法点拨】
﹣解析图形：通过观察斜二测图的长度和角度信息，恢复图形的空间关系．
﹣几何知识：利用几何知识推断图形的真实尺寸和结构．
【命题方向】
﹣图形还原：考查如何从斜二测图还原图形．
﹣空间想象：如何应用空间想象能力解决图形还原问题．
50．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
51．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
52．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
53．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
54．平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
55．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
56．空间向量法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为a→，平面的法向量为u→，直线与平面所成的角为θ，a→与u→的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|=|a→⋅u→||a→||u→|．
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算直线与平面之间的夹角．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
A
C
D
B
D
B
A
D
C
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
A
B
D
C
D
D
D
A
A
C
A
题号
23
24
25
26
27
28
答案
D
B
C
D
D
C
题号
29
30
31
32
33
34
答案
ABD
BC
ABC
BCD
ACD
CD
2x+π6
0
π2
π
3π2
2π
x
−π12
π6
5π12
2π3
11π12
f（x）
1
3
1
﹣1
1
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ−π2，2kπ+π2）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+π2，2kπ+3π2）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ−π2，kπ+π2）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+π2（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ−π2（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+π2，k∈Z
对称中心：（kπ+π2，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（kπ2，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA=b2+c2−a22bc，
csB=a2+c2−b22ac，
csC=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A=b2+c2−a22bc，
cs B=a2+c2−b22ac，
cs C=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
A2+B2=π2−C2，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA=b2+c2−a22bc
csB=a2+c2−b22ac
csC=a2+b2−c22ab
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△=12aha=12bhb=12chc
②S△=12absinC=12acsinB=12bcsinA
③S△=abc4R
④S△=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑤S△=12（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA=2S△bc
sinB＝
2S△ac
sinC=2S△ab
位置关系
共面情况
公共点个数
图示
相交直线
在同一平面内
有且只有一个

平行直线
在同一平面内
无

异面直线
不同时在任何一个平面内
无