高一数学下学期精品期末模拟试卷（含详细解析）

这是一份高一数学下学期精品期末模拟试卷（含详细解析），共51页。
A．500π3cm3B．866π3cm3
C．1372π3cm3D．2048π3cm3
2．已知三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的等边三角形，且SA＝AB，∠SAB＝120°，平面SAB⊥平面ABC，则其外接球的表面积为（ ）
A．12πB．24πC．36πD．39π
二．多选题（共1小题）
（多选）3．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP∥平面AB1C，则（ ）
A．P在侧面CDD1C1的轨迹长度为22
B．异面直线AB与MP所成角的最大值为π2
C．三棱锥A﹣PB1C的体积为定值124
D．直线MP与平面ABB1A1所成角的正切值的取值范围是[1，2]
三．填空题（共2小题）
4．如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台．球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为3，则球形灯半径r与正四棱台外接球半径R的比值为 ．
5．如图，线段AB⊥平面α，BC在平面α内，CD⊥BC，CD与平面α成30°角，点D与点A在α的同侧，已知AB＝BC＝CD＝2，则AD的长为 ．
四．解答题（共13小题）
6．如图，已知三棱锥A﹣BCD，三角形ABD为等边三角形，BD＝AC，BC⊥CD．
（1）若点O为BD的中点，证明：AO⊥OC；
（2）当BC＝CD时，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）当异面直线AB与CD所成角的余弦值为14时，求BCCD的值．
7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝1，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点．
（1）证明：DE∥平面ABC；
（2）求点D到平面BCE的距离．
8．如图，已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，且CC1＝2CA＝2CB＝2，点P在线段BC1（含端点）上运动，设λ=BPBC1．
（1）当AB∥平面A1CP时，求实数λ的值；
（2）当平面A1CP⊥平面A1C1P时，求平面A1CP与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．
9．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝120°，E，F分别是CD，PC的中点，AP＝4．
（1）求四棱锥F﹣ABCE的体积；
（2）求BF与底面ABCD所成角的正切值．
10．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为边AD上一点，F为PB中点，BC∥AD，AB＝BC＝PA＝2，AD＝4，AE＝1，PD＝23，∠ABC=π3．
（1）证明：AF∥平面PCE；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（3）证明：平面PAB⊥平面PBC．
11．如图所示，底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝25，AC与BD相交于点O，E为PD中点．
（1）求证：EO∥平面PBC；
（2）PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．
（1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：EF∥平面PAB；
（2）若PB∥平面AEC，求证：E是PD中点．
13．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D为棱BC的中点．
（1）证明：A1C∥平面AB1D；
（2）求点A1到平面AB1D的距离．
14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，M，N分别是B1C1，A1D1，A1B1，BD，B1C的中点，求证：
（1）MN∥平面CDD1C1．
（2）平面EBD∥平面FGA．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为正方形，点E，F分别为AD，PC的中点，设平面PCD∩平面PBE＝l．
（1）求证：BC⊥DF；
（2）求证：DF∥l；
（3）若PD＝1，DC＝PC＝2，请判断平面PAD与平面ABCD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，说明理由．
17．已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=22，PA＝3PD＝3．
（1）求证：平面PAB⊥平面PBD．
（2）求异面直线AD与PB所成角的余弦值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，M，N分别为AB，PC的中点，∠PDA＝45°．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
二．多选题（共1小题）
一．选择题（共2小题）
1．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A．500π3cm3B．866π3cm3
C．1372π3cm3D．2048π3cm3
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【答案】A
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R＝5，用球的体积公式即可算出该球的体积．
【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，
则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，
而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2＝（R﹣2）2+42，
解出R＝5，
∴根据球的体积公式，该球的体积V=4π3R3=4π3×53=500π3cm3．
故选：A．
【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．
2．已知三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的等边三角形，且SA＝AB，∠SAB＝120°，平面SAB⊥平面ABC，则其外接球的表面积为（ ）
A．12πB．24πC．36πD．39π
【考点】球的表面积．
【专题】计算题；整体思想；综合法；球；运算求解．
【答案】D
【分析】分别利用正弦定理求得△ABC，△SAB的外接圆的半径，再利用两个面垂直的三棱锥的外接球半径R满足(2R)2=(2r1)2+(2r2)2−AB2，从而得解．
【解答】解：因为三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的等边三角形，所以AB＝3，则SA＝AB＝3，
设△ABC，△SAB的外接圆的半径分别为r1，r2，
则在等边△ABC中，2r1=ABsin60°=3×23=23，
在△SAB中，∠SAB＝120°，
所以SB2=SA2+AB2−2SA⋅ABcs∠SAB=32+32−2×3×3×(−12)=27，
则SB=33，2r2=SBsin120°=33×23=6，
设三棱锥S﹣ABC的外接球的半径为R，因为平面SAB⊥平面ABC，
则(2R)2=(2r1)2+(2r2)2−AB2=(23)2+62−32=39，
所以其外接球的表面积为4πR2＝39π．
故选：D．
【点评】本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）3．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP∥平面AB1C，则（ ）
A．P在侧面CDD1C1的轨迹长度为22
B．异面直线AB与MP所成角的最大值为π2
C．三棱锥A﹣PB1C的体积为定值124
D．直线MP与平面ABB1A1所成角的正切值的取值范围是[1，2]
【考点】棱柱的结构特征；棱锥的体积；几何法求解直线与平面所成的角．
【专题】数形结合；定义法；立体几何；数学建模．
【答案】ABD
【分析】利用空间直线、平面的位置关系和三棱锥的体积公式、线面角的概念计算求解．
【解答】解：如图：
取CC1的中点R，取CD的中点N，取B1C1的中点H，
由题意得：B1C∥HR，
易证出MN∥B1C，
所以MN∥HR，易知知M，N，R，H四点共面，
又因为HR⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，
因此HR∥平面AB1C，
同理可得：MH∥平面AB1C，
又因为HR∩MH＝H，HR，MH⊂平面MNRH，
因此平面MNRH∥平面AB1C，
又因为MP⊂平面MNRH，
所以MP∥平面AB1C，
于是，P在侧面CDD1C1的轨迹即为线段NR，
根据AB＝1，得出NR=(12)2+(12)2=22，所以A选项正确；
当P在N处时，此时直线AB⊥MP，所以异面直线AB与MP所成角的最大值为π2，所以B选项正确；
综上可知，NR∥平面AB1C，
所以线段NR上的点到平面AB1C的距离为定值h0，△AB1C的面积也为定值，
所以VA−PB1C=VP−AB1C=VN−AB1C=VB1−ANC=13×(12×12×1)×1=112 （定值），所以C选项错误；
因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
所以直线MP与平面ABB1A1所成角和直线MP与平面CDD1C1所成角相等，
取C1D1的中点Q，连接PQ，
所以MQ⊥平面CDD1C1，所以∠MPQ是直线MP与平面CDD1C1所成的角，
且tan∠MPQ=MQPQ=1PQ，
易求出22≤PQ≤1，
所以1≤tan∠MPQ≤2，所以D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查棱柱几何特征以及线面角求法，属于中档题．
三．填空题（共2小题）
4．如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台．球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为3，则球形灯半径r与正四棱台外接球半径R的比值为 557+57114 ．
【考点】球的体积和表面积；棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】整体思想；数形结合法；立体几何；球；运算求解．
【答案】557+57114．
【分析】设正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上底面与下底面中心分别为O1，O，则正四棱台的外接球球心为O′及球形灯的圆心O′′均在直线OO1上，由几何关系，求出 O1O=R2−2−R2−8=1，求出R的值，再根据2r=R+R2−8，求出r的值，即可得到比值．
【解答】解：如图所示，设正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上底面与下底面中心分别为O1，O，
作截面ACC1A1，则正四棱台外接球球心O′及球形灯的圆心O′′均在直线OO1上，作AH⊥A1C1于H，
因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为3，
则有A1O1=22，AO=2，A1H=A1O1−AO=2，O1O=AH=A1A2−A1H2=3−2=1，
在RtΔO′O1A1中，O′O1=O′A12−A1O12=R2−8，
在Rt△O′OA 中，O′O=O′A2−AO2=R2−2，
所以O1O＝O′O﹣O′O1=R2−2−R2−8=1，
整理得R=572，
由图可知，在圆O′′中，有2r＝R+O′O1＝R+R2−8，
解得r=R+R2−82=572+522=57+54，
所以rR=557+57114．
故答案为：557+57114．
【点评】本题主要考查了正四棱台的结构特征，考查了正四棱台的外接球问题，属于中档题．
5．如图，线段AB⊥平面α，BC在平面α内，CD⊥BC，CD与平面α成30°角，点D与点A在α的同侧，已知AB＝BC＝CD＝2，则AD的长为 22 ．
【考点】直线与平面垂直．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】22．
【分析】过D作DF⊥α，F为垂足，连接BF，由线面垂直的性质和判定，推得BC⊥CF，由线面角的定义可得∠DCF＝30°，由直角三角形和直角梯形的性质，计算可得所求值．
【解答】解：过D作DF⊥α，F为垂足，连接BF，
由AB⊥α，可得AB∥DF，过点D作DM⊥AB于M，
可得BM＝DF，
由CD⊥BC，DF⊥BC，可得BC⊥平面CDF，
即有BC⊥CF，
又CD 与平面α成30°角，可得∠DCF＝30°，
则CF＝CDcs30°=3，DF＝CDsin30°＝1，
在直角梯形中，AB＝BC＝CD＝2，
AD=(AB−DF)2+BF2=(2−1)2+22+(3)2=22．
故答案为：22．
【点评】本题考查线面垂直的判定和性质，以及线面角，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
四．解答题（共13小题）
6．如图，已知三棱锥A﹣BCD，三角形ABD为等边三角形，BD＝AC，BC⊥CD．
（1）若点O为BD的中点，证明：AO⊥OC；
（2）当BC＝CD时，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）当异面直线AB与CD所成角的余弦值为14时，求BCCD的值．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）24；（3）3．
【分析】（1）通过直角三角形和等边三角形的性质，求出AO，OC，即可证明AO⊥OC．
（2）取AC，AD中点E，F，连接OF，EF，OE，将异面直线AB与CD所成角变为OE与EF所成的角∠OEF，利用余弦定理即可求解．
（3）根据第二问的求解过程，表示出EF，即可求解．
【解答】解：（1）证明：设BD＝AC＝2，取BD中点O，连接OA，OC，∴OD＝1，
∵△ABD为等边三角形，O为BD中点，
∴BD＝AD＝AC＝2，AO⊥BD，
∵在△BCD中，O为中点，BC⊥CD，
∴OC=12BD=1，
∵在△AOD中，AD＝2，OD＝1，
∴AO=3，
∵在△AOC中，AO=3，OC=1，AC=2，
∴AO⊥OC．
（2）设BD＝AC＝2，取BD中点O，连接OA，OC，∴OD＝1，
取AC，AD中点E，F，连接OF，EF，OE，由（1）得OF=12AC=1，BD＝AB＝AC＝2，
在△ACD，△ABD中，∵E，F，O为AD，AC，BD中点，
∴OE∥AB，EF∥CD且OE=12AB=1，EF=12CD，
故异面直线AB与CD所成角为OE与EF所成的角∠OEF，
在△BCD中，BC＝CD，BD＝2，BC⊥CD，
∴EF=12CD=22，
在△OEF中，cs∠OEF=OE2+EF2−OF22×OE×EF=24，
故异面直线AB与CD所成角的余弦值为24．
（3）设EF＝x，BD＝AC＝2，
∵异面直线AB与CD所成角的余弦值为14
由（2）可知cs∠OEF=OE2+EF2−OF22×OE×EF=14，
∴x=12，故CD＝1，
在△BCD中，CD＝1，BD＝2，BC⊥CD，
∴BC=3，故BCCD=3．
【点评】本题考查线线垂直的证明、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝1，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点．
（1）证明：DE∥平面ABC；
（2）求点D到平面BCE的距离．
【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面平行．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）55．
【分析】（1）取AB的中点F，连EF，CF，利用中位线证明四边形DEFC为平行四边形，即可证明．
（2）利用VE﹣BCD＝VD﹣BCE即可求解．
【解答】解：（1）证明：如图，取AB的中点F，连EF，CF，
∵AE＝EB，AF＝FB，∴EF∥AA1且EF=12AA1，
∵CD=12CC1，AA1=CC1，
∴EF∥CD且EF＝CD，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∴DE∥CF，
∵DE⊄平面ABC，CF⊂平面ABC，CF∥DE，
∴DE∥平面ABC．
（2）取BC1中点M，连EM，
∵∠ACB＝90°且ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴△ABC为直角三角形且AC∥A1C1，AC⊥BC，CC1⊥AC，BC∪CC1＝C，BC，CC1⊂平面BCC1B1，
∴A1C1⊥平面BCC1B1，CF=12AB，
由（1）知DE＝CF，∴DE=CF=12AB=22，
∵A B C﹣A1B1C1为直三棱柱，D为中点，∴CD＝1，CD⊥BC，
∴S△BCD=12×1×1=12，
∵A1E＝EB，BM＝MC1，∴EM∥A1C1，
∵A1C1⊥平面BCC1B1，∴EM⊥平面BCC1B1，
∴EM=12A1C1=12，
VE−BCD=13×12×12=112，
设点D到平面BCE的距离为d，
BC=1，BE=12A1B=124+2=62，CE=12+1=62，
S△BCE=12×1×(62)2−(12)2=54，
有13×54d=112，
得d=55，
故点D到平面BCE的距离为55．
【点评】本题考查线面平行的判定以及等体积法的应用，属于中档题．
8．如图，已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，且CC1＝2CA＝2CB＝2，点P在线段BC1（含端点）上运动，设λ=BPBC1．
（1）当AB∥平面A1CP时，求实数λ的值；
（2）当平面A1CP⊥平面A1C1P时，求平面A1CP与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．
【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）12．
（2）54242．
【分析】（1）根据AB∥平面A1CP，得出AB∥PD，结合P为BC1的中点，即可求解；
（2）先证∠CHF是平面A1CP与平面ABB1A1所成锐二面角的平面角，再解三角形即可．
【解答】解：（1）连接AC1，交A1C于点D，连接PD，则D为AC1的中点，
且平面A1CP∩平面ABC1＝PD，
∵AB∥平面A1CP，AB⊂平面ABC1，
∴AB∥PD，
∴P为BC1的中点，
即实数λ的值为12．
（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，
∴CC1⊥A1C1，
∵AC⊥BC，AC∥A1C1，
∴A1C1⊥BC，
又CC1∩CB＝C，CC1⊂平面CBB1C1，CB⊂平面CBB1C1，
∴A1C1⊥平面CBB1C1，
又∵CP⊂平面CBB1C1，
∴A1C1⊥CP，
过点C作CP⊥BC1于点P，
∴A1C1⊥CP，
又∵A1C1∩BC1＝C1，A1C1⊂面A1C1P，BC1⊂面A1C1P，
∴CP⊥平面A1C1P，
又CP⊂面A1CP，
∴平面A1CP⊥平面A1C1P，
延长CP交BB1于点E，BE=12，
过点C作CF⊥AB交AB于点F，过点F作FH⊥A1E于点H，
∴∠CHF是平面A1CP与平面ABB1A1所成锐二面角的平面角（∠CHF＜π2），
∵CF=22，HF=53434，tan∠CHF=CFFH=22×345=175，
∴cs∠CHF=542=54242，
∴平面A1CP与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为54242．
【点评】本题考查线面平行的应用，以及二面角的计算，属于中档题．
9．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝120°，E，F分别是CD，PC的中点，AP＝4．
（1）求四棱锥F﹣ABCE的体积；
（2）求BF与底面ABCD所成角的正切值．
【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】对应思想；综合法；空间角；逻辑思维；直观想象；运算求解．
【答案】（1）3；
（2）233．
【分析】（1）连接AC、BD相交于点O，连接OF，则OF∥AP，由AP⊥平面ABCD，知OF⊥平面ABCD，易求得梯形ABCE的面积，而VF﹣ABCE=13OF•S四边形ABCE，代入所得数据进行运算即可；
（2）由（1）知，OF⊥平面ABCD，故∠FBO即为所求，再由tan∠FBO=OFOB即可得解．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝120°，AB＝2，四边形ABCD为菱形，且E为CD的中点，
∴AE=3，
∴S四边形ABCE=12×（1+2）×3=332，
如图，连接AC、BD相交于点O，连接OF，则O为AC的中点，
∵F为PC的中点，∴OF∥AP，
∵AP⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，且OF=12AP＝2，
∴VF﹣ABCE=13OF•S四边形ABCE=13×2×332=3．
（2）由（1）知，OF⊥平面ABCD，
∴∠FBO即为BF与底面ABCD所成角．
∵OF＝2，OB=3，
∴tan∠FBO=OFOB=23=233，
故BF与底面ABCD所成角的正切值为233．
【点评】本题考查空间中棱锥体积和线面角的求法，熟记棱锥的体积公式，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为边AD上一点，F为PB中点，BC∥AD，AB＝BC＝PA＝2，AD＝4，AE＝1，PD＝23，∠ABC=π3．
（1）证明：AF∥平面PCE；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（3）证明：平面PAB⊥平面PBC．
【考点】直线与平面平行；平面与平面垂直；棱锥的体积．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解答；（2）3；（3）证明见解答．
【分析】（1）取PC中点M，连接FM，ME，利用平行四边形证明AF∥ME即可得证；
（2）证明PE⊥平面ABCD以及求出四边形ABCD的面积即可根据锥体体积公式求解；
（3）证明AF⊥平面PBC，再结合面面垂直判定定理即可得证．
【解答】解：（1）证明：取PC中点M，∵F为PB中点，
∴FM为△PBC中位线，FM∥BC，且FM=12BC=1，
又AE∥BC，且AE=12BC=1，
∴FM∥AE，且FM＝AE，四边形AFME为平行四边形，
∴AF∥ME，又ME⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，
∴AF∥平面PCE；
（2）∵PA=2，PD=23，AD=4，AD2=PA2+PD2，
∴PA⊥PD且∠PAD=π3，
又∵PA=2，AE=1，∠PAD=π3，
由余弦定理得PE=4+1−2×2××12=3，PA2=AE2+PE2，
∴PE⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，
连接AC，AB=BC=2，∠ABC=π3，∴AC＝2，△ABC为等边三角形，
∵BC∥AD，∠ABC=π3，
∴∠DAB=2π3，∠DAC=π3，AC＝2，CD=4+4−2×2×2×cs2π3=23，
∴CD2+AC2＝AC2，∴AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=34×22+12×2×23=33，
∴VP−ABCD=13×PE×S四边形ABCD=13×3×33=3．
（3）证明：由（1）得四边形AFME为平行四边形，CE=PE=3，M为PC的中点，
∴ME⊥PC，又AF∥ME，
∴AF⊥PC，在△PAB中，AB＝PA，F为PB中点，
∴AF⊥PB，PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，PB∩PC＝P，
∴AF⊥平面PBC，又∵AF⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PBC．
【点评】本题考查线面垂直、锥体体积公式、线面平行、面面垂直等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．如图所示，底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝25，AC与BD相交于点O，E为PD中点．
（1）求证：EO∥平面PBC；
（2）PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与平面平行；平面与平面平行．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；逻辑思维．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）存在PA的中点F满足条件．
【分析】（1）由题意可得O为BD的中点，及OE为△PBD的中位线，可证得OE∥PB，再由线面平行的证法，可得线面的平行；
（2）取PA的中点F，可证得EF∥BC，再由（1）可得两个面平行．
【解答】解：（1）证明：由底面为正方形的四棱锥可得O为BD的中点，再由E为PD的中点，
可得OE为△PBD的中位线，
所以OE∥PB，
而OE⊄面PBC，PB⊂面PBC，
所以可证得OE∥面PBC；
（2）存在PA的中点F，使得平面OEF∥平面PBC；
因为E，F为中点，所以EF∥AD，
因为AD∥BC，所以EF∥BC，
EF⊄面PBC，BC⊂面PBC，
所以EF∥面PBC，
再由（1）及EF∩OE＝E，
所以可证得面OEF∥面PBC．
【点评】本题考查线面平行的证法及面面平行的证法，属于中档题．
12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．
（1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：EF∥平面PAB；
（2）若PB∥平面AEC，求证：E是PD中点．
【考点】直线与平面平行．
【专题】证明题；转化思想；综合法；立体几何；逻辑思维．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）取PA中点G，连接BG，EG，证明四边形BFEG为平行四边形，可知EF∥BG，利用线面平行的判定定理可证EF∥平面PAB；
（2）连接BD，交AC于H，连接EH，由PB∥平面ACE，利用线面平行的性质定理可得PB∥EH，且H为BD中点，进而证明E是PD的中点．
【解答】解：（1）证明：取PA中点G，连接BG，EG，
在△PAD中，因为E，G分别为所在边的中点，
所以EG∥AD，且EG=12AD，
又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点，
所以BF∥AD，且BF=12AD，
所以EG∥BF，且EG＝BF，
所以四边形BFEG为平行四边形，
所以EF∥BG，因为EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，
所以EF∥平面PAB；
（2）连接BD，交AC于H，连接EH，
因为PB∥平面ACE，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EH，
所以PB∥EH，在△PBD中，H为BD中点，
所以E为PD中点．
【点评】本题考查了线面平行的证明，线面平行的判定定理和性质，属于中档题．
13．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D为棱BC的中点．
（1）证明：A1C∥平面AB1D；
（2）求点A1到平面AB1D的距离．
【考点】直线与平面平行．
【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象．
【答案】（1）证明见解析；（2）255
【分析】（1）连接A1B交AB1于O，连接OD，可证OD∥A1C，然后结合线面平行的判定即可证明；
（2）由A1C∥平面AB1D得D与A1到平面AB1D的距离相等，然后结合三棱锥换顶点，等体积法可求．
【解答】（1）证明：连接A1B交AB1于O，连接OD，
正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，易得O为AB1中点，
又D为BC的中点，
所以OD∥A1C，
因为A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，
所以A1C∥平面AB1D；
（2）解：因为A1C∥平面AB1D，
所以C与A1到平面AB1D的距离相等，
因为AB＝AA1，
所以AB1=22+22=22，DB1=22+12=5，AD=22−12=3，
因为AD2+DB12=AB12，
所以AD⊥DB1，
所以SADB1=12×3×5=152，S△ACD=12×1×3=32，
设C到平面ADB1的距离为h，则VA−CDB1=VB1−ACD，
所以13×152ℎ=13×32×2，
所以h=255，
即点A1到平面AB1D的距离为255．
【点评】本题主要考查了线面平行的判定及利用等体积法求解点面距离，体现了转化方法的应用，属于中档题．
14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，M，N分别是B1C1，A1D1，A1B1，BD，B1C的中点，求证：
（1）MN∥平面CDD1C1．
（2）平面EBD∥平面FGA．
【考点】平面与平面平行；构成空间几何体的基本元素．
【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接BC1，DC1，由已知推导出MN=∥12DC1，由此能证明MN∥平面CDD1C1．
（2）连接EF，B1D1，推导出四边形ABEF为平行四边形，从而AF∥BE，由题意FG∥BD，由此能证明平面EBD∥平面FGA．
【解答】证明：（1）连接BC1，DC1，
∵四边形BCC1B1为正方形，N为B1C的中点，
∴N在BC1上，且N为BC1的中点．
又∵M为BD的中点，∴MN=∥12DC1．
又MN⊄平面CDD1C1，DC1⊂平面CDD1C1，
∴MN∥平面CDD1C1．（6分）
（2）连接EF，B1D1，则EF=∥AB．
∴四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE．
又由题意知FG∥B1D1，B1D1∥BD，∴FG∥BD．
又∵AF∩FG＝F，BE∩BD＝B，
∴平面EBD∥平面FGA．（12分）
【点评】本题考查线面平行、面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】（1）证明见详解；
（2）存在，理由见解答．
【分析】（1）根据题意可得PA⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可得面面垂直；
（2）取AB，PB的中点M，N，可证平面CMN∥平面PAE，结合平行性质分析求解．
【解答】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则PA⊥BD，
又因为底面ABCD为菱形，则AC⊥BD，
且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，可得BD⊥平面PAC，
由BD⊂平面PBD，可得平面PBD⊥平面PAC．
（2）解：存在，理由如下：
取AB，PB的中点M，N，连接CM，MN，CN，
则MN∥PA，则MN⊄平面PAE，PA⊂平面PAE，则MN∥平面PAE，
因为M，E分别为AB，CD的中点，则AM∥CE，AM＝CE，
可知AMCE为平行四边形，则AE∥CM，
且CM⊄平面PAE，AE⊂平面PAE，则CM∥平面PAE，
又因为MN∩CM＝M，MN，CM⊂平面CMN，可得平面CMN∥平面PAE，
由题意可知：PB∩平面CMN＝N，F∈PB，
若CF∥平面PAE，则CF⊂平面CMN，可知点F即为点N，
所以存在点F为PB的中点，使得CF∥平面PAE．
【点评】本题主要考查面面垂直的判定定理，线面平行的判定与性质定理，考查逻辑推理能力，属于中档题．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为正方形，点E，F分别为AD，PC的中点，设平面PCD∩平面PBE＝l．
（1）求证：BC⊥DF；
（2）求证：DF∥l；
（3）若PD＝1，DC＝PC＝2，请判断平面PAD与平面ABCD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，说明理由．
【考点】平面与平面垂直；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；空间想象．
【答案】（1）证明过程请见解答；（2）证明过程请见解答；（3）平面PAD与平面ABCD不可能垂直，理由请见解答．
【分析】（1）由面面垂直的性质定理知AD⊥平面PCD，从而有AD⊥DF，再结合AD∥BC，即可得证；
（2）取PB的中点G，连接GF，GE，先证四边形DEGF是平行四边形，可得DF∥GE，再由线面平行的判定与性质定理，即可得证；
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理可得CD⊥平面PAD，从而知CD⊥PD，于是有PC＞DC，这与DC＝PC＝2相矛盾，得解．
【解答】（1）证明：因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，
因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD，
又DF⊂平面PCD，所以AD⊥DF，
因为AD∥BC，所以BC⊥DF．
（2）证明：取PB的中点G，连接GF，GE，
因为F为PC的中点，所以GF∥BC，GF=12BC，
又点E为AD的中点，所以DE∥BC，DE=12BC，
所以GF∥DE，GF＝DE，即四边形DEGF是平行四边形，
所以DF∥GE，
又DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE，
因为DF⊂平面PCD，平面PCD∩平面PBE＝l，所以DF∥l．
（3）解：平面PAD与平面ABCD不可能垂直，理由如下：
若平面PAD⊥平面ABCD，
因为平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，
所以PC＞DC，这与DC＝PC＝2相矛盾，
所以平面PAD与平面ABCD不可能垂直．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定与性质定理、面面垂直的性质定理是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力，属于中档题．
17．已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=22，PA＝3PD＝3．
（1）求证：平面PAB⊥平面PBD．
（2）求异面直线AD与PB所成角的余弦值．
【考点】平面与平面垂直；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）105．
【分析】（1）通过证明AB⊥平面PBD，可得平面PAB⊥平面PBD．
（2）先判断出异面直线AD与PB所成角，然后求得所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：由于PD2+AD2＝PA2，所以PD⊥AD，
由于平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊂平面PAD，
所以PD⊥平面ABCD，由于AB，BD，CD⊂平面ABCD，
所以PD⊥AB，PD⊥BD，PD⊥CD，
由于AB⊥BD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，
所以AB⊥平面PBD，
由于AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PBD；
（2）解：由于AD∥BC，所以∠PBC是异面直线AD与PB所成角（或其补角），
AB=BD=22×22=2，PB=12+22=5，
在△BCD中，由余弦定理可得：CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BCcs∠CBD＝22+（2）2﹣2×2×2×22=2，
所以CD=2，PC=12+(2)2=3，
所以BC2+PC2＝PB2，所以cs∠PBC=25=105，
所以异面直线AD与PB所成角的余弦值为105．
【点评】本题考查面面垂直的证法，异面直线所成角的余弦值的求法，属于中档题．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，M，N分别为AB，PC的中点，∠PDA＝45°．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由中位线定理证得四边形AMNE是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用线面垂直的判定与性质定理证得MN⊥平面PCD，进而得证．
【解答】证明：（1）记PD的中点为E，连结AE，EN，如图，
又N为PC的中点，所以EN∥CD，EN=12CD，
因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD，AB＝CD，
所以EN∥AB，EN=12AB，
又M是AB的中点，则EN∥AM，EN＝AM，
所以四边形AMNE是平行四边形，则MN∥AE，
又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
所以MN∥平面PAD；
（2）因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AD，
又∠PDA＝45°，所以PA＝AD，则AE⊥PD，
又PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
则PA⊥CD，
而CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，
又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD，
又MN∥AE，所以MN⊥平面PCD，
又MN⊂平面PMC，
平面PMC⊥平面PCD．
【点评】本题考查线面垂直的证法及面面垂直的证法，属于中档题．
考点卡片
1．构成空间几何体的基本元素
【知识点的认识】
1．空间几何体：一切物体都占据着空间的一部分，如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这个空间部分叫做空间几何体（含内部）．
2．构成空间几何体的基本要素：
2．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
棱柱1．两个底面互相平行2．侧面都是四边形3．侧棱互相平行
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
3．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
棱台1．底面是多边形2．侧面是梯形3．两底面互相平行4．平行于底面的截面与底面相似
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台=13×(S+S′+S×S′)×ℎ．
4．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥=13Sh．
5．棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13B⋅ℎ．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
【命题方向】
﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．
6．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体=43πR3
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
7．球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为4πr2．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为4πr2．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
【命题方向】
﹣球的表面积计算：考查如何根据球的半径计算表面积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的表面积计算．
8．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
9．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
10．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
11．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
12．平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
13．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
14．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，π2）；直线和平面所成的角的范围为[0，π2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为a→，平面的法向量为u→，直线与平面所成的角为θ，a→与u→的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|=|a→⋅u→||a→||u→|．
15．几何法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，π2）；直线和平面所成的角的范围为[0，π2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．
【解题方法点拨】
具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算直线与平面之间的夹角．
16．几何法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
【解题方法点拨】
求二面角的平面角：在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算两平面之间的夹角．
17．空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：
d=|Ax1+By1+Cz1+D|A2+B2+C2
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离．
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题号
1
2
答案
A
D
题号
3
答案
ABD
名称
特征
图形表示
符号表示
点
无大小

点A
直线
无粗细
无限延伸

直线AB
直线l
平面
处处平直
无厚度
无限延伸

面α
面ABCD或面AC
位置关系
共面情况
公共点个数
图示
相交直线
在同一平面内
有且只有一个

平行直线
在同一平面内
无

异面直线
不同时在任何一个平面内
无