高一下学期数学精品期末模拟试卷（含详细解析）

这是一份高一下学期数学精品期末模拟试卷（含详细解析），共66页。试卷主要包含了已知向量m→=，已知向量a→=等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量m→=（4x﹣8，x+3），n→=（﹣6，1）满足m→∥n→，则x＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
2．复数z=−1−4ii的实部与虚部之和为（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5
3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为OA→，OB→，则|z1﹣z2|＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．已知2﹣3i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝（ ）
A．﹣9B．﹣1C．1D．9
5．已知向量a→=（﹣1，m），b→=（﹣4，2），若向量a→，b→的夹角是锐角，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，+∞）B．(−12，+∞)
C．(−2，12)∪(12，+∞)D．(−2，−12)∪(−12，+∞)
6．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c−2bsinC=0，B为锐角，且a＝2，b=3，则△ABC的周长为（ ）
A．2+23B．3+3C．4+3D．3+23
7．设正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上、下底面的边长分别为a，b，高为h，若b＝2a，h＝a+b﹣1，AA1=33，则正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD的体积为（ ）
A．1403B．1423C．140D．142
8．设非零向量a→、b→、c→满足|a→|=|b→|=|c→|，a→+b→=c→，则向量a→与b→的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
9．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则EA→⋅EB→的最小值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
10．已知非零向量a→和单位向量b→满足a→⊥b→，且向量a→+b→与a→的夹角为30°，则|a→|=（ ）
A．33B．13C．3D．3
11．如图，在△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段CD的中点，则（ ）
A．AE→=13AB→−12AC→B．AE→=13AB→+12AC→
C．AE→=16AB→−12AC→D．AE→=16AB→+12AC→
12．在△ABC中，sin(B−A)=13，2a2+c2=2b2，则sinC＝（ ）
A．23B．12C．32D．23
二．多选题（共1小题）
（多选）13．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为棱AA1的中点，G为侧面A1ADD1上的一个动点，且CG∥平面BC1F，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥C1﹣GB1B的体积为定值
B．平面BC1F截正方体所得的截面面积为92
C．平面BC1F将正方体分成的两部分的体积比为7：16
D．点G的轨迹长度为2
三．填空题（共5小题）
14．已知某圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则该圆锥的外接球的表面积为 ．
15．已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝bc，则ba+c的取值范围是 ．
16．若一平面截一球得到半径为23的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的三分之一，则该球的体积等于 ．
17．已知等腰直角△ABC的斜边AB长为2，其所在平面上两动点O、P满足OP→=λ1OA→+λ2OB→+λ3OC→(λ1+λ2+λ3=1且λ1、λ2、λ3≥0），若|OP→|=3，则OA→⋅OB→的最大值为 ．
18．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知c＝1，b＞c，sinBsinC=210，且asinA﹣bsinB=2sinB+sinC，则A＝ ，△ABC的面积为 ．
四．解答题（共15小题）
19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣（a﹣b）2＝a（a+b）．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为S，求3a22S的取值范围．
20．如图，在正方形ABCD中，E是线段AB的中点，F在线段BC上（不包含端点），线段AF，DE相交于点P．
（1）若F是线段BC的中点，证明DE→⊥AF→；
（2）若|AB→|=4，AF→⋅DE→=4，求|BF→|的值；
（3）若AP→=512AF→，求|BF→||FC→|的值．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）csC＝c（csB﹣csA）．
（1）证明：△ABC是等腰三角形．
（2）若D，E（异于A，B两点）在线段AB上，且点D靠近点A，∠DCE=π3，cs2C＝csC，求CDCE的取值范围．
22．已知复数z＝3+mi，其中m∈R．
（1）设z1＝（1+3i）z，若z1是纯虚数，求实数m的值；
（2）设m＝﹣1，分别记复数z、z2在复平面上对应的点为A、B，求OA→与OB→的夹角的余弦值以及OA→在OB→上的投影向量的坐标．
23．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2AD＝2CD＝4，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点．
（1）若E是CD边的中点．
①试用AE→和AF→表示AB→；
②求AC→⋅EF→的值；
（2）求EA→⋅EF→的取值范围．
24．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，csC=2b−c2a．
（1）求角A；
（2）设AD是角A的平分线，与BC边交于D，若BD＝5，CD＝3，求b，c；
（3）若b＝8，求△ABC面积的取值范围．
25．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，点D是AB的中点．
（1）证明：AC1∥平面CDB1；
（2）求异面直线AC1和BC所成角的余弦值．
26．已知在△ABC中，cs∠BAC=35，D在线段BC上，且AD＝2．
（1）若D是BC的中点，求△ABC面积的最大值；
（2）若∠BAD=π4，求△ABC面积的最小值．
27．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，且PO⊥平面ABCD，垂足O在线段AD（不含端点）上，点E在棱PD上，∠OPD＝∠EAD，平面ABE与棱PC交于点F．
（1）证明：BF⊥PD；
（2）若AE＝AB＝PE＝2，EF＝3；
①求四棱锥P﹣ABFE的体积；
②求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
28．已知向量a→=（1，2），b→=（4，﹣3）．
（1）若向量c→∥a→，且|c→|＝25，求c→的坐标；
（2）若向量a→+kb→与a→−kb→互相垂直，求实数k的值．
29．在△ABC中，sin2C=3sinC．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长．
30．如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E是DD1的中点．
（1）求证：A1C1∥平面ACE；
（2）设正方体的棱长为1，求三棱锥B﹣AEC的体积．
31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D是AC边上的一点，且AD：DC＝1：2，BD＝1．
（1）若AB：AD＝2：1时，求△ABC面积的最大值；
（2）若2sinA−sinCsinC=CA→⋅CB→BA→⋅BC→，
①求角B的大小；
②当a+3c取得最大值时，求△ABC的面积．
32．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）的图像两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图像上每个点先向左平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数g（x）为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈[0，π3]，[f（x）]2﹣（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数h（x）＝2f（x）+1的图像在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）至少有10个零点，在所有满足条件的区间[a，b]中，求b﹣a的最小值．
33．已知a，b，c分别是△ABC对边，且csA2csB=sin(C−π6)．点P为三角形内部一点，且满足∠BPA＝∠APC＝∠CPB＝120°．
（1）求角B；
（2）若b2﹣（a﹣c）2＝6，求PA→⋅PB→+PB→⋅PC→+PC→⋅PA→的值；
（3）若b=3，求|PA|﹣|PB|+|PC|的最小值．
高一下学期数学精品其中模拟试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
二．多选题（共1小题）
一．选择题（共12小题）
1．已知向量m→=（4x﹣8，x+3），n→=（﹣6，1）满足m→∥n→，则x＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据向量共线的性质求解即可．
【解答】解：因为向量m→=（4x﹣8，x+3），n→=（﹣6，1）满足m→∥n→，
所以﹣6（x+3）＝4x﹣8，解得x＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
2．复数z=−1−4ii的实部与虚部之和为（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5
【考点】复数的混合运算；复数的实部与虚部．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】化简复数z，可得z的实部与虚部之和．
【解答】解：由题意，z=−1−4ii=−4+i，
所以z的实部与虚部之和为﹣4+1＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为OA→，OB→，则|z1﹣z2|＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义以及模长求解即可．
【解答】解：由题可得：z1＝3﹣3i，z2＝i，故z1﹣z2＝3﹣4i，
所以|z1﹣z2|＝|3﹣4i|＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的几何意义以及模长，属于基础题．
4．已知2﹣3i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝（ ）
A．﹣9B．﹣1C．1D．9
【考点】实系数多项式虚根成对定理．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】由实系数一元二次方程虚根成对定理可知，关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的另一个根为2+3i，再利用韦达定理求解即可．
【解答】解：因为2﹣3i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，
所以关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的另一个根为2+3i，
由韦达定理可得(2−3i)+(2+3i)=−m(2−3i)(2+3i)=n，
解得m=−4n=13，
所以m+n＝9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了实系数一元二次方程虚根成对定理的应用，考查了韦达定理的应用，属于基础题．
5．已知向量a→=（﹣1，m），b→=（﹣4，2），若向量a→，b→的夹角是锐角，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，+∞）B．(−12，+∞)
C．(−2，12)∪(12，+∞)D．(−2，−12)∪(−12，+∞)
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知结合向量夹角的坐标表示即可求解．
【解答】解：因为a→=（﹣1，m），b→=（﹣4，2），
所以a→⋅b→=4+2m，
因为向量a→，b→的夹角是锐角，所以4+2m＞04m−2≠0，
解得m＞﹣2且m≠12．
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量数量积夹角的坐标表示，属于基础题．
6．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c−2bsinC=0，B为锐角，且a＝2，b=3，则△ABC的周长为（ ）
A．2+23B．3+3C．4+3D．3+23
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意及正弦定理可得sinB的值，再由角B为锐角，可得角B的大小，由余弦定理可得c的值，进而可得△ABC的周长．
【解答】解：因为3c−2bsinC=0，由正弦定理可得3sinC﹣2sinBsinC＝0，
在△ABC中，sinC＞0，
可得sinB=32，又B为锐角，
所以B=π3，
再由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accsB，a＝2，b=3，
即3=4+c2−2×2c×12，解得c＝1，
则△ABC的周长为a+b+c＝2+3+1=3+3．
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
7．设正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上、下底面的边长分别为a，b，高为h，若b＝2a，h＝a+b﹣1，AA1=33，则正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD的体积为（ ）
A．1403B．1423C．140D．142
【考点】棱台的体积．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】A
【分析】根据棱台的体积公式，即可求解．
【解答】解：因为正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上、下底面的边长分别为a，b，高为h，
又b＝2a，h＝a+b﹣1，AA1=33，
所以设正方形A1B1C1D1的中心为O1，正方形ABCD的中心为O，
则在直角梯形OO1A1A中，O1A1=22a，OA=22b=2a，h＝3a﹣1，AA1=33，
由(2a−22a)2+(3a−1)2=(33)2，
得19a2﹣12a﹣52＝0，解得 a＝2（负值已舍去），
从而b＝4，h＝5，
所以正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD的体积为：
V=13×(22+42+2×4)×5=1403．
故选：A．
【点评】本题考查棱台的体积的求解，属中档题．
8．设非零向量a→、b→、c→满足|a→|=|b→|=|c→|，a→+b→=c→，则向量a→与b→的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】设向量a→与b→的夹角为θ，由题意可得a→2+b→2+2a→⋅b→=c→2，由此求得csθ 的值，再由θ的范围，求得 θ的值．
【解答】解：设向量a→与b→的夹角为θ，
∵非零向量a→、b→、c→满足|a→| =|b→| =|c→|，a→+b→=c→，
∴a→2+b→2+2a→⋅b→=c→2，即a→2+b→2+2|a→|⋅|b→|csθ=c→2，
即|a→|2+|a→|2+2|a→|⋅|a→|csθ=|a→|2．
解得 csθ=−12，再由 0°≤θ≤180°，可得 θ＝120°，
即向量a→与b→的夹角为 120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量数量积公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．
9．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则EA→⋅EB→的最小值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】综合题；数形结合；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】建平面直角坐标系，结合三角函数的定义得到B（2，0），A（﹣1，3），E（csθ，sinθ）（0≤θ≤2π3），从而利用三角函数及数量积化简求最值．
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，
则B（2，0），A（﹣1，3），E（csθ，sinθ）（0≤θ≤2π3），
故EA→=（﹣1﹣csθ，3−sinθ），EB→=（2﹣csθ，﹣sinθ），
则EA→•EB→=（﹣1﹣csθ）（2﹣csθ）+（3−sinθ）（﹣sinθ）
＝﹣2+cs2θ﹣csθ−3sinθ+sin2θ
＝﹣2+1﹣2sin（θ+π6）
＝﹣2sin（θ+π6）﹣1，
故当θ+π6=π2，即θ=π3时，
EA→•EB→有最小值﹣2﹣1＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算及三角函数定义的应用，属于中档题．
10．已知非零向量a→和单位向量b→满足a→⊥b→，且向量a→+b→与a→的夹角为30°，则|a→|=（ ）
A．33B．13C．3D．3
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】首先由a→⊥b→，得a→⋅b→=0，再根据向量夹角公式，结合数量积运算即可求得结论．
【解答】解：由a→⊥b→，可得a→⋅b→=0，
由向量a→+b→与a→的夹角为30°，b→为单位向量，
可得cs30°=(a→+b→)⋅a→|a→+b→||a→|，即32=|a→|2|a→|a→2+1，
整理得|a→|2=3，即|a→|=3．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
11．如图，在△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段CD的中点，则（ ）
A．AE→=13AB→−12AC→B．AE→=13AB→+12AC→
C．AE→=16AB→−12AC→D．AE→=16AB→+12AC→
【考点】平面向量的基本定理；平面向量的数乘与线性运算．
【专题】计算题；数形结合；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据AE→=AC→+CE→，由平面向量的基本定理可解决此题．
【解答】解：因为点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段CD的中点，
所以AE→=AC→+CE→=AC→+12CD→=AC→+12（CA→+AD→）
=12AC→+12×13AB→=12AC→+16AB→，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查数学运算能力，属于基础题．
12．在△ABC中，sin(B−A)=13，2a2+c2=2b2，则sinC＝（ ）
A．23B．12C．32D．23
【考点】正弦定理；余弦定理；两角和与差的三角函数．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】运用两次余弦定理，结合已知等式，推出c＝2（bcsA﹣acsB），再由正弦定理化边为角，并结合两角差的正弦公式，求解即可．
【解答】解：由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccsA，b2＝a2+c2﹣2accsB，
两式相减得，a2﹣b2＝b2﹣a2﹣2（bccsA﹣accsB），
所以2a2﹣2b2＝﹣2（bccsA﹣accsB），
因为2a2+c2＝2b2，
所以﹣c2＝﹣2（bccsA﹣accsB），即c＝2（bcsA﹣acsB），
由正弦定理知，sinC＝2（sinBcsA﹣sinAcsB）＝2sin（B﹣A），
因为sin（B﹣A）=13，
所以sinC=23．
故选：A．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）13．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为棱AA1的中点，G为侧面A1ADD1上的一个动点，且CG∥平面BC1F，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥C1﹣GB1B的体积为定值
B．平面BC1F截正方体所得的截面面积为92
C．平面BC1F将正方体分成的两部分的体积比为7：16
D．点G的轨迹长度为2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】取A1D1的中点E，D1D的中点M，AD中点N，则易得G点的轨迹为线段MN，平面BC1F截正方体所得的截面为等腰梯形EFBC1，再分别针对各个选项求解即可．
【解答】解：如图，取A1D1的中点E，D1D的中点M，AD中点N，
连接EF，EC，MN，MC，NC，
则易得MN∥C1B，MC∥FB，且MN∩MC＝M，
∴平面MNC∥平面BC1F，
∴G点的轨迹为线段MN，而MN=2，∴D选项正确；
∵MN∥C1B，∴易得MN∥平面BB1C1，又G点在线段MN上，
∴G到平面BB1C1的距离为定值，又△BB1C1的面积也为定值，
∴三棱锥C1﹣GB1B的体积为定值，∴A选项正确；
易知EF∥C1B，∴平面BC1F截正方体所得的截面为等腰梯形EFBC1，
又EC1＝FB=5，C1B＝2EF=22，
∴可得等腰梯形EFBC1的高为(5)2−(22−22)2=32，
∴等腰梯形EFBC1的面积为12×(2+22)×32=92，∴B选项正确；
∵三棱柱A1EF﹣B1C1B的体积为13×(12×1×1+12×2×2+12×2)×2=73，
而正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为2×2×2＝8，
∴平面BC1F将正方体分成的两部分的体积比为738−73=717，∴C选项错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查正方体的截面问题，立体几何中动点轨迹问题，化归转化思想，属中档题．
三．填空题（共5小题）
14．已知某圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则该圆锥的外接球的表面积为 625π16 ．
【考点】球的表面积．
【专题】转化思想；综合法；球；运算求解．
【答案】625π16．
【分析】根据题意可得该圆锥的高为ℎ=52−32=4，设外接球的半径为R，从而根据勾股定理建立方程，即可求解．
【解答】解：因为圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，
则该圆锥的高为ℎ=52−32=4，
设外接球的半径为R，
则R2﹣（4﹣R）2＝32，解得R=258，
所以该圆锥的外接球的表面积S=4πR2=625π16．
故答案为：625π16．
【点评】本题考查圆锥的外接球问题，属基础题．
15．已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝bc，则ba+c的取值范围是 (2−3，2−1) ．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；转化法；解三角形；运算求解．
【答案】(2−3，2−1)．
【分析】根据a2﹣b2＝bc用余弦定理化简得到b＝c﹣2bcsA，再结合正弦定理化简得出sinB＝sin（A﹣B），从而可得A＝2B，从而可得ba+c=14cs2B+2csB−1，令csB＝t，t∈(22，32)，再利用二次函数性质即可求解．
【解答】解：因为a2﹣b2＝bc，得a2＝b2+bc，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA，
所以b2+bc＝b2+c2﹣2bccsA，即b＝c﹣2bcsA，
由正弦定理得sinB＝sinC﹣2sinBcsA，
因为C＝π﹣（A+B），
则sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以sinB＝sinAcsB﹣csAsinB，
即sinB＝sin（A﹣B），
因为△ABC是锐角三角形，
所以0＜A＜π2，0＜B＜π2，
所以−π2＜A−B＜π2，
又y＝sinx在(−π2，π2)上单调递增，
所以B＝A﹣B，则A＝2B，
因为△ABC是锐角三角形，
所以0＜B＜π2，0＜A=2B＜π2，0＜C=π−3B＜π2，
所以π6＜B＜π4，
由正弦定理得ba+c=sinBsinA+sinC=sinBsin2B+sin(π−3B)=sinBsin2B+sin3B
=sinBsin2B+sin2BcsB+cs2BsinB=12csB+2cs2B+2cs2B−1
=14cs2B+2csB−1，
令csB＝t，因为π6＜B＜π4，所以t∈(22，32)，
y=4t2+2t−1=4(t+14)2−54在t∈(22，32)上单调递增，
当t=22时，y=1+2，
当t=32时，y=2+3，
故ba+c=14t2+2t−1∈(12+3，11+2)=(2−3，2−1)．
故答案为：(2−3，2−1)．
【点评】本题考查解三角形中最值或范围问题，属于难题．
16．若一平面截一球得到半径为23的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的三分之一，则该球的体积等于 276π ．
【考点】球的体积．
【专题】转化思想；综合法；球；运算求解．
【答案】276π．
【分析】根据球的半径、截面圆的半径、球心到截面距离满足勾股定理求出半径，然后可得体积．
【解答】解：设所求球的半径为R，
则根据题意可得R2=(23)2+(R3)2，解得R=362，
所以该球的体积为V=43πR3=43π×(362)3=276π．
故答案为：276π．
【点评】本题考查球的几何性质，属基础题．
17．已知等腰直角△ABC的斜边AB长为2，其所在平面上两动点O、P满足OP→=λ1OA→+λ2OB→+λ3OC→(λ1+λ2+λ3=1且λ1、λ2、λ3≥0），若|OP→|=3，则OA→⋅OB→的最大值为 3+23 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】3+23．
【分析】将已知化为CP→=λ1CA→+λ2CB→，可判断点P在△ABC内部及其边界上，记点D为AB的中点，将OA→⋅OB→转化为OD→2−1，结合图形求OD的最大值即可得解．
【解答】解：因为λ1+λ2+λ3＝1，
所以OP→=λ1OA→+λ2OB→+(1−λ1−λ2)OC→，
整理得：OP→−OC→=λ1(OA→−OC→)+λ2(OB→−OC→)，
所以CP→=λ1CA→+λ2CB→，
因为λ1+λ2+λ3＝1，λ1，λ2，λ3≥0，所以0≤λ1+λ2≤1，
所以点P在△ABC内部及其边界上，
记点D为AB的中点，所以当点P与A，B，C重合时，DP取得最大值1，
则OA→⋅OB→=(OD→+DA→)⋅(OD→+DB→)
=(OD→+DA→)⋅(OD→−DA→)=OD→2−DA→2，
又因为DA=12AB=1，所以OA→⋅OB→=OD→2−1，
所以当点O到点D距离最大时，OA→⋅OB→取得最大值，
因为|OP→|=3，所以点O在以P为圆心，3为半径的圆上，
所以当点P与点A，B，C重合，且O，C，D或D，B，O或D，A，O三点共线时，
OD取得最大值CD+3=1+3，
所以OA→⋅OB→的最大值为(1+3)2−1=3+23．
故答案为：3+23．
【点评】本题考查平面向量的数量积与线性运算，属于中档题．
18．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知c＝1，b＞c，sinBsinC=210，且asinA﹣bsinB=2sinB+sinC，则A＝ 3π4 ，△ABC的面积为 12 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；运算求解．
【答案】3π4，12．
【分析】由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求csA的值，结合A∈（0，π），即可求解A的值，由正弦定理结合已知等式可得sinBsinC=b2a2=210，可求b的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：因为asinA−bsinB=2csinB+csinC，
所以由正弦定理可得：a2−b2=2bc+c2，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=−22，
因为A∈（0，π），
所以A=34π，
因为在△ABC中，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC，即2a=bsinB=1sinC，
所以sinBsinC=b2a⋅12a=b2a2=210，
所以a2=52b，
所以a2=b2+1+2b=522b，
所以2b2−32b+2=0，
所以b=2或b=22（舍），
因为△ABC的面积为S=12bcsinA=12．
故答案为：3π4，12．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
四．解答题（共15小题）
19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣（a﹣b）2＝a（a+b）．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为S，求3a22S的取值范围．
【考点】解三角形．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）C=π3；
（2）（1，4）．
【分析】（1）由题意得a2+b2﹣c2＝ab，根据余弦定理即可求解；
（2）根据三角形的面积公式和正弦定理可得3a22S=3a232ab=2ab=2sinAsinB，根据两角差的正弦公式可得3a22S=3tanB+1，由0＜B＜π20＜2π3−B＜π2得到π6＜B＜π2，即可求解．
【解答】解：（1）因为a2+c2﹣（a﹣b）2＝a（a+b），
所以a2+c2﹣（a2﹣2ab+b2）＝a2+ab，
整理得a2+b2﹣c2＝ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，
因为C∈(0，π2)，所以C=π3；
（2）因为△ABC的面积S=12absinC=34ab，
所以3a22S=3a232ab=2ab=2sinAsinB，
又C=π3，所以A=2π3−B，
则3a22S=2sin(2π3−B)sinB=3csB+sinBsinB=3tanB+1，
又因为0＜B＜π20＜2π3−B＜π2，
所以π6＜B＜π2，所以tanB＞33，0＜3tanB＜3，
故1＜3tanB+1＜4，即3a22S的取值范围是（1，4）．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
20．如图，在正方形ABCD中，E是线段AB的中点，F在线段BC上（不包含端点），线段AF，DE相交于点P．
（1）若F是线段BC的中点，证明DE→⊥AF→；
（2）若|AB→|=4，AF→⋅DE→=4，求|BF→|的值；
（3）若AP→=512AF→，求|BF→||FC→|的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1；
（3）23．
【分析】（1）由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算证明即可；
（2）由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及模的运算求解即可；
（3）由平面向量的线性运算，结合共线向量的运算求解即可．
【解答】（1）证明：∵E，F分别是线段AB，BC的中点，
∴BF→=12BC→=12AD→，AE→=12AB→，
∴AF→=AB→+BF→=AB→+12AD→，DE→=AE→−AD→=12AB→−AD→，
∴DE→⋅AF→=(12AB→−AD→)⋅(AB→+12AD→)=12AB→2−34AB→⋅AD→−12AD→2，
又在正方形ABCD中，可得AB＝AD，AB⊥AD，
∴12AB→2−34AB→⋅AD→−12AD→2=0，
∴DE→⋅AF→=0，
即DE→⊥AF→；
解：（2）设BF→=kBC→=kAD→，
则AF→=AB→+BF→=AB→+kAD→，
由（1）可知，DE→=12AB→−AD→，
∴DE→⋅AF→=(12AB→−AD→)⋅(AB→+kAD→)=12AB→2−kAD→2，
又|AB→|=4，AF→⋅DE→=4，
∴12AB→2−kAD→2=8−16k=4，
解得：k=14，
∴|BF→|=14×4=1；
（3）设BF→=kBC→=kAD→，
则AF→=AB→+BF→=AB→+kAD→，
∵AP→=512AF→=512AB→+512kAD→，
又E是线段AB的中点，
∴AB→=2AE→，
∴AP→=56AE→+512kAD→，
又D，P，E三点共线，
∴56+512k=1，
解得：k=25，即BF→=25BC→，
∴|BF→||FC→|=23．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）csC＝c（csB﹣csA）．
（1）证明：△ABC是等腰三角形．
（2）若D，E（异于A，B两点）在线段AB上，且点D靠近点A，∠DCE=π3，cs2C＝csC，求CDCE的取值范围．
【考点】解三角形．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（12，2）．
【分析】（1）由题意根据正弦定理和两角和的正弦公式可得sin（A+C）＝sin（B+C），即sinB＝sinA，可证得b＝a，即证得结论；
（2）由二倍角公式可得csC的值，再由角C的范围，可得角C的大小，由正弦定理可得CD，CE的表达式，进而可得CDCE的表达式，即可求解．
【解答】证明：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）csC＝c（csB﹣csA），
根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可得（sinA﹣sinB）csC＝sinC（csB﹣csA），
所以sinAcsC+sinCcsA＝sinCcsB+sinBcsC，
根据两角和的正弦公式可得sin（A+C）＝sin（B+C），
因为A+B+C＝π，所以sin（A+C）＝sinB，sin（B+C）＝sinA，
所以sinB＝sinA，所以b＝a，即△ABC是等腰三角形；
解：（2）若D，E（异于A，B两点）在线段AB上，且点D靠近点A，∠DCE=π3，cs2C＝csC，
由cs2C＝csC，根据二倍角的余弦公式可得2cs2C﹣1＝csC，即2cs2C﹣csC﹣1＝0，
解得csC=−12(csC=1舍去），
因为0＜C＜π，所以C=2π3，
由（1）可知a＝b，所以A=B=π6，
设∠ACD＝θ，则∠BCE=π3−θ，∠ADC=5π6−θ，∠BEC=θ+π2，
在△ACD中，由正弦定理可得CDsinA=bsin∠ADC，
则CD=bsinAsin∠ADC=bsinπ6sin(5π6−θ)=b2sin(π6+θ)，
在△ABE中，由正弦定理可得CEsinB=asin∠BEC，
则CE=asinBsin∠BEC=asinπ6sin(π2+θ)=a2csθ，
因为a＝b，所以CDCE=b2sin(π6+θ)a2csθ=csθsin(π6+θ)=csθ12csθ+32sinθ=21+3tanθ，
因为0＜θ＜π3，所以0＜tanθ＜3，所以1＜1+3tanθ＜4，
所以12＜21+3tanθ＜2，
即CDCE的取值范围为(12，2)．
【点评】本题考查了正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，属于中档题．
22．已知复数z＝3+mi，其中m∈R．
（1）设z1＝（1+3i）z，若z1是纯虚数，求实数m的值；
（2）设m＝﹣1，分别记复数z、z2在复平面上对应的点为A、B，求OA→与OB→的夹角的余弦值以及OA→在OB→上的投影向量的坐标．
【考点】复数对应复平面中的点；平面向量的投影向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）m＝1；
（2）31010；（125，−95）．
【分析】（1）由z1＝（1+3i）（3+mi）＝3﹣3m+（9+m）i，利用z1是纯虚数求解；
（2）由m＝﹣1，得到 z＝3﹣i，z2＝8﹣6i从而A（3，﹣1），B（8，﹣6），再利用OA→在OB→上的数量积投影向量公式求解即可．
【解答】解：（1）z1＝（1+3i）（3+mi）＝3﹣3m+（9+m）i，
因为z1是纯虚数，所以3﹣3m＝0且9+m≠0，
解得m＝1；
（2）当m＝﹣1 时，z＝3﹣i，故A（3，﹣1），OA→=(3，−1)，
z2＝（3﹣i）2＝8﹣6i，故B（8，﹣6），OB→=(8，−6)，
设＜OA→，OB→＞=θ，
则csθ=OA→⋅OB→|OA→|⋅|OB→|=3010⋅10=31010，
所以OA→在OB→上的投影向量为|OA→|csθ•OB→|OB→|=10×31010×110×（8，﹣6）＝（125，−95），
即OA→在OB→上的投影向量的坐标为（125，−95）．
【点评】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
23．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2AD＝2CD＝4，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点．
（1）若E是CD边的中点．
①试用AE→和AF→表示AB→；
②求AC→⋅EF→的值；
（2）求EA→⋅EF→的取值范围．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】函数思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）①AB→=−45AE→+85AF→；②2；（2）[−14，2]．
【分析】（1）②根据向量的线性运算，即可求解；②建系，根据向量的坐标运算，即可求解；
（2）建系，设E（x，2），x∈[0，2]，再根据函数模型，通过函数思想，即可求解．
【解答】解：（1）若E是CD边的中点，又F是BC边上的中点，
①AB→=AF→+FB→=AF→+CF→=AF→+EF→−EC→
=AF→+AF→−AE→−14AB→，
∴54AB→=−AE→+2AF→，
∴AB→=−45AE→+85AF→；
②建系如图：
则A（0，0），C（2，2），E（1，2），F（3，1），
∴AC→=(2，2)，EF→=(2，−1)，
∴AC→⋅EF→=2×2+2×（﹣1）＝2；
（2）根据（1）的坐标系，设E（x，2），x∈[0，2]，
又A（0，0），C（2，2），F（3，1），
∴EA→=(−x，−2)，EF→=(3−x，−1)，
∴EA→⋅EF→=x（x﹣3）+2＝（x﹣1）（x﹣2），x∈[0，2]，
∴当x＝0时，EA→⋅EF→取得最大值2；
当x=32时，EA→⋅EF→取得最小值12×(−12)=−14，
∴EA→⋅EF→的取值范围为[−14，2]．
【点评】本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的最值的求解，坐标法的应用，函数思想，属中档题．
24．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，csC=2b−c2a．
（1）求角A；
（2）设AD是角A的平分线，与BC边交于D，若BD＝5，CD＝3，求b，c；
（3）若b＝8，求△ABC面积的取值范围．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）A=π3；
（2）b=241919，c=401919；
（3）(83，323)．
【分析】（1）利用余弦定理得到b2+c2﹣a2＝bc，再由余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理及角平分线的性质得到cb=BDCD=53，设c＝5x，b＝3x（x＞0），再在△ABC中利用余弦定理求出x，即可得解；
（3）首先得到S△ABC=23c，利用正弦定理得到c=bsinCsinB=43tanB+4，再根据B的范围及正切函数的性质计算可得．
【解答】解：（1）在锐角△ABC中，csC=2b−c2a，
由余弦定理得a2+b2−c22ab=2b−c2a，化简得b2+c2﹣a2＝bc，
可得csA=b2+c2−a22bc=12，
又0＜A＜π2，得A=π3；
（2）在△ABD中，由正弦定理有BDsin∠BAD=ABsin∠BDA，
在△ACD中，由正弦定理有CDsin∠CAD=ACsin∠CDA，
因为AD是角A的平分线，故sin∠BAD＝sin∠CAD，
又∠BDA+∠CDA＝π，故sin∠BDA＝sin∠CDA，
所以cb=ABAC=BDCD=53，
设c＝5x，b＝3x（x＞0），
在△ABC中，由余弦定理，有csπ3=12=b2+c2−a22bc=9x2+25x2−(5+3)22⋅3x⋅5x，
解得x2=6419，
所以x=81919（负值舍去），
所以b=241919，c=401919；
（3）因为S△ABC=12bcsinA=12×8c×32=23c，
由正弦定理bsinB=csinC，
得c=bsinCsinB=8sin(2π3−B)sinB=8(32csB+12sinB)sinB=43tanB+4，
在锐角△ABC中，0＜B＜π2，0＜C＜π2，B+C=2π3，
即0＜B＜π20＜2π3−B＜π2，可得π6＜B＜π2，
则有tanB＞33，0＜1tanB＜3，0＜43tanB＜12，4＜43tanB+4＜16，
即c∈（4，16），得S△ABC=23c∈(83，323)，
所以△ABC面积的取值范围为(83，323)．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，角平分线的性质，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
25．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，点D是AB的中点．
（1）证明：AC1∥平面CDB1；
（2）求异面直线AC1和BC所成角的余弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）55．
【分析】（1）连接BC1，交B1C于M，证明MD∥AC1，由此能证明AC1∥平面CDB1；
（2）由B1C1∥BC，将异面直线AC1和BC所成角转化为∠AC1B1或其补角，由勾股定理求出相关边长，由余弦定理求出余弦值即可．
【解答】解：（1）证明：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，点D是AB的中点，
连接BC1，交B1C于M，由题意M为BC1的中点，∴MD∥AC1，
又AC1⊄平面CDB1，MD⊂平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1；
（2）连接AB1，由题意得B1C1∥BC，
则异面直线AC1和BC所成角转化为∠AC1B1或其补角，
由正三棱柱ABC﹣A1B1C1可得B1B⊥AB，C1C⊥AC，
AC＝AB＝B1C1＝2，BB1＝CC1＝1，则AB1=AB2+BB12=5，
AC1=AC2+CC12=5，
则cs∠AC1B1=AC12+B1C12−AB122×AC1×B1C1=55，
∴异面直线AC1和BC所成角的余弦值为55．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线的余弦值的求法，考查线面平行的判定定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
26．已知在△ABC中，cs∠BAC=35，D在线段BC上，且AD＝2．
（1）若D是BC的中点，求△ABC面积的最大值；
（2）若∠BAD=π4，求△ABC面积的最小值．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．
【答案】（1）2；
（2）1．
【分析】（1）根据AD是△ABC的中线，可得AD→=12(AB→+AC→)，两边平方化简，结合基本不等式求得bc≤5，然后运用三角形的面积公式算出△ABC面积的最大值；
（2）根据两角差的正弦公式表示出sin∠CAD，由S△ABC＝S△ADC+S△ABD，结合基本不等式求得bc≥52，再根据三角形的面积公式求出△ABC面积的最小值．
【解答】解：（1）因为D是BC的中点，所以AD→=12(AB→+AC→)，
两边平方得AD→2=14(AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2)，即16=c2+2bc×35+b2，
所以16=65bc+b2+c2≥65bc+2bc，且仅当b＝c时取等号，
可得bc≤5，当且仅当b＝c时取等号．
因为cs∠BAC=35，∠BAC∈（0，π），所以sin∠BAC=1−925=45．
所以△ABC面积S=12bcsin∠BAC=12×45bc≤25×5=2，当且仅当b＝c时取等号．
综上所述，当b＝c=5时，△ABC面积取得最大值，最大值等于2；
（2）由（1）知sin∠BAC=45，cs∠BAC=35，
sin∠CAD=sin(∠CAB−∠DAB)=sin(∠CAB−π4)
=sin∠CABcsπ4−cs∠CABsinπ4=45×22−35×22=210，
因为S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
所以12bcsin∠BAC=12b⋅ADsin∠CAD+12c⋅ADsin∠DAB，化简得25bc=210b+22c，
所以25bc=210b+22c≥2210b⋅22c=2bc10，当且仅当210b=22c，即b＝5c时取等号．
所以425(bc)2≥25bc，可得bc≥52，当且仅当b＝5c时取等号．
所以S△ABC=12bcsin∠BAC=25bc≥25×52=1，当且仅当b＝5c时取等号．
综上所述，当b=522，c=22时，△ABC面积取得最小值，最小值为1．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、平面向量数量积的定义与运算性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
27．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，且PO⊥平面ABCD，垂足O在线段AD（不含端点）上，点E在棱PD上，∠OPD＝∠EAD，平面ABE与棱PC交于点F．
（1）证明：BF⊥PD；
（2）若AE＝AB＝PE＝2，EF＝3；
①求四棱锥P﹣ABFE的体积；
②求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；棱锥的体积．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）①103；②1414．
【分析】（1）先证PD⊥平面ABFE，根据线面垂直证线线垂直．
（2）①利用锥体的体积公式求四棱锥体积；
②构造△PBF在平面PCD内的射影三角形，利用三角形面积的关系求二面角的余弦．
【解答】解：（1）证明：因为PO⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD，
所以PO⊥AD，PO⊥CD，
又因为四边形ABCD是直角梯形，且A B∥C D，∠BAD＝90°，
所以CD⊥AD，
AD，PO⊂平面PAD，且AD∩PO＝O，
所以CD⊥平面PAD，
因为A B∥C D，AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，
所以CD∥平面ABFE，
而CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABFE＝EF，
所以CD∥EF，
所以EF⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF⊥PD．
又PO⊥AD，所以∠OPD+∠ODP＝90°，
因为∠OPD＝∠EAD，所以∠EAD+∠ODP＝90°，所以∠AED＝90°，即AE⊥PD，
EF，AE⊂平面ABFE，且EF∩AE＝E，
所以PD⊥平面ABFE，
因为BF⊂平面ABFE，
所以BF⊥PD．
（2）①由（1）知：四边形ABFE是直角梯形，且AB＝AE＝2，EF＝3，
所以S梯形ABFE=12(2+3)×2=5，
又PD⊥平面ABFE，且PE＝2，所以四棱锥P﹣ABFE的体积为：V=13×5×2=103．
②因为AE⊥PD，AE⊥CD，PD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD，
AE⊂平面ABFE，所以平面ABFE⊥平面PCD．
如图：
作BM⊥EF于M，则BM⊥平面PCD，连接MP，
设二面角B﹣PC﹣D为θ，则S△PBF•csθ＝S△PMF，
且S△PMF=12⋅MF⋅PE=12×1×2=1，PM=22，
在△PBF中，PB=PM2+BM2=23，PF=PE2+EF2=13，BF=MF2+BM2=5，
由余弦定理，cs∠PBF=BP2+BF2−FP22⋅BP⋅BF=115=1515，
所以sin∠PBF=1415，
所以S△PBF=12⋅BP⋅BF⋅sin∠PBF=14．
所以csθ=S△PMFS△PBF=114=1414．
【点评】本题考查线线垂直的判定，以及几何体体积与二面角的计算，属于中档题．
28．已知向量a→=（1，2），b→=（4，﹣3）．
（1）若向量c→∥a→，且|c→|＝25，求c→的坐标；
（2）若向量a→+kb→与a→−kb→互相垂直，求实数k的值．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得c→的坐标．
（2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出k的值．
【解答】解：（1）∵向量a→=（1，2），b→=（4，﹣3），若向量c→∥a→，则 c→=（λ，2λ），
再根据|c→|＝25，可得 λ2+(2λ)2=25，求得λ＝±2，∴c→=（2，4），或 c→=（﹣2，﹣4）．
（2）若向量a→+kb→与a→−kb→互相垂直，则（a→+kb→）•（a→−kb→）＝0．
而（a→+kb→）＝（ 1+4k，2﹣3k），（a→−kb→）＝（1﹣4k，2+3k），
∴（ 1+4k，2﹣3k）•（1﹣4k，2+3k）＝1﹣16k2+4﹣9k2，求得k＝±55．
【点评】本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
29．在△ABC中，sin2C=3sinC．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长．
【考点】解三角形；正弦定理．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（Ⅰ）π6；（Ⅱ）6+63．
【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式化简可得csC，进一步计算可得角C；（Ⅱ）根据三角形面积求得a，再根据余弦定理求得c，相加可得三角形的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵sin2C=3sinC，
∴2sinCcsC=3sinC，
又sinC≠0，∴2csC=3，
∴csC=32，∵0＜C＜π，
∴C=π6；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为63，
∴12absinC＝63，
又b＝6，C=π6，
∴12×a×6×12=63，
∴a＝43，
又csC=a2+b2−c22ab，
∴32=(43)2+62−c22×43×6，
∴c＝23，
∴a+b+c＝6+63，
∴△ABC的周长为6+63．
【点评】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
30．如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E是DD1的中点．
（1）求证：A1C1∥平面ACE；
（2）设正方体的棱长为1，求三棱锥B﹣AEC的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）112．
【分析】（1）先证A1C1∥AC，再用直线与平面平行的判定定理证明A1C1∥平面ACE；
（2）利用等体积法，求三棱锥B﹣AEC的体积．
【解答】解：（1）证明：因为在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，
所以四边形AA1C1C为平行四边形，
所以A1C1∥AC，
又因为A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，
所以A1C1∥平面ACE．
（2）因为正方体的棱长是1，E是DD1的中点，
所以ED=12，
三角形ABC的面积S=12×1×1=12，
三棱锥B﹣AEC的体积VB−AEC=VE−ABC=13×S×ED=13×12×12=112．
【点评】本题考查线面平行的判定以及等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D是AC边上的一点，且AD：DC＝1：2，BD＝1．
（1）若AB：AD＝2：1时，求△ABC面积的最大值；
（2）若2sinA−sinCsinC=CA→⋅CB→BA→⋅BC→，
①求角B的大小；
②当a+3c取得最大值时，求△ABC的面积．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．
【专题】对应思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）1；
（2）①π3；②3314．
【分析】（1）根据线段的比值关系与余弦定理求出csA，再求出面积表达式，求出最大值即可．
（2）根据数量积表达式和正弦定理化简，得到a2+c2﹣b2＝ac，再由余弦定理即可求解；根据两次余弦定理得到（a+c）2+3c2＝9，换元求最大值，从而求得a，c，求得面积即可．
【解答】解：（1）根据题意作图如下：
因为AD：DC＝1：2，且AB：AD＝2：1，所以AD=b3，CD=2b3，AB=2b3，
所以csA=AD2+AB2−BD22AD⋅AB=5b2−94b2，
sinA=1−cs2A=3−b4+10b2−94b2，
所以S△ABC=12b×2b3×3−b4+10b2−94b2=−(b2−5)2+164，
显然，当b=5时，（S△ABC）max＝1；
（2）①由CA→⋅CB→=|CA→||CB→|csC=ba⋅a2+b2−c22ab=a2+b2﹣c2，
同理BA→⋅BC→=a2+c2﹣b2，
则2sinA−sinCsinC=CA→⋅CB→BA→⋅BC→=a2+b2−c2a2+c2−b2=2a−cc，
化简得a2+c2﹣b2＝ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=12，
又B∈（0，π），所以B=π3；
②因为AD=b3，CD=2b3，由∠ADB+∠CDB＝π，可得
cs∠ADB+cs∠CDB=b29+1−c22b3+4b29+1−a24b3=0，
整理得2b23=a2+2c2−3，
又因为a2+c2﹣b2＝ac，所以（a+c）2+3c2＝9，
令a+c＝3csθ，3c=3sinθ，θ为锐角，
则a+3c=23sinθ+3csθ=21sin(θ+φ)，其中sinφ=217，csφ=277，φ为锐角，
当sin（θ+φ）＝1，即θ+φ=π2时，a+3c取得最大值，
此时a+c=3csθ=3sinφ=3217，3c=3sinθ=3csφ=677
解得a=217，c=2217，
△ABC的面积为12acsinB=12×217×2217×32=3314．
【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积的运算和性质，同时考查解三角形问题的解题思路，属于中档题．
32．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）的图像两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图像上每个点先向左平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数g（x）为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈[0，π3]，[f（x）]2﹣（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数h（x）＝2f（x）+1的图像在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）至少有10个零点，在所有满足条件的区间[a，b]中，求b﹣a的最小值．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）f(x)=sin(2x+π3)−1；
（2）实数m的取值范围是(−∞，−52]；
（3）b﹣a的最小值为13π3．
【分析】（1）由已知ω＝2，再根据g（x）为偶函数可得φ；
（2）参数分离，利用对勾函数求范围；
（3）令h（x）＝0，根据零点的分布情况确定b﹣a的最小值．
【解答】解：（1）由2πω=2×π2，得ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ）﹣1，
则g(x)=sin[2(x+π12)+φ]−1+1=sin(2x+π6+φ)为偶函数，所以|g（0）|＝1，
又0＜φ＜π，所以φ=π3，故f(x)=sin(2x+π3)−1；
（2）因为x∈[0，π3]，所以2x+π3∈[π3，π]，sin(2x+π3)∈[0，1]，
故﹣1≤f（x）≤0，﹣2≤f（x）﹣1≤﹣1，而[f（x）]2﹣（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，
即f（x）]2﹣2f（x）+2≤[f（x）﹣1]m，
整理可得m≤1f(x)−1+f(x)−1，
令t＝f（x）﹣1，t∈[﹣2，﹣1]，
设n(t)=1t+t，t∈[−2，−1]，
设t1，t2∈[﹣2，﹣1]且t1＜t2，则n(t1)−n(t2)=1t1+t1−1t2−t2=(t1−t2)⋅t1t2−1t1t2，
由于t1﹣t2＜0，t1t2＞1，
则n（t1）﹣n（t2）＜0，
所以n（t1）＜n（t2）；
即n(t)=1t+t在区间[﹣2，﹣1]上单调递增，
故n(t)min=n(−2)=−52，
故m≤−52，
即实数m的取值范围是(−∞，−52]；
（3）由题意知ℎ(x)=2f(x)+1=2sin(2x+π3)−1，
由h（x）＝0得sin(2x+π3)=12，
故2x+π3=2kπ+π6或2x+π3=2kπ+5π6，k∈Z，
解得x=kπ−π12或x=kπ+π4，k∈Z，
故h（x）的零点为x=kπ−π12或x=kπ+π4，k∈Z，
所以相邻两个零点之间的距离为π3或2π3，
若b﹣a最小，则a和b都是零点，
此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，sπ+a]，（s∈N*）分别恰有3，5，…，2s+1个零点，
所以在区间[a，4π+a]上恰有9个零点，从而在区间（4π+a，b]上至少有一个零点，
所以b−a−4π≥π3，解得b≥a+4π+π3，
另一方面，在区间[−π12，4π+π3−π12]上恰有10个零点，
所以b﹣a的最小值为4π+π3=13π3．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，属于难题．
33．已知a，b，c分别是△ABC对边，且csA2csB=sin(C−π6)．点P为三角形内部一点，且满足∠BPA＝∠APC＝∠CPB＝120°．
（1）求角B；
（2）若b2﹣（a﹣c）2＝6，求PA→⋅PB→+PB→⋅PC→+PC→⋅PA→的值；
（3）若b=3，求|PA|﹣|PB|+|PC|的最小值．
【考点】正弦定理；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）B=π3；
（2）﹣3；
（3）1．
【分析】（1）根据三角恒等变换即可结合同角关系求解；
（2）根据余弦定义以及等面积法可得 xy+3s+x＝a0＝6，即可根据数量积的定义求解；
（3）根据余弦定理，结合（2）的结论可得 进而根据三角形相似可得 由基本不等式以及三角形边角关系可得 即可由函数的单调性求解．
【解答】解：（1）csA2csB=sin(C−π6)=32sinC−12csC，
可得csA=3sinCcsB﹣csCcsB，在三角形中，csA＝﹣cs（B+C）＝﹣csBcsC+sinBsinC，
∴3sinCcsB＝sinBsinC，因为sinC＞0，
可得tanB=3，B∈（0，π），
可得B=π3；
（2）∵b2﹣（a﹣c）2＝6，可得a2+c2﹣b2＝2ac﹣6，
由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accsB＝ac，
∴2ac﹣6＝ac，解得ac＝6，
设|PA→|＝x，|PB→|＝y，|PC→|＝z，
∵三角形的三个内角和都小于120°，
∠BPA＝∠APC＝∠CPB＝120°，
S△PAB+S△PAC+S△PBC＝S△ABC，
即12xy•32+12xz•32+12yz•32=12acsinB=12×6×32，
可得xy+xz+yz＝6，
∴PA→⋅PB→+PB→⋅PC→+PC→⋅PA→=（|PA→|•|PB→|+|PB→|•|PC→|+|PA→|•|PC→|）cs120°
=−12（xy+yz+xz）=−12×6＝﹣3；
（3）根据题意设|PA|＝m，|PB|＝n，|PC|＝t，
∠PAC＝α（0°＜α＜60°），则∠PAB＝α，∠PAB＝∠PCA＝60°﹣α，
在△PBC中，由余弦定理得cs120°=n2+t2−32nt=−12，
∴n+t=nt+3，
在△PAC中，由正弦定理得tsinα=msin(60°−α)，
在△PAB中，由正弦定理得msinα=nsin(60°−α)，
联立方程组，可得t=msinαsin(60°−α)n=msin(60°−α)sinα，∴nt＝m2，
代入上式，可得n+t=m2+3，且msinαsin(60°−α)+msin(60°−α)sinα=m2+3，
∴sinαsin(60°−α)+sin(60°−α)sinα=3m2+1，
设x=sin(60°−α)sinα，则x=sin(60°−α)sinα=32csα−12sinαsinα=32tanα−12，
由0°＜α＜60°，可得1tanα∈（33，+∞），∴x∈（0，+∞），
又由3m2+1=x+1x，由对勾函数的性质，可得3m2+1=x+1x∈[2，+∞），
∴m∈（0，1]，
由n+t=nt+3，可得|PA|﹣|PB|+|PC|=m2+3−m=3m2+3+m，
∵函数y=3m2+3+m在m∈（0，1]上为单调递减函数，
∴|PA|﹣|PB|+|PC|∈[1，3），
∴|PA|﹣|PB|+|PC|的最小值为1．
【点评】本题考查三角恒等变换、余弦定义、等面积法、数量积的定义、余弦定理、三角形相似、基本不等式、三角形边角关系、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M−m2．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|φ|．
3．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
4．平面向量的平行向量（共线向量）
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE→平行的向量有（ ）
解：平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，
所以图中与AE→平行的向量有EB→，DF→，FC→，共3个．
5．平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量a→的积是一个向量，记作λa→，它的大小为|λa→|＝|λ||a→|，其方向与λ的正负有关．若|λa→|≠0，当λ＞0时，λa→的方向与a→的方向相同，当λ＜0时，λa→的方向与a→的方向相反．
当λ＝0时，λa→与a→平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有a→∥b→⇔a→=λb→
（2）向量数乘运算的法则
①1a→=a→；（﹣1）a→=a→；
②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ（λa→）；
③（λ+μ）a→=λa→+μa→；
④λ（a→+b→）＝λa→+λb→．
一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果l→=λa→+μb→，则称l→可以用a→，b→线性表示．
6．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→与b→和夹角为θ，则：
（1）a→⋅e→=e→⋅a→=|a→|csθ；
（2）a→⊥b→⇔a→⋅b→=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→，b→方向相反时，a→⋅b→=−|a→||b→|；
特别地：a→⋅a→=|a→|2或|a→|=a→⋅a→（用于计算向量的模）
（4）csθ=a→⋅b→|a→||b→|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a→⋅b→|≤|a→||b→|
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a→⋅b→=b→⋅a→；
（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b→）=a→•（λb→）；
（3）分配律：（a→⋅b→）•c→≠a→•（b→⋅c→）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→−b→）（a→+b→）=a→2−b→2．③a→•（b→•c→）≠（a→•b→）•c→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；
⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”，
即③错误；
∵|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
7．平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→投影，A1B1叫做向量a→在向量b→上的投影向量．
向量a→在向量b→上的投影向量是|a→|csθb→|b→|．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|csθ叫作向量a→在向量b→上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→csθ（其中e→为与b→同向的单位向量），它是一个向量，且与b→共线，其方向由向量a→和b→夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→在a→方向上的投影向量为|b→|csθa→|a→|．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
8．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a→=λ1e1→+λ2e2→．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
9．数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：zz=3+i3−i=(3+i)2(3−i)(3+i)=2+23i4=12+32i=cs60°+isin60°．
∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
10．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→与b→垂直，有a→•b→=1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量( −35，45)垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵( −35，45)•（3，﹣4）=−95−165=−5，∴A不成立；
对于B：∵( −35，45)•（﹣4，3）=125+125=245，∴B不成立；
对于C：∵( −35，45)•（4，3）=−125+125=0，∴C成立；
对于D：∵( −35，45)•（4，﹣3）=−125−125=−245，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量( −35，45)和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
11．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
3．S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
12．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
13．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
②S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
③S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
14．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC=abc4R；
⑤S△ABC=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
15．复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
【解题方法点拨】
﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．
﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．
【命题方向】
﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．
﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．
若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．
解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，
则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，
故答案为：﹣3或1．
16．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z−z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且z≠0．
17．复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
【命题方向】
﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．
﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．
18．复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
【解题方法点拨】
﹣运算顺序：根据运算优先级（括号、乘除、加减）进行混合运算．
﹣应用：在复数计算中应用混合运算解决复杂问题．
【命题方向】
﹣混合运算的处理：考查如何处理复数的混合运算．
﹣复数计算的复杂应用：如何在复杂问题中使用混合运算．
计算：
(2+2i)2(4+5i)(5−4i)(1−i)．
解：(2+2i)2(4+5i)(5−4i)(1−i)=4i(4+5i)5−4−9i=−20+16i1−9i
=−4(5−4i)(1+9i)82=−4(41+41i)82=−2﹣2i．
19．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
棱柱1．两个底面互相平行2．侧面都是四边形3．侧棱互相平行
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
20．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥=13Sh．
21．棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13B⋅ℎ．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
【命题方向】
﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．
22．棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13ℎ(B1+B2+B1B2)．
﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．
【命题方向】
﹣棱台的体积计算：考查如何根据两个底面面积和高度计算棱台的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱台体积计算．
23．球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为4πr2．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为4πr2．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
【命题方向】
﹣球的表面积计算：考查如何根据球的半径计算表面积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的表面积计算．
24．球的体积
【知识点的认识】
球的体积依赖于球的半径r，计算公式为43πr3．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为43πr3．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行体积计算．
【命题方向】
﹣球的体积计算：考查如何根据球的半径计算体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的体积计算．
25．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
26．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
27．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，π2）；直线和平面所成的角的范围为[0，π2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为a→，平面的法向量为u→，直线与平面所成的角为θ，a→与u→的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|=|a→⋅u→||a→||u→|．
28．空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u→，v→＞≤π2，θ=＜u→，v→＞，
此时csθ＝cs＜u→，v→＞=u→⋅v→|u→||v→|．
（2）当π2＜＜u→，v→＞＜π时，θ＝π−＜u→，v→＞，
csθ＝﹣cs＜u→，v→＞=−u→⋅v→|u→||v→|．
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．
29．实系数多项式虚根成对定理
【知识点的认识】
实系数多项式虚根成对定理：
n次多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系数都为实数，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（复数集），其中a0，b0∈R，则x0=a0﹣b0i也是方程的根．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
D
C
B
A
C
C
C
D
题号
12
答案
A
题号
13
答案
ABD
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA=b2+c2−a22bc，
csB=a2+c2−b22ac，
csC=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A=b2+c2−a22bc，
cs B=a2+c2−b22ac，
cs C=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
A2+B2=π2−C2，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA=b2+c2−a22bc
csB=a2+c2−b22ac
csC=a2+b2−c22ab
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△=12aha=12bhb=12chc
②S△=12absinC=12acsinB=12bcsinA
③S△=abc4R
④S△=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑤S△=12（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA=2S△bc
sinB＝
2S△ac
sinC=2S△ab