人教版八年级数学下册基础知识专项讲练专题18.14 平面直角坐标系背景下的平行四边形（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题18.14 平面直角坐标系背景下的平行四边形（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（　　）A．(，1)B．(1，)C．(＋1，1)D．(1，＋1)2．如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把沿x轴向右平移到，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（    ）A．（1，4）B．（3，4）C．（3，3）D．（4，3）3．如图，△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），下列点M中，O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是（    ）A．（1，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（4，1）4．在平面直角坐标系中，以为顶点构成平行四边形，下列各点不能作为平行四边形顶点的是（    ）A．B．C．D．5．如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（    ）A．（3，1）B．（3，2）C．（3，3）D．（3，4）6．如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线CM交边CD于点G．则G的坐标为(   )A．B．C．D．7．如图，已知平行四边形ABCO的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴负半轴上，OF平分∠AOC交AB于G，则点G的坐标为（    ）A．（－1，2）B．C．D．8．如图，A为y轴上一点，B点坐标为（1，0），连接AB，分别以OB、AB为边构造等边和等边，且点D恰好落在AB上，点P为平面内一点，当四边形PBCD为平行四边形时，点P坐标为（    ）A．B．C．D．9．如图1，在中，，，动点从出发，沿匀速运动到点．图2是点运动时，的面积随点运动路程变化的关系图像，则的值是（    ）A．2B．3C．4D．610．如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为（    ）A．B．C．D．二、填空题11．如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A(﹣1,0)、B(﹣2,﹣3)、C(2,﹣1)，那么第四个顶点D的坐标是______．12．在平面直角坐标系中，A（﹣1，3），B（2，3），C（1，﹣3）．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标可能是___________________________．13．已知，平行四边形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A在x轴上，对角线AC，OB交于点D．分别以点O，点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE交BC于点F．若点A（6，0），点C（2，4），则点F的坐标为_________．14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），点A在x轴的正半轴上，∠COA的平分线OD交BC于点D（2，3），则点C的坐标为____．15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴上，点A坐标为，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E，再分别以点D，点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点F，作射线OF交AC于点P．则点P的坐标是______．16．如图，在▱的顶点A、C分别在直线x=1和x=6上，O是坐标原点，则对角线OB的最小值是________17．如图所示，已知的顶点A的坐标为，顶点B，D分别在x轴和直线上，则对角线的最小值是_____________．18．如图1，中两条对角线交于点O，，点P从顶点B出发，沿以每秒的速度匀速运动到点D，图2是点P运动过程中线段的长度y与时间t的函数关系图象，其中M、N分别是两段曲线的最低点，则点M的横坐标为______________，点N的纵坐标为______________．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，现将四边形经过平移后得到四边形，点的对应点的坐标为．(1) 请直接写点、、的坐标；(2) 求四边形与四边形重叠部分的面积；(3) 在轴上是否存在一点，连接、，使，若存在这样一点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图1，平面直角坐标系中，轴，，C是点A关于x轴的对称点，，交x轴于点E，连接．(1) 求证：①平分；②是等边三角形；如图2，若F在上，，连接，点B的坐标为，直接写出点F的坐标（用a、b表示）．21．如图，已知点、、．(1) 将绕点О逆时针旋转90°得，画出，并写出点C的对应点的坐标为__________．(2) 画出关于原点成中心对称的图形．(3) 在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为__________．22．如图在平面直角坐标系中，，，轴且，点从点出发，以1个单位长度的速度向点运动；点从点同时出发，以2个单位长度的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为秒．(1) 当四边形是平行四边形时，求的值；(2) 当时，求的值；(3) 当恰好垂直平分时，求的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（m，0）和（0，n），m、n满足，点C在y轴上，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD交于点E．(1) 直接写出A、B两点的坐标；(2) 如图1，若点C在y轴负半轴上，且AB＝BC，求点E的坐标；(3) 如图2，若点C与原点O重合，OH⊥BD于H，M为AB的中点，求MH的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．(1) 写出点C，D的坐标，并求出四边形ABDC的面积；(2) 在x轴上是否存在一点F，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 如图2，点P是线段BD上一个动点（不包括端点），连接PC，PO，当点P在线段BD上运动时，请写出的数量关系并证明．参考答案1．C【分析】作，求得、的长度，即可求解．解：作，如下图：则在平行四边形中，，∴∴为等腰直角三角形则，解得∴故选：C【点拨】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．2．D【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC=BD，A和C的纵坐标相同，∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），∴3AC=9，∴AC=3，∴C（4，3），故选：D．【点拨】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．3．A【分析】分三种情况讨论：①AB为对角线时，②OB为对角线时，③OA为对角线时；分别求出点的坐标，即可得出答案．解：分三种情况：①AB为对角线时，∵BM∥OA，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），∴M的坐标为（3+1，1），即M（4，1）；②OB为对角线时，∵，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），∴的坐标为（1﹣3，1），即M（﹣2，1）；③OA为对角线时，点与关于原点O对称，∴的坐标为（2，﹣1），即M（2，-1）；综上所述，点M的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：A．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质以及分类讨论等知识；正确画出图形是解题的关键．4．B【分析】分别以AC、AB、BC为对角线画平行四边形，再分别写出个点的坐标，即可选出答案．解：如图所示：①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（-3，1）；②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（5，1）；③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（1，-1）；故选：B．【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定，坐标与图形，关键是分类讨论，正确画出图形．5．B【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE=DN，AE=CN，根据A、B、C的坐标求出OM和DM即可．解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，则四边形EFNM是矩形，所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM，∴∠EAB＝∠AQC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠AQC＝∠DCN，∴∠DCN＝∠EAB，在△DCN和△BAE中，∴△DCN≌△BAE（AAS），∴BE＝DN，AE＝CN，∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3，∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，∴D的坐标为（3，2），故选：B．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，能正确作出辅助线是解题的关键．6．D【分析】先根据平行四边形的性质和角平分线的作图方法证得AD=DG，结合坐标与图形性质求得OA、OD，再根据勾股定理求得AD即可求解．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DGA=∠BAG，由作图过程知，AM平分∠DAB，∴∠DAG=∠BAG，∴∠DAG=∠DGA，∴DG=AD，∵，，∴OA=6，D（0,8）即OD=8，∴在Rt△AOD中，AD==10，∴DG=10，∴G的坐标为（10，8），故选：D．【点拨】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．7．C【分析】过点G作GD⊥x轴，根据点的坐标得出AO=，利用平行四边形的性质及角平分线得出∠AOG=∠AGO，由等角对等边得出AO=AG=，结合图形确定GE=，yG=yA=2，即可确定点的坐标．解：过点G作GD⊥x轴，同时标注字母如图所示：∵A（1,2），∴AO=，∵四边形AOCB为平行四边形，∴AB∥OC，∴∠AGO=∠COG，∵OF平分∠AOC，∴∠AOG=∠COG，∴∠AOG=∠AGO，∴AO=AG=，∴GE=，yG=yA=2，点G在第二象限，G()，故选：C．【点拨】题目主要考查坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等角对等边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．8．B【分析】利用等边三角形的性质可得点D和C的坐标，再利用平行四边形的性质可得P的坐标．解：如图，以OB、AB为边构造等边△OBD和等边△ABC，∴∠ODB=∠OBD=60，OB=1，∠CAB=60°，∴∠OAB=30°，∴∠OAD=∠DOA=30°，∴OD=AD=1，∵点D为AB的中点，∴AB=2，AO=，∴，∴∠CAO=90°，∴，∵四边形PBCD是平行四边形，∴DPBC，DP=BC，由平移可知，故选：B．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，平移的性质等知识，利用平移的性质得出点P的坐标是解题的关键．9．D【分析】过D点作DE⊥BC于点F，根据图像可得平行四边形的边长CD为4，再利用平行四边形的面积可求a．解：如图，当点运动到与点重合时，过点作的垂线，交的延长线于点．由题意知，当点在上运动时，的面积不变，此时，．∵，，∴，∴．【点拨】本题主要考查平行四边形动点问题，函数图像，平行四边形的性质，解题的关键是结合两个图像，随着动点的运动找到对应的函数图像．10．D【分析】连接，取中点，连接，根据三角形任意两边之和大于第三边求最值即可．解：连接，取中点，连接，∵，∴当取最大值时，三点共线，即在之间，即，∵分别是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．【点拨】本题考查三角形的三边关系，中位线定理，平面直角坐标系中的点与几何，勾股定理，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．11．(3,2)【分析】连接AC，BD，两线交于点M，设D点坐标为，利用中点坐标公式即可求解．解：连接AC，BD，两线交于点M，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线AC、BD的交点M为AC、BD的中点，∵，，，设D点坐标为，∴根据中点坐标公式有：，解得，∴ D点坐标为，故答案为：．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、中点坐标公式的知识，掌握中点坐标公式是解答本题的关键．12．（4，﹣3）或（0，9）或（﹣2，﹣3）【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时，由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．解：∵A（-1，3），B（2，3），∴AB=3，轴，分三种情况：①BC为对角线时， 如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AB=CD，∴轴，∵AB=3，C（1，-3），∴点D的坐标为（4，-3）②AC为对角线时，如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AB=CD，∴轴，∵AB=3，C（1，﹣3），∴点D的坐标为（﹣2，﹣3）③AB为对角线时，如图3，连接CD交AB于E，设D的坐标为（x，y），∵四边形ABCD是平行四边形，∴E分别为AB、CD的中点，∵A（-1，3），B（2，3），C（1，-3），∴，解得，∴点D的坐标为（0，9），综上所述，点D的坐标可能是（4，-3）或（0，9）或（-2，-3）．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．13．（3，4）【分析】连接OF，延长BC交y轴于点M，则轴，由题意可知，，，．根据平行四边形的性质及作图过程，可知DE垂直平分线段OB，即有，设，则，，然后在中，利用勾股定理可列方程，解得，即，结合图形即可确定F点坐标．解：如图，连接OF，延长BC交y轴于点M，则轴，∵四边形OABC为平行四边形， ∴D为对角线OB中点，由题意可知，，，，由作图可知，DE垂直平分线段OB，∴，设，则，，在中，，即，解得，∴，∴点F的坐标为（3，4）．故答案为：（3，4）．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、图形与坐标、垂直平分线和勾股定理的知识，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质．14．【分析】先利用平行四边形的性质和角平分线定义得到CO=CD，再设出C点坐标，建立方程即可．解：∵四边形OABC是平行四边形，∴BCOA，∴∠CDO=∠DOA，∵OD平分∠COA，∴∠COD=∠DOA，∠COD=∠CDO，∴CO=CD，∴设C（m，3），∴，解得：，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了角平分线的定义和平行四边形的性质，涉及到了勾股定理建立方程的知识，解题关键是正确建立方程并求解，本题蕴含了数形结合的思想．15．##【分析】利用勾股定理先求解 再证明 从而可得答案．解：∵点A坐标为，∴∵， 由作图可得：平分 故答案为：【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与计算，等腰三角形的判定，理解题意，证明是解本题的关键．16．7【分析】过点B作BD⊥直线x=6，交直线x=6于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则由于四边形OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，即可得出答案．解：过点B作BD⊥直线x=6，交直线x=6于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=6与AB交于点N，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO，OCAB，OA=BC，∵直线x=1与直线x=6均垂直于x轴，∴AMCN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD（ASA）．∴BD=OF=1，∴OE=6+1=7，∴∵OE的长不变，∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB=OE=7．故答案为7．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．17．##【分析】设点C坐标为（a，b），由平行四边形的性质可求b＝，可得点C在直线y＝上运动，再根据点C在y轴上时，AC的长度有最小值求解即可．解：设点C坐标为（a，b），∵顶点B、D分别在x轴和直线y＝−3上，∴点B，点D的纵坐标分别为0，−3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴，∴b＝，∴点C在直线y＝上运动，∴当点C在y轴上时，AC的长度有最小值，∴对角线AC的最小值为：，故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，确定点C的运动轨迹是本题的关键．18．     10     【分析】由图可知点P在BC上运动时，OP先变小后变大，求出OP的最大值和最小值，过O作于点，则可求得OB=OD= ，OC= ；而从C向D运动时，OP先变小后变大，过点O作于点，利用勾股定理求解即可．解：由图可知点P在BC上运动时，OP先变小后变大，由图象可知：点P从B向C运动时，OP的最大值为，最小值为5，，∴，由于M是曲线部分的最低点，∴此时OP最小，如下图，过O作于点，，∴由勾股定理可知：，∴点M的横坐标为10；过点O作于点，如下图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，CD=AB，由图象可知：点P从C向D运动时，，又，∴设，则，∴，∴，即，∴，∴点N的纵坐标为．故答案为：10，．【点拨】本题考查了动点与函数图象的理解和应用、平行四边形的性质、勾股定理．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．19．(1) (2) (3) 存在，或【分析】（1）先确定平移的规则，然后根据平移的规则求出点、、的坐标即可；（2）由平移的性质可知重叠部分为平行四边形且高为2，再根据相似三角形的判定与性质求得底，然后求出面积即可；（3）设点的坐标为，先求出平行四边形ABCD的面积，然后利用三角形的面积公式即可求出b的值．（1）解：∵，，∴平移的规则为：向右平移2个单位，向上平移一个单位；∵，，，∴；（2）解：如图，延长交x轴于点E，过点做由平移可知，重叠部分为平行四边形，底边长为3，高为2 ∵ 即∴重叠部分的面积为（3）解：存在；设点的坐标为，∵，，∴，∴点的坐标为或．【点拨】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、求阴影部分的面积等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键．20．(1)①见分析；②见分析；(2)．【分析】（1）①利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明即可证明结论；②先根据对称性得到，进而证明，．证明∴．得到，即可证明是等边三角形；（2）如图所示，过点B作轴于G，过点F作于H，由等边三角形的性质得到，证明四边形是平行四边形，得到，，再由，，证明，得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，则，，同理，据此即可得到答案．解：（1）证明：（1）①∵，∴．∵轴，∴．∴．∴平分；②C是点A关于x轴的对称点，∴．∵∴．∴．∴．在和中∴．∴．∴是等边三角形．（2）解：如图所示，过点B作轴于G，过点F作于H，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理，即，∴；【点拨】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．21．(1) 见分析，(2) 见分析(3) 或或【分析】（1）根据网格结构找出点绕O点逆时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点的对应点的坐标，然后描点即可得到；（3）根据平行四边形的判定进行求解即可．解：（1）如图，即为所求，点的坐标为．故答案为：（2）即为所求；（3）如图，满足条件的点D的坐标为或或．故答案为或或．【点拨】本题考查旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．22．(1) (2) 或(3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质构建方程即可解决问题．（2）分两种情形：四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形，分别求解即可．（3）利用线段垂直平分线的性质构建方程即可解决问题．解：（1）∵，∴当时，四边形是平行四边形，∵，，∴，∴（2）①当四边形是平行四边形时，，∴，∴②当四边形是等腰梯形时，，此时，∵，∴，∴，∴综上，或（3）∵，∴．当垂直平分时，则，∴，解得【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形，线段垂直平分线的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题．23．(1) A（4，0），B（0，4）(2) E（2，）(3) MH=【分析】（1）利用非负性求出m、n的值即可得到A、B两点的坐标；（2）根据AB＝BC求出C点坐标，利用平行四边形的性质和中点坐标公式即可求出点E的坐标；（3）根据等积法和勾股定理求出OH和BH，根据OH和BH求出H点的坐标，再结合M点的坐标即可求出MH的长．（1）解：∵即：∴∴ A（4，0），B（0，4）（2）解：∵OB=OA=4∴AB=∴BC=AB=，OC=BC-OB=C点坐标为（0，）∵点E是AC中点，∴，∴E(2，)．（3）解：∵C与O重合，∴E为OA的中点，∴OE=2，∴BE=，∵ 即：∴OH=，∴BH==设H点的坐标为（x，y）则： 由①-②得：，解得：把代入①得：或（舍）∴H 又∵M为AB的中点，∴M（2，2）∴MH．【点拨】本题考查坐标系和几何的综合应用．本题的综合性较强，利用非负性、平行四边形的性质和中点坐标公式，以及勾股定理进行解题．(1) C（0，2），D（4，2），8(2) 存在，（1，0）或（5，0）；(3) ，证明见分析【分析】（1）根据点的平移规律可得C、D的坐标以及四边形ABDC的面积；（2）根据的面积是面积的2倍，可得，即可求出点F的坐标；（3）延长CP交x轴于点E，根据，可得∠DCP=∠OEP，再根据三角形外角的性质，即可求解．（1）解：∵点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），∴将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得C（0，2），D（4，2）；AB=4，∴AB=CD，，OC=2，∴四边形ABDC为平行四边形，∴四边形ABDC的面积为：AB×OC=2×4=8；（2）解：存在，∵C（0，2），D（4，2），∴CD=4，∵，∴，∵三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，∴，∴，∵点B（3，0），∴点F的坐标为（1，0）或（5，0）；（3）解：，证明如下：如图，延长CP交x轴于点E， ∵，∴∠DCP=∠OEP，∵∠OPC=∠POB+∠OEP，∴．【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，以及点的平移的规律，对点P的位置进行分类讨论是解题的关键．