北京首都师范大学附属中学2024-2025学年下学期七年级期中考试 数学试卷（含解析）

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1．《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．图是哪吒头像，在下列四个图中能由图经过平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列四个图形中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．在平面直角坐标系中，如果点在第二象限，那么a的取值可能是（ ）
A．B．0C．1D．2
5．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．3月14日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动．活动中，小阳和小光展开了如下对话：
小阳说：“我比你多解了3道题！”
小光回应：“如果你给我3道题，我的解题数量就是你的两倍啦．”
若两人的陈述均为真，设小阳解了x道题，小光解了y道题，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
8．若将关于的方程组的解记作，则代数式的值是（ ）
A．B．2C．8D．11
二、填空题
9．如图，电子宠物P在圆上运动，点O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收．若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中 号点的位置时，接收到的信号最强（填序号①，②，③或④）．
三、单选题
10．在平面直角坐标系中，点，位于第四象限，其中，连接，的中点M的横坐标为2，设．给出下面三个结论：
①当时，存在；
②若点Q到两坐标轴距离相等，则三角形的面积可表示为；
③若三角形的面积为3，则总有成立．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
四、填空题
11．若是关于的方程的一组解，则常数的值是 ．
12．比较大小： 1．（填“”、“”或“”）
13．如图，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是 ．（写出一个即可）．
14．在平面直角坐标系中，A点的坐标，若线段轴，且，则点B的坐标为 ．
15．已知正数a的平方根为x和y，若，则a的值为 ．
16．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树．
（1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成；
（2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天．
五、解答题
17．计算：．
18．求出下列等式中x的值：
（1）；
（2）．
19．解方程组．
20．完成下面的证明：已知：如图，．求证：∥．
证明：过点作∥．
（ ）．
，
．
∥ （ ）．
∥（ ）．
21．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．过点B作x轴的垂线，垂足为M，在的延长线上截取，将线段平移得到线段（其中点A的对应点为点C，点B的对应点为点D）．
（1）补全图形，直接写出点C和点D的坐标；
（2）直接写出三角形的面积．
22．如图，已知______，且，求证：______．
给出下列两个条件：
①；
②．
请将①②中的一个作为题设，填在“已知”后的空格中，另一个作为结论填在“求证”后的空格中，构造出一个真命题，并给出相应的证明．
证明：
23．列二元一次方程组解决实际问题：
为丰富课余生活，加强体育锻炼，七年级（1）班计划购置跳绳和排球作为锻炼器材．已知购买2个排球和5根跳绳共需350元；购买4个排球和3根跳绳则需490元．该班共有45名学生，需为每人配备1根跳绳，且每三名学生共用1个排球．若该班统一采购这两种器材，已筹集经费2700元．请问这笔经费是否能满足本次采购需求？
24．定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为．
（1）写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______；
（2）若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值；
（3）若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值．
25．如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持．
（1）和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）．
（2）若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说理．
（3）当时，若设，，直接写出与之间的数量关系（用等式表示）．
26．在平面直角坐标系xOy中，对于点，定义点为点P的“镜像点”，给定一个长方形，若点，同时落在该长方形的内部或边上，则称点为长方形的“内含镜像点”．
（1）写出点的“镜像点”的坐标______；
（2）若长方形顶点的坐标分别为，，，．
①点，，这三个点中，是长方形的“内含镜像点”的是______；
②若点是长方形的“内含镜像点”，则a的取值范围是______；
（3）已知动点，其中．若点T是长方形的“内含镜像点”，则满足条件的长方形面积S的最小值为______．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据平移前后图形的形状，大小和方向都不发生改变，只是位置发生改变，进行判断即可．
【详解】解：由题意，平移能得到的图形为：
故选A．
2．【答案】C
【分析】根据算术平方根和立方根的符号性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不合题意；
B．为最简，原计算错误，不合题意；
C．，原计算正确，符合题意；
D．，原计算错误，不合题意；
故选C．
3．【答案】B
【分析】逐项进行判断即可作答．
【详解】解：A．如图，是邻补角，则满足，不符合题意；
B．如图，是对顶角，则满足，符合题意；
C．如图，是内错角，数量关系不确定，不符合题意；
D．如图，是同旁内角，数量关系不确定，不符合题意；
故选B．
4．【答案】D
【分析】根据第二象限的点纵坐标大于0可得，进而解不等式即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
选项中满足的值为2，
故选D．
5．【答案】B
【详解】解：A、∵，∴原变形错误，不符合题意；
B、∵∴，原变形正确，符合题意；
C、∵∴，原变形错误，不符合题意；
D、∵∴，原变形错误，不符合题意．
故选B．
6．【答案】B
【分析】根据垂直的定义得出，由平行线的性质定理可得，即可得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
7．【答案】A
【分析】设小阳解了x道题，小光解了y道题，根据两人说的话列方程组即可．
【详解】解：设小阳解了x道题，小光解了y道题，由题意得
，
故选A．
8．【答案】D
【分析】把代入关于的方程组得到关于a、b的方程组，然后直接相减即可得出，再将要求的代数式变形为，代入求值即可．
【详解】解：把代入关于的方程组，
得，
，得，
∴，
故选D．
9．【答案】①
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【详解】根据垂线段最短，得出当OQ⊥直线l时，信号最强，
即当P点运动到图中①号点的位置时，接收到的信号最强；
10．【答案】D
【分析】根据点的坐标特征分别表示出，，当时，存在，求出a的值，即可判断①；根据三角形面积公式求解三角形的面积即可判断②；分别用含a的代数式表示，即可比较大小，可判断③．
【详解】解：如图，
∵点，，连接，的中点M的横坐标为2，
∴轴，，即①，
∴，
∵，
∴②，
联立①②，解得，
∴，
当时，即，
∴当时，存在，
此时，，故①正确；
∵M是的中点，
∴，
∵点Q到两坐标轴距离相等，
∴，
∴，
∴三角形的面积为，故②正确；
∵三角形的面积为3，即，
∴，
∵，
，
∵，
∴，故③正确，
故选D．
11．【答案】
【分析】把代入关于，的方程得关于的方程，解方程求出即可．
【详解】解：把代入关于，的方程得：，
解得：.
12．【答案】
【分析】根据无理数的估算，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
13．【答案】（答案不唯一）
【分析】根据内错角相等，两直线平行作答即可．
【详解】解：添加的条件是，理由如下：
∵，
∴（内错角相等，两直线平行）.
14．【答案】或/或
【分析】在平面直角坐标系中与y轴平行，则它上面的点横坐标相同，可求B点横坐标；与y轴平行，相当于点A上下平移，可求B点纵坐标．
【详解】解：∵轴，
∴点B横坐标与点A横坐标相同，都为，
又∵，可能上移，纵坐标为；可能下移，纵坐标为，
∴B点坐标为或.
15．【答案】5
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，结合可得即可．
【详解】解：∵正数a的平方根为x和y，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
16．【答案】33；5
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解，再计算丙在A地植树的天数与在B地植树天数之差即可．
【详解】解：（1）设甲还需要x天完成，
由题意可得：，
解得，
即甲还需要33天.
（2）设丙在A地植树a天，在B地植树b天，
，
解得，
，
即丙在A地植树的天数比在B地少5天.
17．【答案】
【分析】先求算术平方根，立方根，化简绝对值，最后再计算二次根式的加减法．
【详解】解：
．
18．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先将原式整理成，再直接求36的平方根即可；
（2）先将原式整理成，再直接求的立方根即可．
【详解】（1）解：，
，
∴；
（2）解：，
，
，
∴．
19．【答案】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
①得，③
②+③得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
所以原方程组的解为．
20．【答案】；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【分析】根据两直线平行的性质和判定即可解答．
【详解】证明：过点作．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
21．【答案】（1）图形见详解，、；
（2）4
【分析】（1）先根据要求补全图形即可；根据作图可得点C、D坐标；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：补全图形如图所示；
由图知，、；
（2）解：的面积．
22．【答案】见详解
【分析】根据题意写出已知和求证，再依据平行线的性质和等量代换求解即可．
【详解】方法一：
如图，已知①，且，求证：②．
证明：
∵，
∴，
∵，
∴．
方法二：
如图，已知②，且，求证：①．
证明：
∵，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】这笔经费不能满足本次采购需求
【分析】设排球单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，求出单价，再计算班级所需器材的总费用，最后与2700进行比较即可．
【详解】解：这笔经费不能满足本次采购需求，理由如下：
设排球单价为x元，跳绳单价为y元，
由题意得，
解得，
（元），
∵，
∴这笔经费不能满足本次采购需求．
24．【答案】（1），
（2）；
（3）2025
【分析】（1）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可；
（2）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可；
（3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可．
【详解】（1）解：方程的“对称方程”为，
联立得，
解得.
（2）解：方程的“对称方程”为，
联立得，
∵方程组的解为，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
方程与它的“对称方程”组成的方程组为，
解得，
∴把代入可得，即，
∴
，
25．【答案】（1）否
（2）见详解，，理由见详解
（3）与之间的数量关系为或或．
【分析】（1）根据角的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明；
（3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可．
【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧，
∴点P与点Q不共点，
∴和没有公共顶点，
∴和不可能为对顶角.
（2）解：补全图形，如图，
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
综上，与之间的数量关系为或或．
26．【答案】（1）
（2）①H，G；②
（3）25
【分析】（1）根据“镜像点”的定义即可解答；
（2）①先画出长方形，再确定各点的是否在长方形边上或内部，即可解答；
②根据长方形四个顶点的坐标，可确定横坐标最大为3，最小为，纵坐标最大为1，最小为，即可解答；
（3）先计算最小边长，计算其最小面积即可．
【详解】（1）解：由题意得：点的“镜像点”的坐标为.
（2）解：①如图1，
∵点在长方形内部，
∴点是长方形的“内含镜像点”，
∵点不在长方形内部，
∴点不是长方形的“内含镜像点”，
∵点在长方形边上，
∴点是长方形的“内含镜像点”，
综上，长方形的“内含镜像点”的是H，G.
②∵，，，，
又∵点是长方形的“内含镜像点”，
∴点和点都落在长方形的边上或内部，
∴，，
∴.
（3）解：∵动点，其中，
∴，
如图2，满足条件的长方形面积S的最小值为，