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2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中第一分校七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中第一分校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.4的算术平方根是( )
A. ±2B. −2C. 2D. 2
2.如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B(AB⊥CD于点B)处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是( )
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 垂线段最短
3.在平面直角坐标系中，点M(−2,1)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.下列命题中，是真命题的是( )
A. 邻补角是互补的角B. 相等的角是对顶角C. 同旁内角互补D. 负数没有立方根
5.已知x=2,y=4是二元一次方程ax+y=2的一个解，则a的值为( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
6.如图，能判定EB//AC的条件是( )
A. ∠A=∠ABE
B. ∠A=∠EBD
C. ∠C=∠ABC
D. ∠C=∠ABE
7.二元一次方程组x+y=4x−2y=1的解是( )
A. x=1y=3B. x=3y=1C. x=1y=0D. x=2y=12
8.下列运算中，正确的是( )
A. 9=±3B. 3−8=2C. 4=2D. (−8)2=−8
9.如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9)，则顶点A的坐标为( )
A. (15,3)
B. (16,4)
C. (15,4)
D. (12,3)
10.如图，AB//CD，∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠E=45°，则∠H为( )
A. 22°B. 22.5°C. 30°D. 45°
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
11.在某个电影院里，如果用(3,13)表示3排13号，那么2排7号可以表示为______．
12.将点A(−1,4)向右平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为______．
13.若x2=16，则x=______．
14.如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1=20°，那么∠2= ______°.
15.点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数 5−1，这个点是______．
16.在平面直角坐标系中，已知点M(1−a,a+2)在y轴上，则a的值是______．
17.实数a，b满足 a−1+(2a+b)2=0，则b的值为______．
18.已知关于的二元一次方程组x+y=3kx−3y=20−k的解满足x−y=6，则k的值为______．
19.若x+2y+4z=62x+y−z=9，那么代数式x+y+z= ______．
20.如图，AB//ED，∠CAB=125°，∠ACD=75°，则∠CDE= ______°.
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
计算：
(1) 4+ 25− 100；
(2)2( 3−1)+| 3−2|+3−64；
(3) 49+3−27+|1− 2|− 2；
(4) 116+|− 2|+3−8+( 2)2．
22.(本小题12分)
求下列各式中的x值：
(1)x2−1=54；
(2)2x3=−16；
(3)(x−2)2=9；
(4)3(x−4)3=−375．
23.(本小题16分)
解下列方程组：
(1)3x+2y=192x−y=1；
(2)3x−2y=82x+y=3；
(3)2x−y=23x−2y=1；
(4)2x−3y=15x+2y=4．
24.(本小题5分)
如图，AB//CD，∠B+∠D=180°.求证：BC//DE．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AB//CD，
∴∠B= ______.(理由：______)
∵∠B+∠D=180°，
∴ ______+∠D=180°，(理由：______)
∴BC//DE.(理由：______)
25.(本小题7分)
已知：直线l1//l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上.D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED=∠DAE.点M在l2上，且在点B的左侧．
(1)如图1，若∠BAD=25°，∠AED=50°，直接写出∠ABM的度数______；
(2)射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF=150°时，直接写出∠EAF的度数．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值[A,B]如下：
若O，A，B在一条直线上[A,B|=0；
若O，A，B不在一条直线上[A,B]=S△OAB．
已知点A坐标为(4,0)点B坐标为(0,4)，回答下列问题：
(1)[A,B]= ______；
(2)若[P,A]=0，[P,B]=1，则点P坐标为______；
(3)在图中画出所有满足[P,A]=[P,B]的点P，并说明理由．
(4)若一个正方形中任意一点P都满足[P,A]+[P,B]≤2，则称这个正方形为正规正方形.请直接写出包含点O的正规正方形面积的最大值：______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：4的算术平方根是： 4=2，
故选：C．
根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 a，求出4的算术平方根即可．
本题考查了算术平方根的性质和应用，熟练掌握算术平方根的含义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此，沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故选：D．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段；直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂线段最短．
本题主要考查垂线段的定义和性质，掌握连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短是解题关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】
解：点M(−2,1)在第二象限．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：A、邻补角是互补的角，是真命题，符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、负数有立方根，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：A．
根据邻补角的概念、对顶角的性质、平行线的性质以及立方根的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解答】
解：把x=2y=4代入方程得：2a+4=2，解得：a=−1，
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：A、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB//AC，故本选项正确．
B、∠A=∠EBD不能判断出EB//AC，故本选项错误；
C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB//AC，故本选项错误；
D、∠C=∠ABE不能判断出EB//AC，故本选项错误；
故选：A．
在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
7.【答案】B
【解析】解：方程组x+y=4①x−2y=1②，
①−②得：3y=3，
解得：y=1，
把y=1代入①得：x+1=4，
解得：x=3，
则方程组的解为x=3y=1．
故选：B．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8.【答案】C
【解析】解：A、 9=3，故A不符合题意；
B、3−8=−2，故B不符合题意；
C、 4=2，故C符合题意；
D、 (−8)2=8，故D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9.【答案】A
【解析】解：如图：
∵顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9)，
∴MN//x轴，MN=9，BN//y轴，
∴正方形的边长为3，
∴BN=6，
∴B(12,3)
∵AB//MN，
∴AB//x轴，
∴A(15,3)，
故选：A．
由图形可得MN//x轴，MN=9，BN//y轴，可求正方形的边长，即可求解．
本题主要考查了坐标与图形，正确求出点B的坐标是本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过E作EQ//AB，过H作HI//AB，
∵AB//CD，
∴EQ//AB//CD//HI，
∴∠QEB+∠ABE=180°，∠QED+∠EDC=180°，∠IHD+∠CDH=180°，∠IHB+∠ABH=180°，
∵∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠BED=45°，
∴2∠FBA−2∠GDC=∠BED=45°，
∴∠BHD=∠CDH−∠ABH=180°−∠GDC−(180°−∠FBA)=∠FBA−∠GDC=12∠BED=22.5°．
故选：B．
过E作EQ//AB，过H作HI//AB，利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答．
11.【答案】(2,7)
【解析】解：∵(3,13)表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，
∴2排7号可以表示为(2,7)，
故答案为(2,7)．
根据用(3,13)表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，进而可得答案．
此题主要考查了坐标确定位置，关键是掌握每个数表示的意义．
12.【答案】(2,4)
【解析】解：将点A(−1,4)向右平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为(−1+3,4)，即(2,4)．
故答案为：(2,4)．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
本题考查了坐标与图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
13.【答案】±4
【解析】解：∵x2=16，
∴x=±4；
故答案为：±4．
根据平方根，即可解答．
本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
14.【答案】40
【解析】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
∵∠1=20°，∠1+∠3=60°，
∴∠3=40°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=40°．
故答案为：40．
利用两直线平行，内错角相等作答．
本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用．
15.【答案】点P
【解析】解：∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴1< 5−1<2，
则表示实数 5−1的点是点P，
故答案为：点P．
先估算出 5−1在哪两个整数之间，再结合数轴即可求得答案．
本题考查实数与数轴的关系，估算出 5−1在哪两个整数之间是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：因为点M(1−a,a+2)在y轴上，
所以1−a=0，
解得a=1．
故答案为：1．
根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
17.【答案】−2
【解析】解：∵ a−1+(2a+b)2=0，
∴a−1=0且2a+b=0，
解得：a=1，b=−2，
故答案为：−2．
直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了平方的性质以及二次根式的性质，正确把握相关定义是解题关键．
18.【答案】−4
【解析】解：x+y=3k①x−3y=20−k②，
(①+②)÷2得：x−y=10+k，
又∵x−y=6，
∴10+k=6，
解得：k=−4，
∴k的值为−4．
故答案为：−4．
利用(①+②)÷2，可得出x−y=10+k，结合x−y=6，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，通过解二元一次方程组，找出x−y=10+k是解题的关键．
19.【答案】5
【解析】解：根据题意，得x+2y+4z=6(1)2x+y−z=9(2)
由(1)+(2)，得
3x+3y+3z=15 (3)
化简(3)，得
x+y+z=5．
该题目是一典型的关于三元一次方程组的题目．解答这样的题目要认真思考所求的问题与原题目之间的变量关系．
解答这样的题目时，认真审题，观察所求的问题x+y+z=？只要用加减消元法即可得3(x+y+z)=15，然后化简即可得出答案．
20.【答案】20
【解析】解：过C作CF//AB，
∵AB//ED，
∴AB//ED//CF，
∴∠2=∠D，∠1+∠A=180°，
∵∠CAB=125°，
∴∠1=180°−125°=55°，
∵∠ACD=75°，
∴∠2=75°−55°=20°，
∴∠D=20°，
故答案为：20．
首先过C作CF//AB，根据平行线的传递性可得AB//ED//CF，根据平行线的性质可得∠2=∠D，∠1+∠A=180°，再计算出∠1的度数，进而得到∠2的度数，即可得到∠D的度数．
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是正确画出辅助线，得到∠1的度数．
21.【答案】解：(1)原式=2+5−10
=−3；
(2)原式=2 3−2+2− 3−4
= 3−4；
(3)原式=7−3+ 2−1− 2
=3；
(4)原式=14+ 2−2+2
=14+ 2．
【解析】(1)根据算术平方根、有理数的加减法法则计算；
(2)根据绝对值的性质、立方根的概念计算；
(3)根据算术平方根、立方根、绝对值的性质计算；
(4)根据算术平方根、立方根、绝对值的性质、二次根式的乘法法则计算．
本题考查的是实数的运算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)原方程整理得：x2=94，
则x=±32；
(2)原方程整理得：x3=−8，
则x=−2；
(3)由原方程得：x−2=±3，
解得：x=5或x=−1；
(4)原方程整理得：(x−4)3=−125，
则x−4=−5，
解得：x=−1．
【解析】(1)利用平方根的定义解方程即可；
(2)利用立方根的定义解方程即可；
(3)利用平方根的定义解方程即可；
(4)利用立方根的定义解方程即可．
本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)3x+2y=19①2x−y=1②，
①+②×2，可得7x=21，
解得x=3，
把x=3代入②，可得：2×3−y=1，
解得y=5，
∴原方程组的解是x=3y=5．
(2)3x−2y=8①2x+y=3②，
①+②×2，可得7x=14，
解得x=2，
把x=2代入②，可得：2×2+y=3，
解得y=−1，
∴原方程组的解是x=2y=−1．
(3)2x−y=2①3x−2y=1②，
①×2−②，可得x=3，
把x=3代入①，可得：2×3−y=2，
解得y=4，
∴原方程组的解是x=3y=4．
(4)2x−3y=15①x+2y=4②，
①×2+②×3，可得7x=42，
解得x=6，
把x=6代入②，可得：6+2y=4，
解得y=−1，
∴原方程组的解是x=6y=−1．
【解析】(1)应用加减消元法，求出方程组的解即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可；
(3)应用加减消元法，求出方程组的解即可；
(4)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
24.【答案】∠BCD 两直线平行，内错角相等 ∠BCD 等量代换 同旁内角互补，两直线平行
【解析】证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠BCD.(理由：两直线平行，内错角相等)，
∵∠B+∠D=180°
∴∠BCD+∠D=180°，(理由：等量代换)，
∴BC//DE.(理由：同旁内角互补，两直线平行)．
故答案为：∠BCD，两直线平行，内错角相等；∠BCD，等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的性质及等量代换推出∠BCD+∠D=180°，即可判定BC//DE．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】(1)125°
(2)①结论：∠ABD=2∠EAF，
理由：如图2中，
∵l1//l2，
∴∠CAN=∠ABD，∠NAE=∠AED，
又∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF=∠CAF=12∠CAD，
∵∠DAE=∠AED=∠NAE，
∴∠DAE=∠NAE=12(∠DAE+∠NAE)=12∠DAN，
∴∠EAF=∠DAF−∠DAE=12∠CAD−12∠DAN=12∠CAN=12∠ABD．
即∠ABD=2∠EAF．
②Ⅰ、如图3−1中，
点D在点B右侧，此时有∠EAF=12∠ABD，
∵∠ABM+∠EAF=150°，
∴∠ABM+12∠ABD=150°，
又∵∠ABM+∠ABD=180°，
∴12∠ABD=180°−150°=30°，
∴∠EAF=30°；
Ⅱ如图3−2中，点D在点B左侧，点E在点B右侧，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAF=12∠CAD，
∵l1//l2，
∴∠AED=∠NAE，∠CAN=∠ABE，
∵∠DAE=∠AED=∠NAE，
∴∠DAE=12(∠DAE+∠NAE)=12∠DAN，
∴∠EAF=∠DAF+∠DAE=12(∠CAD+∠DAN)=12×(360°−∠CAN)=180°−12∠ABE，
∵∠ABE+∠ABM=180°，
∴∠EAF=180°−12(180°−∠ABM)=90°+12∠ABM，
又∵∠EAF+∠ABM=150°，
∴∠EAF=90°+12(150°−∠EAF)=165°−12∠EAF，
∴∠EAF=110°；
Ⅲ如图3−3中，D、E均在B点左侧，
此时，∠DAE=12∠DAN，∠DAF=12∠CAD，
∠EAF=∠DAE+∠DAF=12(360°−∠CAN)=180°−12∠ABG=180°−12(180°−∠ABM)=90°+12∠ABM，
∴EAF=110°．
综上所述：∠EAF=30°或∠EAF=110°．
【解析】解：(1)如图1中，
∵l1//l2，
∴∠ABM=∠BAN，∠NAE=∠AED=50°，
∵∠BAD=25°，∠DAE=∠AED=50°，
∴∠ABM=∠BAN=∠BAD+∠DAE+∠NAE=25°+50°+50°=125°，
故答案为：125°；
(2)见答案．
(1)根据平行线的性质以及题干中∠AED=∠DAE即可推出∠ABM的度数．
(2)①结合平行线性质和题干条件进行推理即可找到∠EAF与∠ABD的等量关系．
②根据D、E在点B不同位置分类讨论即可找出∠EAF的度数．
本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】8 (12,0)或(−12,0) 2
【解析】解：(1)∵点A坐标为(4,0)点B坐标为(0,4)，
∴[A,B]=S△OAB=12×4×4=8，
故答案为：8；
(2)∵[P,A]=0，
∴点P在x轴上，
∵[P,B]=1
∴S△POB=1，
设P(t,0)，
∴12|t|×4=1，
解得：t=±12，
∴P(12,0)或(−12,0)，
故答案为：(12,0)或(−12,0)；
(3)点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，作图如下：
理由：设点P坐标为(x,y)，
那么[P,A]=2|y|，[P,B]=2|x|，
所以|x|=|y|．
因此y=x或y=−x，
即为一三象限和二四象限的角平分线；
(4)设点P坐标为(x,y)，
∵[P,A]+[P,B]≤2，
∴|x|+|y|≤1，
∵满足条件的点的全体是一个正方形，且面积为2，
故答案为：2．
(1)根据题中的定义直接回答即可；
(2)由[P,A]=0可得点P在x轴上，由[P,B]=1可得S△POB=1，据此求出点P的坐标；
(3)根据[P,A]=[P,B]可得点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，据此画出图象即可；
(4)条件相当于|x|+|y|≤1，满足条件的点的全体是一个正方形，据此解答即可．
本题考查坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，解题的关键是读懂“关联值[A,B]”的定义，数形结合解决问题．
1.4的算术平方根是( )
A. ±2B. −2C. 2D. 2
2.如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B(AB⊥CD于点B)处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是( )
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 垂线段最短
3.在平面直角坐标系中，点M(−2,1)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.下列命题中，是真命题的是( )
A. 邻补角是互补的角B. 相等的角是对顶角C. 同旁内角互补D. 负数没有立方根
5.已知x=2,y=4是二元一次方程ax+y=2的一个解，则a的值为( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
6.如图，能判定EB//AC的条件是( )
A. ∠A=∠ABE
B. ∠A=∠EBD
C. ∠C=∠ABC
D. ∠C=∠ABE
7.二元一次方程组x+y=4x−2y=1的解是( )
A. x=1y=3B. x=3y=1C. x=1y=0D. x=2y=12
8.下列运算中，正确的是( )
A. 9=±3B. 3−8=2C. 4=2D. (−8)2=−8
9.如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9)，则顶点A的坐标为( )
A. (15,3)
B. (16,4)
C. (15,4)
D. (12,3)
10.如图，AB//CD，∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠E=45°，则∠H为( )
A. 22°B. 22.5°C. 30°D. 45°
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
11.在某个电影院里，如果用(3,13)表示3排13号，那么2排7号可以表示为______．
12.将点A(−1,4)向右平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为______．
13.若x2=16，则x=______．
14.如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1=20°，那么∠2= ______°.
15.点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数 5−1，这个点是______．
16.在平面直角坐标系中，已知点M(1−a,a+2)在y轴上，则a的值是______．
17.实数a，b满足 a−1+(2a+b)2=0，则b的值为______．
18.已知关于的二元一次方程组x+y=3kx−3y=20−k的解满足x−y=6，则k的值为______．
19.若x+2y+4z=62x+y−z=9，那么代数式x+y+z= ______．
20.如图，AB//ED，∠CAB=125°，∠ACD=75°，则∠CDE= ______°.
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
计算：
(1) 4+ 25− 100；
(2)2( 3−1)+| 3−2|+3−64；
(3) 49+3−27+|1− 2|− 2；
(4) 116+|− 2|+3−8+( 2)2．
22.(本小题12分)
求下列各式中的x值：
(1)x2−1=54；
(2)2x3=−16；
(3)(x−2)2=9；
(4)3(x−4)3=−375．
23.(本小题16分)
解下列方程组：
(1)3x+2y=192x−y=1；
(2)3x−2y=82x+y=3；
(3)2x−y=23x−2y=1；
(4)2x−3y=15x+2y=4．
24.(本小题5分)
如图，AB//CD，∠B+∠D=180°.求证：BC//DE．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AB//CD，
∴∠B= ______.(理由：______)
∵∠B+∠D=180°，
∴ ______+∠D=180°，(理由：______)
∴BC//DE.(理由：______)
25.(本小题7分)
已知：直线l1//l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上.D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED=∠DAE.点M在l2上，且在点B的左侧．
(1)如图1，若∠BAD=25°，∠AED=50°，直接写出∠ABM的度数______；
(2)射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF=150°时，直接写出∠EAF的度数．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值[A,B]如下：
若O，A，B在一条直线上[A,B|=0；
若O，A，B不在一条直线上[A,B]=S△OAB．
已知点A坐标为(4,0)点B坐标为(0,4)，回答下列问题：
(1)[A,B]= ______；
(2)若[P,A]=0，[P,B]=1，则点P坐标为______；
(3)在图中画出所有满足[P,A]=[P,B]的点P，并说明理由．
(4)若一个正方形中任意一点P都满足[P,A]+[P,B]≤2，则称这个正方形为正规正方形.请直接写出包含点O的正规正方形面积的最大值：______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：4的算术平方根是： 4=2，
故选：C．
根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 a，求出4的算术平方根即可．
本题考查了算术平方根的性质和应用，熟练掌握算术平方根的含义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此，沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故选：D．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段；直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂线段最短．
本题主要考查垂线段的定义和性质，掌握连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短是解题关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】
解：点M(−2,1)在第二象限．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：A、邻补角是互补的角，是真命题，符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、负数有立方根，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：A．
根据邻补角的概念、对顶角的性质、平行线的性质以及立方根的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解答】
解：把x=2y=4代入方程得：2a+4=2，解得：a=−1，
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：A、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB//AC，故本选项正确．
B、∠A=∠EBD不能判断出EB//AC，故本选项错误；
C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB//AC，故本选项错误；
D、∠C=∠ABE不能判断出EB//AC，故本选项错误；
故选：A．
在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
7.【答案】B
【解析】解：方程组x+y=4①x−2y=1②，
①−②得：3y=3，
解得：y=1，
把y=1代入①得：x+1=4，
解得：x=3，
则方程组的解为x=3y=1．
故选：B．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8.【答案】C
【解析】解：A、 9=3，故A不符合题意；
B、3−8=−2，故B不符合题意；
C、 4=2，故C符合题意；
D、 (−8)2=8，故D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9.【答案】A
【解析】解：如图：
∵顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9)，
∴MN//x轴，MN=9，BN//y轴，
∴正方形的边长为3，
∴BN=6，
∴B(12,3)
∵AB//MN，
∴AB//x轴，
∴A(15,3)，
故选：A．
由图形可得MN//x轴，MN=9，BN//y轴，可求正方形的边长，即可求解．
本题主要考查了坐标与图形，正确求出点B的坐标是本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过E作EQ//AB，过H作HI//AB，
∵AB//CD，
∴EQ//AB//CD//HI，
∴∠QEB+∠ABE=180°，∠QED+∠EDC=180°，∠IHD+∠CDH=180°，∠IHB+∠ABH=180°，
∵∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠BED=45°，
∴2∠FBA−2∠GDC=∠BED=45°，
∴∠BHD=∠CDH−∠ABH=180°−∠GDC−(180°−∠FBA)=∠FBA−∠GDC=12∠BED=22.5°．
故选：B．
过E作EQ//AB，过H作HI//AB，利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答．
11.【答案】(2,7)
【解析】解：∵(3,13)表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，
∴2排7号可以表示为(2,7)，
故答案为(2,7)．
根据用(3,13)表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，进而可得答案．
此题主要考查了坐标确定位置，关键是掌握每个数表示的意义．
12.【答案】(2,4)
【解析】解：将点A(−1,4)向右平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为(−1+3,4)，即(2,4)．
故答案为：(2,4)．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
本题考查了坐标与图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
13.【答案】±4
【解析】解：∵x2=16，
∴x=±4；
故答案为：±4．
根据平方根，即可解答．
本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
14.【答案】40
【解析】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
∵∠1=20°，∠1+∠3=60°，
∴∠3=40°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=40°．
故答案为：40．
利用两直线平行，内错角相等作答．
本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用．
15.【答案】点P
【解析】解：∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴1< 5−1<2，
则表示实数 5−1的点是点P，
故答案为：点P．
先估算出 5−1在哪两个整数之间，再结合数轴即可求得答案．
本题考查实数与数轴的关系，估算出 5−1在哪两个整数之间是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：因为点M(1−a,a+2)在y轴上，
所以1−a=0，
解得a=1．
故答案为：1．
根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
17.【答案】−2
【解析】解：∵ a−1+(2a+b)2=0，
∴a−1=0且2a+b=0，
解得：a=1，b=−2，
故答案为：−2．
直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了平方的性质以及二次根式的性质，正确把握相关定义是解题关键．
18.【答案】−4
【解析】解：x+y=3k①x−3y=20−k②，
(①+②)÷2得：x−y=10+k，
又∵x−y=6，
∴10+k=6，
解得：k=−4，
∴k的值为−4．
故答案为：−4．
利用(①+②)÷2，可得出x−y=10+k，结合x−y=6，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，通过解二元一次方程组，找出x−y=10+k是解题的关键．
19.【答案】5
【解析】解：根据题意，得x+2y+4z=6(1)2x+y−z=9(2)
由(1)+(2)，得
3x+3y+3z=15 (3)
化简(3)，得
x+y+z=5．
该题目是一典型的关于三元一次方程组的题目．解答这样的题目要认真思考所求的问题与原题目之间的变量关系．
解答这样的题目时，认真审题，观察所求的问题x+y+z=？只要用加减消元法即可得3(x+y+z)=15，然后化简即可得出答案．
20.【答案】20
【解析】解：过C作CF//AB，
∵AB//ED，
∴AB//ED//CF，
∴∠2=∠D，∠1+∠A=180°，
∵∠CAB=125°，
∴∠1=180°−125°=55°，
∵∠ACD=75°，
∴∠2=75°−55°=20°，
∴∠D=20°，
故答案为：20．
首先过C作CF//AB，根据平行线的传递性可得AB//ED//CF，根据平行线的性质可得∠2=∠D，∠1+∠A=180°，再计算出∠1的度数，进而得到∠2的度数，即可得到∠D的度数．
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是正确画出辅助线，得到∠1的度数．
21.【答案】解：(1)原式=2+5−10
=−3；
(2)原式=2 3−2+2− 3−4
= 3−4；
(3)原式=7−3+ 2−1− 2
=3；
(4)原式=14+ 2−2+2
=14+ 2．
【解析】(1)根据算术平方根、有理数的加减法法则计算；
(2)根据绝对值的性质、立方根的概念计算；
(3)根据算术平方根、立方根、绝对值的性质计算；
(4)根据算术平方根、立方根、绝对值的性质、二次根式的乘法法则计算．
本题考查的是实数的运算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)原方程整理得：x2=94，
则x=±32；
(2)原方程整理得：x3=−8，
则x=−2；
(3)由原方程得：x−2=±3，
解得：x=5或x=−1；
(4)原方程整理得：(x−4)3=−125，
则x−4=−5，
解得：x=−1．
【解析】(1)利用平方根的定义解方程即可；
(2)利用立方根的定义解方程即可；
(3)利用平方根的定义解方程即可；
(4)利用立方根的定义解方程即可．
本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)3x+2y=19①2x−y=1②，
①+②×2，可得7x=21，
解得x=3，
把x=3代入②，可得：2×3−y=1，
解得y=5，
∴原方程组的解是x=3y=5．
(2)3x−2y=8①2x+y=3②，
①+②×2，可得7x=14，
解得x=2，
把x=2代入②，可得：2×2+y=3，
解得y=−1，
∴原方程组的解是x=2y=−1．
(3)2x−y=2①3x−2y=1②，
①×2−②，可得x=3，
把x=3代入①，可得：2×3−y=2，
解得y=4，
∴原方程组的解是x=3y=4．
(4)2x−3y=15①x+2y=4②，
①×2+②×3，可得7x=42，
解得x=6，
把x=6代入②，可得：6+2y=4，
解得y=−1，
∴原方程组的解是x=6y=−1．
【解析】(1)应用加减消元法，求出方程组的解即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可；
(3)应用加减消元法，求出方程组的解即可；
(4)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
24.【答案】∠BCD 两直线平行，内错角相等 ∠BCD 等量代换 同旁内角互补，两直线平行
【解析】证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠BCD.(理由：两直线平行，内错角相等)，
∵∠B+∠D=180°
∴∠BCD+∠D=180°，(理由：等量代换)，
∴BC//DE.(理由：同旁内角互补，两直线平行)．
故答案为：∠BCD，两直线平行，内错角相等；∠BCD，等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的性质及等量代换推出∠BCD+∠D=180°，即可判定BC//DE．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】(1)125°
(2)①结论：∠ABD=2∠EAF，
理由：如图2中，
∵l1//l2，
∴∠CAN=∠ABD，∠NAE=∠AED，
又∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF=∠CAF=12∠CAD，
∵∠DAE=∠AED=∠NAE，
∴∠DAE=∠NAE=12(∠DAE+∠NAE)=12∠DAN，
∴∠EAF=∠DAF−∠DAE=12∠CAD−12∠DAN=12∠CAN=12∠ABD．
即∠ABD=2∠EAF．
②Ⅰ、如图3−1中，
点D在点B右侧，此时有∠EAF=12∠ABD，
∵∠ABM+∠EAF=150°，
∴∠ABM+12∠ABD=150°，
又∵∠ABM+∠ABD=180°，
∴12∠ABD=180°−150°=30°，
∴∠EAF=30°；
Ⅱ如图3−2中，点D在点B左侧，点E在点B右侧，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAF=12∠CAD，
∵l1//l2，
∴∠AED=∠NAE，∠CAN=∠ABE，
∵∠DAE=∠AED=∠NAE，
∴∠DAE=12(∠DAE+∠NAE)=12∠DAN，
∴∠EAF=∠DAF+∠DAE=12(∠CAD+∠DAN)=12×(360°−∠CAN)=180°−12∠ABE，
∵∠ABE+∠ABM=180°，
∴∠EAF=180°−12(180°−∠ABM)=90°+12∠ABM，
又∵∠EAF+∠ABM=150°，
∴∠EAF=90°+12(150°−∠EAF)=165°−12∠EAF，
∴∠EAF=110°；
Ⅲ如图3−3中，D、E均在B点左侧，
此时，∠DAE=12∠DAN，∠DAF=12∠CAD，
∠EAF=∠DAE+∠DAF=12(360°−∠CAN)=180°−12∠ABG=180°−12(180°−∠ABM)=90°+12∠ABM，
∴EAF=110°．
综上所述：∠EAF=30°或∠EAF=110°．
【解析】解：(1)如图1中，
∵l1//l2，
∴∠ABM=∠BAN，∠NAE=∠AED=50°，
∵∠BAD=25°，∠DAE=∠AED=50°，
∴∠ABM=∠BAN=∠BAD+∠DAE+∠NAE=25°+50°+50°=125°，
故答案为：125°；
(2)见答案．
(1)根据平行线的性质以及题干中∠AED=∠DAE即可推出∠ABM的度数．
(2)①结合平行线性质和题干条件进行推理即可找到∠EAF与∠ABD的等量关系．
②根据D、E在点B不同位置分类讨论即可找出∠EAF的度数．
本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】8 (12,0)或(−12,0) 2
【解析】解：(1)∵点A坐标为(4,0)点B坐标为(0,4)，
∴[A,B]=S△OAB=12×4×4=8，
故答案为：8；
(2)∵[P,A]=0，
∴点P在x轴上，
∵[P,B]=1
∴S△POB=1，
设P(t,0)，
∴12|t|×4=1，
解得：t=±12，
∴P(12,0)或(−12,0)，
故答案为：(12,0)或(−12,0)；
(3)点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，作图如下：
理由：设点P坐标为(x,y)，
那么[P,A]=2|y|，[P,B]=2|x|，
所以|x|=|y|．
因此y=x或y=−x，
即为一三象限和二四象限的角平分线；
(4)设点P坐标为(x,y)，
∵[P,A]+[P,B]≤2，
∴|x|+|y|≤1，
∵满足条件的点的全体是一个正方形，且面积为2，
故答案为：2．
(1)根据题中的定义直接回答即可；
(2)由[P,A]=0可得点P在x轴上，由[P,B]=1可得S△POB=1，据此求出点P的坐标；
(3)根据[P,A]=[P,B]可得点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，据此画出图象即可；
(4)条件相当于|x|+|y|≤1，满足条件的点的全体是一个正方形，据此解答即可．
本题考查坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，解题的关键是读懂“关联值[A,B]”的定义，数形结合解决问题．
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