北京市第三十一中学2024-2025学年七年级下学期 数学期中试卷（含解析）

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1．如图，的同位角是（ ）
A．B．C．D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．对顶角相等
6．在平面直角坐标系中，如果点在第三象限，那么的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点，处.若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图是北京地铁部分线路图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示崇文门站的点的坐标为，表示北海北站的点的坐标为时，表示复兴门站的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．下列各数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，下列条件中能判断的是（ ）
①；②；③；④．
A．①④B．①③C．①③④D．①②③④
二、填空题
11．16的算术平方根是 ．
12．若，则 ．
13．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
14．点，关于轴的对称点的坐标是 ．
15．已知点，点，轴，，则 ．
16．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ．
17．如图，直线、相交于点，平分，，垂足为．若，则的度数是
18．如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点，，的位置，则的坐标为 ．
三、解答题
19．计算
（1）
（2）
20．解方程或方程组
（1）
（2）
（3）
21．解不等式
（1）；
（2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
22．完成下面的证明，并在括号内填写理由．
如图，，，试说明

解：∵
∴（_________________）
∵
∴（_________________）
∵
∴，
即
∴____
∴（_________________）．
23．如图，已知点P在的边上．

（1）过点P作边的垂线l；
（2）过点P作边的垂线段；
（3）过点O作的平行线交l于点E，比较三条线段的大小，并用“>”连接得 ，得此结论的依据是 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别为点，，的对应点．
（1）在图中画出；
（2）求的面积；
（3）已知点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标．
25．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）
26．如图，已知，于点H，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
四、填空题
27．对于任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝并且定义运算仍然是先进行括号内的．例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于 ．
28．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．回答下列问题：
（1）如图1，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），当点Q落在区域 时，线段PQ与AB相交（直接填写区域序号）；
（2）在设计印刷线路板时，常常会利用折线连接元件，要求所有连线不能相交．如图2，如果沿着图中的格线连接印有相同字母的元件，那么一共有 种连线方案．
五、解答题
29．在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：先将点P向右()或向左()平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点P的“R关联点”
（1）如图1，点P坐标为
①当点R坐标为时，则点P的“R关联点”的坐标为：________；
②若点为点P的“R关联点”，则R的坐标________；
（2）如图2，点，点B与点A关于y轴对称点R在边上，点P坐标为
①画出点P所有的“R关联点”；
②这些关联点组成的图形形状是：________；
（3）如图3，点，，点R在正方形边上，点．若线段上存在点的“R关联点”，直接写出n的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【分析】同位角的边构成形，内错角的边构成形，同旁内角的边构成形．
同位角就是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【详解】解：与是、被所截而成的同位角，
故此题答案为C．
2．【答案】A
【分析】先解不等式，再将解集表示在数轴上即可求解．
【详解】解：，
；
故不等式的解集在数轴上表示如下：
；
故选A．
3．【答案】D
【分析】直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】，
A. ，故原不等式成立；
B. ，故原不等式成立；
C. ，故原不等式成立；
D. ，故原不等式不成立，
故此题答案为D．
4．【答案】B
【分析】根据平方根和立方根的性质，即可．
【详解】∵，
∴，
∴A错误，不符合题意；
∵，
∴B正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴C错误，不符合题意；
D、，
∴D错误，不符合题意．
故此题答案为B．
5．【答案】B
【分析】利用两直线的位置关系、对顶角的性质、平行线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题正确，不符合题意；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题正确，不符合题意；
D、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
故选B
6．【答案】A
【分析】根据第三象限内点的坐标特征可得出答案．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
∴．
故选A．
7．【答案】A
【分析】根据平行可得到的值，再根据折叠后，即可求得的度数．
【详解】解：，，
，
，
由折叠得
，
故此题答案为A．
8．【答案】D
【分析】由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：复兴门站的点的坐标为；
故选D
9．【答案】D
【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，根据有理数和无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、，是有理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选D
10．【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【详解】解：①，
；
②，
；
③，，
，
；
④，
，
；
可以判断的有①③④．
故选C
11．【答案】4
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4.
12．【答案】0
【分析】由题意知，，求的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∴.
13．【答案】
【分析】设被墨迹顠盖住的无理数为，由图可知∶，得，进而解决此题．
【详解】解∶设被墨迹覆盖住的无理数为．
由图可知∶．
14．【答案】
【分析】根据纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解；
【详解】解：点，关于轴的对称点的坐标是.
15．【答案】1或9
【分析】根据轴求出，根据两点间的距离公式求出，计算即可．
【详解】解：∵点，点，轴，
，
，
，
解得：或6，
当时，，
当时，.
16．【答案】
【分析】注意整体思想的运用．根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，即可得到，再整体代入即可求得．
【详解】解：把代入二元一次方程，得，
∴．
17．【答案】
【详解】解：：∵直线、相交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即的度数是．
18．【答案】
【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解．
【详解】解：由图可知，，，，，，，…，故相对位置每个一循环，
余，
在次循环后位置与对应，
由，，…可知，其横坐标即为翻转次数，
的横坐标为，
则坐标为.
19．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）首先计算二次根式的化简、乘法计算，后算加减即可；
（2）首先计算开平方、绝对值、开立方，后算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
20．【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据直接开方法求解即可；
（2）直接开方法求解即可；
（3）利用代入法求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）
由①得：③
将③代入②，得：；
解得：；
将代入③，解得：；
故该方程组的解为：．
21．【答案】（1）
（2），数轴见详解
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，并在数轴表示即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
不等式解集在数轴上表示如下：
．
22．【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
【详解】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴（等量代换），
∵，
∴，
即，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
23．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3），垂线段最短
【分析】（1）根据垂直的定义作图即可；
（2）根据垂直的定义作图即可；
（3）根据垂线段最短判断三条线段的大小即可．
【详解】（1）如图，直线l即为所求；
（2）如图，即为所求；

（3）过点O作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
理由是：垂线段最短．
24．【答案】（1）见详解
（2）
（3）或
【分析】（1）根据平移的性质作出图形即可；
（2）利用割补法求出的面积即可；
（3）设点的坐标为，根据的面积列绝对值方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：；
（3）解：设，
∵，，且的面积为，
∴，
解得：，或，
∴或，
25．【答案】（1）A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．（2）每台A型号家用净水器的售价至少是200元．
【分析】（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据条件列二元一次方程组解答即可；
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，根据题意列出不等式求解即可.
【详解】解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，
由题意得，解得；
答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，
由题意得100a+60×2a≥11000，解得a≥50， 150+50=200（元）．
答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．
26．【答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）根据平行线的性质先求出，再根据求出，表示出，再根据得出即可求出解答，
【详解】（1），
，
，
，
（2）由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
27．【答案】
【分析】首先根据a⊕b＝，可得：(⊕2) =；然后根据a⊗b＝，求出⊗的值是多少即可．
【详解】解：∵a⊕b＝，a⊗b＝，
∴（⊕2）⊗
⊗
．
28．【答案】② 6．
【分析】（1）由相交线的定义可以找到点Q所在的区域；
（2）因为要求所有连线不能相交，所以可按图示6种方法连接．
【详解】（1）当点Q落在区域②时，线段PQ与AB相交；
（2）点A沿向上两个格、向右三个格、向下一个格连接，也可以沿向上两个格、向右两个格、向下一个格、向右一个格连接，两种方法；点B沿向下两个格、向右一个格连接，或向下一个格、向右一个格、向下一个格连接，或向右一个格、向下两个格连接，或向右一个格、向下一个格、向左一个格、向下一个格、向右一个格连接，共四种方法；点C只有一种连接方法，所以共6种方法．
29．【答案】（1）①；②；
（2）①见详解；②等腰三角形；
（3）或．
【分析】（1）①根据“关联点”的定义求出、、三点之间的坐标关系，然后代入、两点坐标即可；
②把点看作，然后根据、、三点之间的坐标关系求出点坐标即可；
（2）①根据、、三点之间的坐标关系求出点关于、、三点对应的“关联点”的坐标，然后连接这三个对应点，三条边即为点所有“关联点”组成的图形；
②同理①求出点关于、、、四点对应的“关联点”的坐标，连接四个对应点得到一个矩形，再分别讨论线段和矩形四条边有交点，根据不等式组求出的范围．
【详解】（1）①和如图所示．
根据“关联点”的定义，将点向左平移个单位长度，再作其关于直线的对称点，得到点．
；．
，．
点坐标为．
②点坐标为，点坐标为．
由①可得，．
点为点的“关联点”，点相当于这里的点．
，．
坐标为．
（2）①当、、三点作为点时，设点的“关联点”分别为、、．
由
（1）可知，．
将、、三点分别与点坐标代入可得：
、、．
连接、、三点，则点的所有的“关联点”形成的图形为的三条边．
②如图，，这些所有的关联点组成的图形形状为等腰三角形．
（3）根据，分别求出点关于、、、四点作为“点”时的四个“关联点”坐标：、、、．
如图所示，矩形四条边即点的“关联点”的轨迹．
、，并且线段上存在点的“关联点”．
线段需与矩形四条边有交点．
当线段与有交点时：
，解得．
当线段与有交点时：
，无解，则没有交点．
当线段与有交点时：
或，
解得，．
因为线段和线段分别在轴下方和上方，不可能有交点．
故的取值范围为：或．