2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中第一分校七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中第一分校七年级（下）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）4的算术平方根是（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．
2．（2分）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（AB⊥CD于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
3．（2分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．邻补角是互补的角B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补D．负数没有立方根
5．（2分）已知是二元一次方程ax+y＝2的一个解，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
6．（2分）如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A．∠A＝∠ABEB．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABCD．∠C＝∠ABE
7．（2分）二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）下列运算中，正确的是（ ）
A．＝±3B．＝2C．＝2D．＝﹣8
9．（2分）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），则顶点A的坐标为（ ）
A．（15，3）B．（16，4）C．（15，4）D．（12，3）
10．（2分）如图，AB∥CD，∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠E=45°，则∠H为（ ）
A．22°B．22.5°C．30°D．45°
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．（2分）在某个电影院里，如果用（3，13）表示3排13号，那么2排7号可以表示为 ．
12．（2分）将点A（-1，4）向右平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为 ．
13．（2分）若x2＝16，则x＝ ．
14．（2分）如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1＝20°，那么∠2= °．
15．（2分）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是 ．
16．（2分）在平面直角坐标系中，已知点M（1﹣a，a+2）在y轴上，则a的值是 ．
17．（2分）实数a，b满足+（2a+b）2＝0，则b的值为 ．
18．（2分）已知关于x的二元一次方程组的解满足x﹣y＝6，则k的值为 ．
19．（2分）若，那么代数式x+y+z＝ ．
20．（2分）如图，AB∥ED，∠CAB＝125°，∠ACD=75°,则∠CDE＝ °．
三、解答题（本大题共60分）
21．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．（12分）求下列各式中的x值：
（1）；
（2）2x3＝﹣16；
（3）（x﹣2）2＝9；
（4）3（x﹣4）3＝﹣375．
23．（16分）解下列方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
24．（5分）如图，AB∥CD，∠B+∠D＝180°．求证：BC∥DE．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝ ．（理由： ）
∵∠B+∠D＝180°，
∴ +∠D＝180°，（理由： ）
∴BC∥DE．（理由： ）
25．（7分）已知：直线l1∥l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，满足∠AED＝∠DAE．点M在l2上，且在点B的左侧．
（1）如图1，若∠BAD=25°，∠AED=50°，直接写出∠ABM的度数 ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF=150°时，直接写出∠EAF的度数．
26．（8分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值[A，B]如下：
若O，A，B在一条直线上[A，B|＝0；
若O，A，B不在一条直线上[A，B]＝S△OAB．
已知点A坐标为（4，0）点B坐标为（0，4），回答下列问题：
（1）[A，B]＝ ；
（2）若[P，A]＝0，[P，则点P坐标为 ；
（3）在图中画出所有满足[P，A]=[P，B]的点P，并说明理由．
（4）若一个正方形中任意一点P都满足[P，A]+[P，B]≤2，则称这个正方形为正规正方形．请直接写出包含点O的正规正方形面积的最大值： ．
2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中第一分校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共20分，每小题2分）
1．【答案】C
【解答】解：4的算术平方根是：，
故选：C．
2．【答案】D
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，因此，能使所开的渠道最短．
故选：D．
3．【答案】B
【解答】解：点M（﹣2，1）在第二象限．
故选：B．
4．【答案】A
【解答】解：A、邻补角是互补的角，符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，不符合题意；
C、两直线平行，故本选项说法是假命题；
D、负数有立方根，不符合题意；
故选：A．
5．【答案】D
【解答】解：把代入方程得：7a+4＝2，
解得：a＝﹣6，
故选：D．
6．【答案】A
【解答】解：A、∠A＝∠ABE，两直线平行，故本选项正确．
B、∠A＝∠EBD不能判断出EB∥AC；
C、∠C＝∠ABC只能判断出AB＝AC，故本选项错误；
D、∠C＝∠ABE不能判断出EB∥AC；
故选：A．
7．【答案】B
【解答】解：方程组，
①﹣②得：3y＝3，
解得：y＝8，
把y＝1代入①得：x+1＝2，
解得：x＝3，
则方程组的解为．
故选：B．
8．【答案】C
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
9．【答案】A
【解答】解：如图：
∵顶点M、N的坐标分别为（3、（12，
∴MN∥x轴，MN＝9，
∴正方形的边长为6，
∴BN＝6，
∴B（12，3）
∵AB∥MN，
∴AB∥x轴，
∴A（15，6），
故选：A．
10．【答案】B
【解答】解：过E作EQ∥AB，过H作HI∥AB，
∵AB∥CD，
∴EQ∥AB∥CD∥HI，
∴∠QEB+∠ABE＝180°，∠QED+∠EDC＝180°，∠IHB+∠ABH＝180°，
∵∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，
∴2∠FBA﹣2∠GDC＝∠BED＝45°，
∴∠BHD＝∠CDH﹣∠ABH＝180°﹣∠GDC﹣（180°﹣∠FBA）＝∠FBA﹣∠GDC＝∠BED＝22.5°．
故选：B．
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．【答案】（2，7）．
【解答】解：∵（3，13）表示3排13号可知第一个数表示排，
∴7排7号可以表示为（2，3），
故答案为（2，7）．
12．【答案】（2，4）．
【解答】解：将点A（﹣1，4）向右平移三个单位，则A′的坐标为（﹣7+3，即（2．
故答案为：（4，4）．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2＝16，
∴x＝±4；
故答案为：±2．
14．【答案】40．
【解答】解：根据题意可知，两直线平行，
∵∠1＝20°，∠1+∠7＝60°，
∴∠3＝40°，
∵∠2＝∠5，
∴∠2＝40°．
故答案为：40．
15．【答案】点P．
【解答】解：∵4＜5＜4，
∴2＜＜7，
∴1＜﹣2＜2，
则表示实数﹣2的点是点P，
故答案为：点P．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为点M（1﹣a，a+2）在y轴上，
所以5﹣a＝0，
解得a＝1．
故答案为：8．
17．【答案】﹣2．
【解答】解：∵+（2a+b）8＝0，
∴a﹣1＝7且2a+b＝0，
解得：a＝6，b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
18．【答案】﹣4．
【解答】解：，
（①+②）÷5得：x﹣y＝10+k，
又∵x﹣y＝6，
∴10+k＝6，
解得：k＝﹣2，
∴k的值为﹣4．
故答案为：﹣4．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，得
由（1）+（2），得
7x+3y+3z＝15               （3）
化简（3），得
x+y+z＝4．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：过C作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠2＝∠D，∠1+∠A＝180°，
∵∠CAB＝125°，
∴∠2＝180°﹣125°＝55°，
∵∠ACD＝75°，
∴∠2＝75°﹣55°＝20°，
∴∠D＝20°，
故答案为：20．
三、解答题（本大题共60分）
21．【答案】（1）﹣3；
（2）﹣4；
（3）3；
（4）+．
【解答】解：（1）原式＝2+5﹣10
＝﹣2；
（2）原式＝2﹣3+2﹣
＝﹣4；
（3）原式＝7﹣2+﹣1﹣
＝3；
（4）原式＝+﹣2+8
＝+．
22．【答案】（1）x＝±；
（2）x＝﹣2；
（3）x＝5或x＝﹣1；
（4）x＝﹣1．
【解答】解：（1）原方程整理得：x2＝，
则x＝±；
（2）原方程整理得：x2＝﹣8，
则x＝﹣2；
（3）由原方程得：x﹣8＝±3，
解得：x＝5或x＝﹣3；
（4）原方程整理得：（x﹣4）3＝﹣125，
则x﹣2＝﹣5，
解得：x＝﹣1．
23．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解答】解：（1），
①+②×2，可得5x＝21，
解得x＝3，
把x＝3代入②，可得：7×3﹣y＝1，
解得y＝3，
∴原方程组的解是．
（2），
①+②×2，可得3x＝14，
解得x＝2，
把x＝2代入②，可得：7×2+y＝3，
解得y＝﹣2，
∴原方程组的解是．
（3），
①×2﹣②，可得x＝3，
把x＝3代入①，可得：2×6﹣y＝2，
解得y＝4，
∴原方程组的解是．
（4），
①×6+②×3，可得7x＝42，
解得x＝6，
把x＝6代入②，可得：6+3y＝4，
解得y＝﹣1，
∴原方程组的解是．
24．【答案】∠BCD，两直线平行，内错角相等；∠BCD，等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD．（理由：两直线平行，
∵∠B+∠D＝180°
∴∠BCD+∠D＝180°，（理由：等量代换），
∴BC∥DE．（理由：同旁内角互补．
故答案为：∠BCD，两直线平行；∠BCD；同旁内角互补．
25．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，
∵l1∥l4，
∴∠ABM＝∠BAN，∠NAE＝∠AED＝50°，
∵∠BAD＝25°，∠DAE＝∠AED＝50°，
∴∠ABM＝∠BAN＝∠BAD+∠DAE+∠NAE＝25°+50°+50°＝125°，
故答案为：125°；
（2）①结论：∠ABD＝2∠EAF，
理由：如图2中，
∵l7∥l2，
∴∠CAN＝∠ABD，∠NAE＝∠AED，
又∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAF＝∠CAD，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝∠NAE＝（∠DAE+∠NAE）＝，
∴∠EAF＝∠DAF﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠CAN＝．
即∠ABD＝2∠EAF．
②Ⅰ、如图3﹣2中，
点D在点B右侧，此时有∠EAF＝，
∵∠ABM+∠EAF＝150°，
∴∠ABM+∠ABD＝150°，
又∵∠ABM+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠EAF＝30°；
Ⅱ如图3﹣2中，点D在点B左侧，
∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∵l1∥l3，
∴∠AED＝∠NAE，∠CAN＝∠ABE，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝（∠DAE+∠NAE）＝，
∴∠EAF＝∠DAF+∠DAE＝（∠CAD+∠DAN）＝∠ABE，
∵∠ABE+∠ABM＝180°，
∴∠EAF＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+，
又∵∠EAF+∠ABM＝150°，
∴∠EAF＝90°+（150°﹣∠EAF）＝165°﹣，
∴∠EAF＝110°；
Ⅲ如图3﹣3中，D、E均在B点左侧，
此时，∠DAE＝，∠DAF＝，
∠EAF＝∠DAE+∠DAF＝（360°﹣∠CAN）＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+，
∴∠EAF＝110°．
综上所述：∠EAF＝30°或∠EAF＝110°．
26．【答案】（1）8；
（2）或；
（3）一三象限的角平分线，二四象限的角平分线，理由见解析；
（4）2．
【解答】解：（1）∵点A坐标为（4，0）点B坐标为（5，
∴，
故答案为：5；
（2）∵[P，A]＝0，
∴点P在x轴上，
∵[P，B]＝1
∴S△POB＝3，
设P（t，0），
∴，
解得：，
∴P或，
故答案为：或；
（3）点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上
理由：设点P坐标为（x，y），
那么[P，A]＝2|y|，B]＝2|x|，
所以|x|＝|y|．
因此y＝x或y＝﹣x，
即为一三象限和二四象限的角平分线；
（4）设点P坐标为（x，y），
∵[P，A]+[P，
∴|x|+|y|≤1，
∵满足条件的点的全体是一个正方形，且面积为2，
故答案为：6．