山东省临沂市河东区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省临沂市河东区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
A、是二次根式，符合题意；
B、不是二次根式，不符合题意；
C、当时，不是二次根式，不符合题意；
D、不是二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边是（ ）
A. 25B. 5C. 5或D. 7或25
【答案】C
【解析】当长为4的边为直角边时，则第三边的长是，
当长为4的边为斜边时，则第三边的长是；
综上所述，第三边的长为5或，
故选：C．
3. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形平行四边形，故A不符合题意；
B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C．由，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意．
故选：D．
4. 下列算式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、都没有意义，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 11
【答案】A
【解析】四边形是矩形，，，
，，，
，
故选：A．
6. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
∴这两个小正方形的边长分别为，
∴大正方形的边长为，
故选：D．
7. 如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（ ）
A. 5B. 100C. 25D. 15
【答案】C
【解析】∵在中，D是斜边中点，
∴，
∴正方形的面积为：，
故选：C．
8. 如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的边长是（ ）
A. 20B. 25C. 30D. 35
【答案】B
【解析】如图所示，由勾股定理得，
∵A、B、F都是正方形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴最大正方形E的边长是25，
故选：B．
9. 如图，方格纸中小正方形边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，则到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设点C到AB边的距离为h，则
∵，
又∵，∴，解得：；
故选：B．
10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
四边形是正方形，，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即结论①正确；
，
，
，即结论③正确；
，
，
，
，即，结论②正确；
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又，
的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，共有3个，
故选：C．
二、填空题
11. 若有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 已知等边三角形的边长是4，则这个三角形的面积为_______．
【答案】
【解析】作AD⊥BC于D．
∵AB=4，AD⊥BC，AB=AC，
∴BD=DC=2，
∴AD=，
∴等边△ABC的面积=BC•AD=×4×2=4．
故答案为：4．
13. 如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取中点C，的中点D，测得，则A、B两点间的距离是______．
【答案】8
【解析】∵点C，点D分别是和的中点，
∴，
∴，
故答案为：8．
14. 如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是______．（结果保留）
【答案】
【解析】如图，沿过点A的圆柱母线剪开得展开图如下，则蚂蚁从A爬行到点B的最短距离为线段的长，
由题意得，，
∴，
∴从点A爬到点B的最短路程是，
故答案为：．
15. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点F，点E为垂足，连接，则______．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
17. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴
．
18. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形．
在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容．
步骤一：结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形；
如图所示：
（1）步骤二：结合步骤一中的示意图，请完善已知和求证：
已知：如图，四边形是平行四边形，______．
求证：______．
（2）步骤三：写出证明过程．
（1）解：在平行四边形中，，
求证∶平行四边形是矩形．
故答案为∶；平行四边形是矩形．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
19. 如图，在四边形中，，，
求四边形的面积．
解：在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
．
20. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；
（2）若，，则菱形ABCD的面积为______．
解：（1）四边形AEBO是矩形，理由如下：
∵，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°．
∴平行四边形AEBO是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=24，
∴OA=AC=12，OB=OD，AC⊥BD，
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB=OE=13，
∴OB=，
∴BD=2OB=10，
∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×24×10=120．
21. 今年初，国家发展改革委、财政部发布关于2025年加力扩围实施大规模设备更新和消费品以旧换新政策的通知，下称“国补”，其中包括了数码产品里的笔记本电脑．如图1，小亮把通过“国补”购买的笔记本电脑水平放置在桌子上，显示器与底板所在水平线的夹角是，侧面示意图如图2；使用时为了散热，小亮在底板下垫入散热架如图3，此时电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点C，，．
（1）求的长：
（2）垫入散热架后，显示器顶部比原来升高了多少？（结果保留根号）
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
答：的长为；
（2）过点B作交的延长线于D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴，
∴显示屏顶部比原来升高了．
22. （1）请用：“”、“”、“”填空：
①______；②______；③______．
（2）由（1）中各式猜想与（，）的大小关系，并说明理由．
（3）学以致用：某园林设计师要用篱笆围成一个矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（墙体足够长），为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
解：（1）①，，
∵，
∴；
②，，
∵，
∴；
③，
∴；
（2）猜想，理由如下：
当，时，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则，
∴，
根据（2）的结论可得：．
∴篱笆至少需要32米．
23. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．